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第 1 章 微積分的誕生：從窮竭法到極限#

1.1 阿基米德窮竭法與方法學的確立（公元前 250 年）#

學習動機#

在 SymPy 之前，人類要回答「 \(1 + \frac{1}{4} + \frac{1}{16} + \cdots\) 等於多少？」這個問題，只有兩條路：用筆算一堆項然後猜，或者——像阿基米德那樣，先設計一個越來越窄的夾逼，再用「剩下的越來越小」這個事實來保證結論。

阿基米德的「窮竭法」（method of exhaustion）正是這樣的夾逼。今天我們稱它為「夾擠定理」（squeeze theorem），柯西在 1821 年把它寫成不等式，魏爾斯特拉斯在 1872 年把它寫成 \(\varepsilon\) - \(\delta\) 語言（第 2 章的主題）。而阿基米德在公元前 250 年就已經在用同一套邏輯。

這一節要問三個問題：

  1. 窮竭法到底做了什麼？ 它不是「近似」，而是可證的近似——這是西方數學的關鍵轉折。
  2. 為什麼「可證性」如此重要？ 對照我們熟悉的「先定義再驗證」的分析學（第 2 章的主軸），看希臘人是如何在沒有極限定義的情況下取得同樣的嚴謹度。
  3. 為什麼《方法》比《原理》更影響後世？ 阿基米德留下的不是答案，而是一套可遷移的策略。這也正是本書的主題：每個時代的計算工具，決定了它能提出什麼問題。

本節會用 SymPy 重做三件事：重算阿基米德的 96 邊形夾逼、符號驗證他的拋物線面積公式、以及示範「窮竭序列」如何無縫地接到現代的極限語言上。

1.1.1 希臘三難題：為什麼「不可解」是一個正式概念#

古希臘人給幾何留下的三道硬題，通常稱為「希臘三難題」：

難題 內容 現代判定
化圓為方 用尺規作一個面積等於給定圓的正方形 不可能（1882 年，Lindemann–Weierstrass 定理）
立方倍積 用尺規放大立方體使體積加倍 不可能（同一條定理）
三等分任意角 用尺規三等分一個任意給定的角 不可能（Wantzel, 1837）

這裡值得注意的是希臘人的用語。普魯塔克（Plutarch）在《敘事集·名人傳》中記載的米尼亞斯（Minias）之墓的軼事裡，敘述者說：亞歷山大大帝命令解這三題，並問那些嘲笑「不可解」的人，若只用「不可解」三個字打發他，未免太輕率了——因為在既有的前提下降確實不可能，但若由同一批人把問題重新表述，未必不能找到某種合法的解法。

這裡的 \(\alpha \delta \nu \alpha \tau o v\) （àdu̇aton，不可能）是一個技術性概念，不是「我們還不知道」。它意味著：

在既有的前提與既定的工具（直尺與圓規）之下，沒有任何步驟序列能達成目標。

請把這個概念和今天 SymPy 的 NotImplementedError 對照：SymPy 在算不出極限時會老老實實地回報無法完成（我們在 1.3 節會看到它甚至會只給出一個界 AccumBounds(-1, 1)），而不是編一個答案出來。承認不可解是一種智識成就，希臘人比任何後世都更早把它制度化。

同一時期的埃拉托色尼（Eratosthenes，公元前 240 年左右）用兩座城市的日影差估出了地球周長，誤差不到 \(2\%\) ——這說明「量測 + 近似 + 誤差意識」在阿基米德之前就已經存在了。阿基米德新增的不是近似，而是可證性。

1.1.2 窮竭法的機制：圓錐截面的求和逼近#

阿基米德在《論圓與球》（On the Sphere and Cylinder）的命題 I.2 中，用一個精巧的「重心對稱」論證，把圓錐截面的面積比歸結為正方形的面積比。整個論證的核心是所謂的「窮竭」：對一個圖形 \(A\) ，構造一串圖形

\[ A_1 \subset A_2 \subset A_3 \subset \cdots \subset A \]

