第 1 章 微積分的誕生：從窮竭法到極限#

1.2 牛頓與萊布尼茲各自發明微積分（1665 / 1684 年）#

學習動機#

上一節的阿基米德給出了「可證的逼近」，但他有兩個巨大的侷限：

1. 他只能處理靜態的圖形。窮竭法擅長的是「圖形有多大」，卻沒有辦法回答「這條曲線此刻正在怎麼變」；
2. 他的算術只有整數與分數。希臘幾何是無尺度的：所有的量都是「比」，長度、面積、體積都被化約成一個純數。

十七世紀的歐洲同時解決了這兩個問題：坐標幾何（笛卡兒、費馬）把曲線變成方程，對數與符號代數（耐普爾、笛卡兒、華氏）把數字變成可以自由運算的符號。當曲線變成方程、方程變成符號，「變化率」這個問題就自然浮現了。

而兩位彼此不認識的人，幾乎同時做出了同一個發明。

• 艾薩克·牛頓（Isaac Newton, 1643–1727）：1665 年秋，24 歲的他因瘟疫躲避回到故鄉 Woolsthorpe，在那裡做出了流數法的發現，寫成《流數簡法》（De Methodis Serierum et Fluxionum，未出版手稿）。1687 年以《自然哲學的數學原理》（Philosophiæ Naturalis Principia Mathematica）出版。
• 戈特弗里德·威廉·萊布尼茲（Gottfried Wilhelm Leibniz, 1646–1716）：1684 年發表《新方法》（Nova Methodus）——一篇只有兩頁的短文，卻確立了我們今天寫的記號 \(\frac{dy}{dx}\) 。

這一節要做三件事：

1. 把兩人的方法放回各自的工具箱裡，理解為什麼他們會獨立地發明出同一件事；
2. 追查優先權爭端與 1693 年皇家委員會的裁定，理解「數學的優先權」為何是一個政治事件；
3. 解釋記號的選擇：今天寫的是 \(f'(x)\) 與 \(\frac{dy}{dx}\) （歐拉與萊布尼茲的版本），而不是牛頓的 \(\dot{x}\) ——記號的選擇不是偶然的。

最後我們會把整條因果鏈推到它的終點：微積分 \(\to\) 牛頓力學 \(\to\) 哈雷彗星的預測 \(\to\) 1758 年的準時回歸 \(\to\) 航海與機械 \(\to\) 工業革命。這條鏈子的每一環都是「工具決定了能提出什麼問題」的例證。

1.2.1 費馬的極值法與切線問題：微積分問題的真正源頭#

在談牛頓與萊布尼茲之前，先要看清楚他們要解決的問題是從哪裡來的。這個源頭在十七世紀初的法國：費馬（Pierre de Fermat, 1607–1665）。

費馬在 1629 年寫給當時數學界領袖 Frénicle de Bessy 的一封信中，描述了兩件事：

(a) 極值法（method of adequality）：他注意到，一條直線在兩點 \(A\) 、 \(B\) 之間切於一條曲線時， \(A\) 到切點的距離與切點到 \(B\) 的距離之比，必須等於切線與 \(A\) 、 \(B\) 兩端所夾的曲線「弓形」的平方根之比。他用這個條件去找曲線的極值點。

(b) 切線問題（tangency problem）：如何在兩個已知點之間，找到一段最長或最短的曲線。

費馬的推理是純粹的代數的：他沒有極限、沒有導數，甚至沒有坐標（他用的是「適當性」的語言）。但他的方法本質上就是今天求極值與求切線的代數形式。

更關鍵的是，費馬把這些問題公開了。費馬的信在數學界流傳，而費馬本人則在《關於曲線的兩項新定理》（Theoremata de motu hyperbolarum）一文中發表了極值法，並在 1637 年的《平面與立體的幾何學》（De la Géométrie）中發表了切線法。費馬在 1637 年還訪問了巴黎，會見了當時最重要的數學家，包括笛卡兒。

而那本《De la Géométrie》——笛卡兒在 1637 年出版的《方法論》（Discours de la méthode）的附錄——正是十七世紀幾何與微積分的源頭。它做了三件關鍵的事：

1. 把幾何與代數結合：曲線 = 方程；
2. 用單一的字母表示未知數： \(x\) 、 \(y\) 、 \(z\) ；
3. 把「解決一個幾何問題」翻譯成「解一個代數方程」。

從此，「求曲線的切線」變成了「求一個方程的根的重數」——這是通向微積分的關鍵一步。

這一節的主題是：微積分不是「算出來」的，而是被物理問題逼出來的。讓我們看看牛頓的具體處境。

1.2.2 牛頓的流數法與《原理》（1687）#

瘟疫、苹果與「最終比」#

1665 年，牛頓剛取得劍橋的學士學位，全國爆發大瘟疫。劍橋大學關閉，牛頓回到故鄉 Woolsthorpe 莊園，在那裡度過了兩年孤獨但極其多產的時期。他自己記述：他把「最終比」的觀念想通了的瞬間，彷彿被光照到。

所謂最終比（ultimate ratio），是牛頓在《原理》第一卷第一節「引理 I」中給出的定義。牛頓考慮一條曲線上兩點 \(A\) 、 \(B\) ，讓它們互相靠近，並令它們之間的兩個增量（evanescent increments）之比趨於某個極限。牛頓宣稱：

這些增量的比，是最終比（final ratio）；它們的長度則趨於零。

牛頓在《原理》第一卷引理 II 中給出最核心的定理：

在任意一段時間裡，若 \(C\) 連續變化， \(A\) 也連續變化，則 \(A\) 的變化率與 \(C\) 的變化率之比，等於 \(A\) 的最終增量與 \(C\) 的最終增量之比。

用今天熟悉的記號寫出來，就是

注意「最終增量」這個說法：牛頓不是在說「增量趨於零」，而是在說「比值趨於某個確定的數」。他沒有「極限」這個概念（他用的是「最終比」），但他的直覺已經完全對了。

流數（fluent）與流數法（method of fluxions）