使得：

  1. 每個 \(A_k\) 都是可以算出面積的簡單圖形（圓錐截面的內接正多邊形）；
  2. 每個 \(A_k\) 都是 \(A\) 的內含（或外含）；
  3. 剩下的「縫隙」 \(A \setminus A_k\) 的面積趨於 \(0\) 。

一旦 (3) 被證明， \(A\) 的面積就被「夾」出來了，因為任何介於 \(A_k\) 與 \(A_{k+1}\) 之間的數，都只能是 \(A\) 的面積。

阿基米德在《方法》（Methodus）卷一命題 17 與 18 中，把這套機制用在拋物線段上，得到一個極為漂亮的結果：

拋物線段的面積，等於同底等高三角形面積的 \(\frac{4}{3}\) 。

我們用 SymPy 親手驗證這件事。取拋物線 \(y = 1 - x^2\) ，弦從 \((-1, 0)\) 到 \((1, 0)\) 。弧上離弦最遠的點（也就是「頂點」）是 \((0, 1)\) ——這可以算出來：弦的方程是 \((a+b)x + y - (1 + ab) = 0\) ，弦上兩點橫標為 \(a, b\) 時，拋物線上一點到弦的距離分子為 \(|(x-a)(x-b)|\) ，在 \([a, b]\) 上於 \(x = \frac{a+b}{2}\) 取最大值。

於是內接三角形的三個頂點是 \(P(a)\) 、 \(P(b)\) 、 \(P\!\left(\frac{a+b}{2}\right)\) ，其中 \(P(t) = (t, 1-t^2)\) 。SymPy 可以把這個三角形的面積完全符號化地算出來：

import sympy as sp

a, b = sp.symbols('a b', real=True)
k = sp.symbols('k', integer=True, nonnegative=True)
x = sp.symbols('x', real=True)

def P(t):
    """拋物線 y = 1 - x^2 上的點。"""
    return sp.Point(t, 1 - t**2)

# 內接三角形：弦的兩端 P(a), P(b) 與拋物線弧的「頂點」P((a+b)/2)
tri = sp.Triangle(P(a), P(b), P((a + b) / 2))
print("內接三角形面積 =", sp.simplify(tri.area))
print("化簡成 (b-a)^3/8 :", sp.simplify(sp.expand(tri.area - (b - a)**3 / 8)) == 0)

# 窮竭：第 k 層加入的三角形面積總和為 (1/4)^k
S = sp.Sum(sp.Rational(1, 4)**k, (k, 0, sp.oo))
print("內接三角形面積總和 =", S.doit())
print("對照：現代積分 =", sp.integrate(1 - x**2, (x, -1, 1)))
print("與首個三角形之比 =", sp.simplify(S.doit() / sp.Triangle(P(-1), P(1), P(0)).area))

實際輸出：

內接三角形面積 = -a**3/8 + 3*a**2*b/8 - 3*a*b**2/8 + b**3/8
化簡成 (b-a)^3/8 : True
內接三角形面積總和 = 4/3
對照：現代積分 = 4/3
與首個三角形之比 = 4/3

三個數字值得逐一端詳：

  • 面積： \(\frac{(b-a)^3}{8}\) ——這是「內接三角形面積只依賴弦長的三次方」這件事的精確敘述。弦越短，三次方讓「縫隙」迅速變小——這正是窮竭法能奏效的定量原因。
  • 總和： \(4/3\) ——第 \(k\) 層新加入的三角形面積總和是 \(\left(\frac{1}{4}\right)^k\) 。推導：每往下一層，弦長減半（面積因而縮成 \(\frac{1}{8}\) ），而三角形數目加倍，所以該層的總和是原來的 \(2 \times \frac{1}{8} = \frac{1}{4}\) 倍。等比級數 \(\sum_{k \ge 0} 4^{-k} = \frac{1}{1 - 1/4} = \frac{4}{3}\) 。
  • 與首個三角形之比： \(\frac{4}{3}\) ——正是阿基米德的定理。三角形面積是 \(1\) ，拋物線段面積是 \(\frac{4}{3}\) 。

而最後那行 對照：現代積分 = 4/3 是本節的核心對照：阿基米德用幾何窮竭得到的數字，與我們用 2400 年後的微積分算出的數字完全相同。這不是巧合，而是因為兩者回答的是同一個問題——只是用的語言不同。

1.1.3 可證性：窮竭法與現代極限的正面對照#

現在把兩種做法並排放在一起。現代分析學（第 2 章會正式處理）的極限定義是：

\[ \lim_{x \to a} f(x) = L \iff \forall \varepsilon > 0, \ \exists \delta > 0, \ \forall x \in \operatorname{dom} f: \ 0 < |x - a| < \delta \Rightarrow |f(x) - L| < \varepsilon \]

阿基米德的窮竭法可以翻譯成一個等價的「餘項趨零」條件：

\[ \forall \varepsilon > 0, \ \exists k: \ \text{面積}\big(A \setminus A_k\big) < \varepsilon \]
面向 窮竭法（公元前 250 年） 現代極限（1872 年起）
對象 面積、體積、長度 函數值
逼近工具 幾何圖形的序列（內接正多邊形） 差商、級數
誤差控制 餘項面積可估 \(\varepsilon\) - \(\delta\) 不等式
收斂的證明 相似比 + 三次方縮減 夾擠定理、柯西判別法
邏輯結構 幾何的（無需符號邏輯） 邏輯的（需實數的 Dedekind 完备性）
誰在「證明」 幾何論證本身就是證明 須先有實數理論（第 12 章）

這張表裡最關鍵的一列是最後一列。阿基米德的窮竭法是自足的：他不需要「極限」這個概念，也不需要實數系的嚴格構造。他需要的是歐幾里得《幾何原本》卷十二命題 10 已經給他的工具——相似圖形的面積比等於對應邊長比的平方。這是一個關於比例的純幾何事實，卻足以支撐整個窮竭法。

而現代極限需要「 \(\varepsilon\) - \(\delta\) 」這種語言，因為極限定義是一個邏輯量詞的結構，只有在實數系被構造成 Dedekind 切割（第 12 章）之後才不至於循環論證。這就是為什麼柯西（1821）與魏爾斯特拉斯（1872）要花三千年把窮竭法「翻譯」成不等式：不是因為窮竭法不嚴格，而是因為它用的那套嚴格性建立在一套不同的基礎上。

用 SymPy 我們可以看見「餘項趨零」如何變成現代的誤差估計。半徑 \(1\) 的圓，內接正 \(n\) 邊形的面積是

\[ A(n) = \frac{n}{2}\sin\frac{2\pi}{n} \]

它隨 \(n\) 單調遞增而趨近 \(\pi\) ，誤差以 \(n^{-2}\) 的速度消失：

import sympy as sp

# 符號 n 千萬不要加 integer 假設，否則 SymPy 的極限機制會算不出來
n = sp.symbols('n', positive=True)

A = sp.Rational(1, 2) * n * sp.sin(2 * sp.pi / n)   # 半徑 1 的圓，內接正 n 邊形的面積
print("lim A(n) =", sp.limit(A, n, sp.oo))
print("誤差的級數展開 =", sp.series(sp.pi - A, n, sp.oo, 3))
for m in [6, 12, 24, 48, 96]:
    print(f"n={m:3d}   A(n)={sp.N(A.subs(n, m), 12)}   pi-A(n)={sp.N(sp.pi - A.subs(n, m), 8)}")

實際輸出：

lim A(n) = pi
誤差的級數展開 = 2*pi**3/(3*n**2) + O(n**(-3), (n, oo))
n=  6   A(n)=2.59807621135   pi-A(n)=0.54351644
n= 12   A(n)=3.00000000000   pi-A(n)=0.14159265
n= 24   A(n)=3.10582854123   pi-A(n)=0.035764112
n= 48   A(n)=3.13262861328   pi-A(n)=0.0089640403
n= 96   A(n)=3.13935020305   pi-A(n)=0.0022424505

注意 誤差的級數展開 這一行： \(\pi - A(n) = \frac{2\pi^3}{3n^2} + O(n^{-3})\) 。這是現代微積分給出的定量誤差估計，比阿基米德的定性論證（餘項面積趨於零）精確得多。阿基米德有「趨於零」，現代分析學有「以 \(O(n^{-2})\) 的速度趨於零」，而第 13 章的數值分析會告訴我們：這類估計才是可計算的科學。

順帶一提，那行註解 符號 n 千萬不要加 integer 假設 是一個真實的 SymPy 陷阱：若把 n 宣告成 integer=True，sp.limit(A, n, sp.oo) 會錯誤地回傳 0，因為極限機制在整數符號上走了不同的分支。工具也有自己的「前提」，正如阿基米德的窮竭法有「相似比」的前提。

1.1.4 求圓面積與 \(\pi\) 的近似：重算 96 邊形#

在《度量圓》（Measurement of the Circle）中，阿基米德給出了兩個永垂不朽的結果：

  1. 圓的面積： \(\pi r^2\) ，其中 \(\pi\) 是圓周長與直徑的比值（希臘人寫作 \(\pi \varepsilon \rho \iota \varphi \varepsilon \iota \alpha\) ，即「周長與直徑之比」這句話的頭字母）。
  2. 上下界： \(3 + \frac{10}{71} < \pi < 3 + \frac{1}{7}\) ，即
\[ 3 + \frac{10}{71} = \frac{223}{71} < \pi < \frac{22}{7} \]

這兩個界的精度分別是約 \(0.03\%\) 與 \(0.04\%\) ——在沒有任何極限定理、只有尺規與相似比的條件下，這是了不起的成就。

阿基米德的做法是：從內接正六邊形開始（其半周長恰為 \(3\) ，因為半徑 \(1\) 的正六邊形邊長為 \(1\) ），不斷把邊數加倍（ \(6 \to 12 \to 24 \to 48 \to 96\) ），每一步都用畢氏定理構造出新的三角形。他留下的不是通用的代數公式，而是一串嵌套根號。我們今天可以用 SymPy 完整地重算一遍。

技術核心是半角公式

\[ \cos\frac{\theta}{2} = \sqrt{\frac{1 + \cos\theta}{2}} \]

從 \(\cos\frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}\) 出發，反覆使用即可得到 \(\cos\frac{\pi}{6}, \cos\frac{\pi}{12}, \ldots, \cos\frac{\pi}{96}\) 的精確嵌套根號形式。

import sympy as sp

def polygon_bounds(k):
    """半徑 1 的圓：回傳內接與外切正 3*2^k 邊形的半周長（精確的嵌套根號）。"""
    c = sp.Rational(1, 2)          # cos(pi/3)
    n = 3
    for _ in range(k):
        c = sp.sqrt((1 + c) / 2)    # 半角公式 cos(theta/2) = sqrt((1+cos theta)/2)
        n *= 2
    s = sp.sqrt(1 - c**2)           # sin(pi/n)
    return n, n * s, n * s / c       # n、內接半周長(下界)、外切半周長(上界)

for k in range(0, 6):
    n, lo, hi = polygon_bounds(k)
    print(f"n={n:3d}   內接半周長={sp.N(lo, 12)}   外切半周長={sp.N(hi, 12)}")

n, lo, hi = polygon_bounds(5)
print("n =", n)
print("內接半周長 > 223/71 :", sp.simplify(lo - sp.Rational(223, 71)) > 0)
print("外切半周長 < 22/7   :", sp.simplify(sp.Rational(22, 7) - hi) > 0)
print("223/71 =", sp.N(sp.Rational(223, 71), 12), "  22/7 =", sp.N(sp.Rational(22, 7), 12))

實際輸出：

n=  3   內接半周長=2.59807621135   外切半周長=5.19615242271
n=  6   內接半周長=3.00000000000   外切半周長=3.46410161514
n= 12   內接半周長=3.10582854123   外切半周長=3.21539030917
n= 24   內接半周長=3.13262861328   外切半周長=3.15965994210
n= 48   內接半周長=3.13935020305   外切半周長=3.14608621513
n= 96   內接半周長=3.14103195089   外切半周長=3.14271459965
n = 96
內接半周長 > 223/71 : True
外切半周長 < 22/7   : True
223/71 = 3.14084507042   22/7 = 3.14285714286

幾點觀察：

  • 六邊形：當 \(k=1\) 時內接半周長恰為 \(3\) ，這正是阿基米德用來開始的六邊形。
  • 每一層的內接與外切半周長都把 \(\pi\) 夾在中間，且間距以大約 \(n^{-2}\) 的速度收縮（ \(n=96\) 時上下界只差 \(0.0017\) ）。
  • SymPy 用 sp.simplify(... > 0) 給出的是精確的符號判斷（True / False），而不是浮點比較。這一點非常重要：阿基米德的結論「 \(223/71 < \pi < 22/7\) 」是不等式，必須用精確代數來證；用浮點數比較只能得到「大概成立」，那是另一種東西。

順帶一提，阿基米德發表的下界 \(\frac{223}{71}\) 並非直接取自 96 邊形的內接值（那是 \(3.141031\ldots\) ），而是他再取了一次有理數的「有理逼近」技巧，把內接值與外接值之間的縫隙榨到更細，得到 \(\frac{223}{71} = 3.140845\ldots\) 。我們上面的程式只是驗證他的結論成立，並沒有重現他的那一步有理化技巧——這正好是留給習題的好題目。

1.1.5 Pericles 的《方法》：被冷藏一千八百年的教科書#

阿基米德還寫過一本書，題目就叫《方法》（Methodus，全名是《阿基米德的方法》，拉丁文版流傳至今）。它的重要性在 1906 年才被發現：德國數學史家海因里希·海貝格（Heinrich Heiberg）發表了它的希臘文抄本（1897 年由耶路撒冷的一位抄寫員 Constantinos 抄寫在一卷羊皮紙上）。在此之前，這部著作在歐洲完全無人知曉。

《方法》的內容徹底不同於《論圓與球》。它不是給出結論，而是示範如何得到結論。裡面的手法包括：

  1. 力學平衡法：把圖形視為有重量的物體，懸掛或支撐在槓桿上，由平衡條件（力矩相等）反推面積或體積。
  2. 浸入法：把物體浸入液體，由排開的液體體積求物體體積（今日密度計的原理）。
  3. 重心法：求圖形的重心，再用重心的遷移來構造等式。

《方法》卷一命題 17 的經典論證就是：把拋物線段「掛」在槓桿上，讓它與一個三角形配重，然後把三角形挪到另一個位置，讓兩者恰好平衡；此時比較力矩，就得到「拋物線段面積 = 同底等高三角形面積的 \(\frac{4}{3}\) 」。

這是一種用物理（力學）來證明幾何結論的方法，在方法論上極為激進：它等於說「自然界的守恆律可以拿來當公理」。今天我們會說這是「用物理直覺猜，再用數學證明」——這正是計算機輔助數學研究（computer-assisted proof）的先聲。

《方法》卷二命題 3 給出了一個更讓人吃驚的應用：求某種固體的比重，方法是把它浸入水裡，觀察排開的水量。這個「用排開體積求密度」的技巧今天叫阿基米德原理，是所有密度計與船舶噸位測量的基礎。

為什麼這本書會被冷藏一千八百年？因為它是方法論的示範，而不是結論的清單。而在此後的一千八百年裡，歐洲數學的主軸是繼承希臘幾何的「已知結果」體系（歐幾里得、托勒密、歐幾里得的《原本》譯本），不需要有人示範如何發現新結果。第 1.2 節會看到，當牛頓與萊布尼茲真的需要新工具時，他們是在另一條傳統（希臘化時期的坐標幾何與北歐的代數符號）中尋找武器的。

1.1.6 為什麼「方法」比「結論」更影響後世#

阿基米德留下的兩樣東西，影響力極為不對稱：

阿基米德的產出 形式 後世影響
圓面積 \(\pi r^2\) 、 \(223/71 < \pi < 22/7\) 、柱與球體積公式 結論 重要，但很快被更一般的公式取代（ \(\pi\) 在 1600 年後已可算到任意位數）
窮竭法、《方法》的力學平衡與浸入法 策略 決定了後世幾乎所有重大數學突破的風格

所謂「風格」是指：當柯西要嚴格化極限時，他做的是窮竭法所隱含的事（把「趨近」寫成不等式）；當牛頓要處理運動中的瞬時變化時，他做的是《方法》所隱含的事（用流數法求「瞬時比」）；當拉普拉斯要計算天體軌道時，他做的是窮竭法所隱含的事（在有限精度下求面積的逼近）。阿基米德的兩本書，其實是同一本書的兩面：一部給出武器，一部教會你怎麼打造武器。

現在，我們可以画出這條因果鏈——它正是全書的主線：

這張圖有兩個閱讀方向：

  • 橫向（往右）：工具越來越強大，能問的問題越來越激进。阿基米德的窮竭法只能處理「靜態的圖形」；牛頓的流數法能處理「時間中的變化」；今天的 SymPy 能處理「符號量本身隨參數變化」。
  • 縱向（往下）：每一步都伴隨著定義的嚴格化。窮竭法不需要 \(\varepsilon\) - \(\delta\) ，但它需要「相似比」；極限需要 \(\varepsilon\) - \(\delta\) ，但它需要實數系。

而全書真正要說的，是那句被反覆呼應的話：

每個時代的計算工具，決定了它能提出什麼問題。

時代 可用的計算工具 因此能提出的問題 當時的天花板
公元前 250 年 尺規、比例理論、窮竭法 圖形之間的精確比值 無法表達「變化率」
1600 年代 對數、坐標、符號代數 曲線的方程、可解的力學問題 缺乏把「趨近」形式化的語言
1687 年 微積分 萬有引力、行星運動、流體 運算規則靠直覺，缺乏公理基礎
1821–1872 年 極限、級數、 \(\varepsilon\) - \(\delta\) 嚴格的定理 算力不足以做大規模符號運算
1950–1970 年代 電子計算機 數值分析、模擬、組合搜索 符號推理仍靠人手
今天 SymPy 等 CAS 可執行、可驗證、可重現的推理草稿 機器仍不會「定義」新概念

最後一行是本書存在的理由。SymPy 的極限、級數、微分、積分，全部都是 1872 年就已經存在的概念；但把推理變成可執行的物件，是計算機時代才有的能力。1.3 節將正式介紹這套語言，同時也會誠實地指出它的侷限：SymPy 能算出極限，但它不會證明極限存在。

SymPy 練習#

練習 1.1.1（重現阿基米德的有理化技巧） 由 polygon_bounds 得到的 96 邊形內接半周長 \(L\) 與外切半周長 \(U\) ，構造一個有理化的近似 \(q = \frac{2LU}{L + U}\) （內外平均的變體； \(L\) 、 \(U\) 都是嵌套根號，SymPy 可代數化簡）。比較 \(q\) 與 \(\pi\) 的誤差，並判斷它是否落在 \(\frac{223}{71}\) 與 \(\frac{22}{7}\) 之間。注意：SymPy 只能對有理數做精確比較，若式中含 \(\pi\) ，請改用 sp.N 估到 30 位再比較；也請說明為什麼「精確的不等式」與「30 位小數的比較」在邏輯上不是同一回事。

練習 1.1.2（阿基米德的有理逼近 22/7） 用 sp.Rational 構造 \(\frac{22}{7}\) ，證明 \(\frac{22}{7} > \pi\) 需要用到 \(\sin x < x < \tan x\) 這類不等式；請改用純多邊形的方式：計算半徑 \(1\) 的圓的內接與外切正 \(96\) 邊形的周長（不是半周長），並用 sp.simplify 檢查外切周長與 \(\frac{22}{7} \cdot 2\) 的關係。解釋為什麼阿基米德選的是周長而不是半周長（提示：他的 \(\pi\) 定義是周長與直徑之比）。

練習 1.1.3（窮竭的收斂速度） 對內接正多邊形面積 \(A(n) = \frac{n}{2}\sin\frac{2\pi}{n}\) ，用 sp.series 求出 \(\pi - A(n)\) 的前三項展開，並用數值實驗驗證：當 \(n\) 加倍時，誤差大約變成原來的 \(\frac{1}{4}\) 。這與「面積誤差以 \(n^{-2}\) 收斂」一致嗎？請用 \(n = 48\) 與 \(n = 96\) 的實際數字比對。

練習 1.1.4（拋物線的窮竭，參數化版本） 把 1.1.2 的拋物線改成 \(y = h(1 - x^2)\) （高為 \(h\) ），並把弦改成 \([-b, b]\) 。用 SymPy 證明：(a) 內接三角形面積為 \(\frac{(2b)^3}{8} = b^3\) ；(b) 拋物線段面積為 \(\frac{4}{3}b^3\) （用 sp.integrate 對照）；(c) 比值恆為 \(\frac{4}{3}\) ，與 \(h\) 和 \(b\) 無關。這個「無關性」說明阿基米德定理是相似性的結果，而非巧合。

練習 1.1.5（SymPy 版本的「不可解」報告） 寫一個函數 exhaustion(f, a, b, n)，用數值方法把拋物線 \(y = 1-x^2\) 在 \([a,b]\) 上分成 \(2^n\) 段梯形，求面積近似，並比較它與 sp.integrate 的精確值。繪出誤差隨 \(n\) 下降的速率（可用 numpy 或列印表格）。這裡的「夾逼」是用梯形法而非內接三角形，請說明為何梯形法的誤差是 \(O(n^{-2})\) ——這與阿基米德的 \(O(n^{-2})\) 巧合嗎？

小結#

  • 希臘三難題的「不可能」是一個技術性概念，與「還不知道」不同；SymPy 的 NotImplementedError 與 AccumBounds 是它的現代對應物。
  • 窮竭法的三要素是：內含（或外含）、可算、餘項趨零。阿基米德用相似比證明第三點，因此整套論證是自足的，不依賴「極限」。
  • 拋物線段面積 \(=\) 同底等高三角形面積的 \(\frac{4}{3}\) ，我們用 sp.Triangle 與 sp.Sum 符號化重現，並與 sp.integrate 對照得到同一數字。
  • 阿基米德用半角公式的嵌套根號重算 96 邊形，得到並驗證了 \(\frac{223}{71} < \pi < \frac{22}{7}\) ；SymPy 的精確符號判斷正是「可證性」的現代形式。
  • 《方法》示範的是策略而非結論：力學平衡、浸入法、重心法。它被冷藏 1800 年，因為當時不需要「發現方法」。今天它的價值反而更高。
  • 全書主線：每個時代的計算工具決定了它能提出什麼問題。窮竭法給出「可證的逼近」，微積分給出「變化率」， \(\varepsilon\) - \(\delta\) 給出「定義的嚴謹」，SymPy 給出「可執行的推理」。

下一節（1.2）我們從希臘跳到十七世紀，看兩個人如何在三十年間各自發明微積分，並為今天所用的記號吵了一場延續了三百年的官司。

本節 SymPy 新工具清單#

工具 用途 例
sp.Rational(a, b) 精確有理數 sp.Rational(223, 71)
sp.Point(x, y) / sp.Triangle 幾何物件與面積 sp.Triangle(P(a), P(b), P(m))
sp.Sum(expr, (k, 0, oo)) / .doit() 無窮級數求值 sp.Sum(sp.Rational(1,4)**k, (k,0,sp.oo)).doit()
sp.summation(expr, (k, a, b)) 級數求和 sp.summation(1/n**2, (n,1,sp.oo))
sp.limit(expr, x, a) 極限 sp.limit(A, n, sp.oo)
sp.series(expr, x, 0, k) 級數展開與誤差估計 sp.series(sp.pi - A, n, sp.oo, 3)
sp.simplify(式子 > 0) 精確的不等式判斷 sp.simplify(lo - sp.Rational(223,71)) > 0
sp.integrate(f, (x, a, b)) 現代積分（對照用） sp.integrate(1 - x**2, (x, -1, 1))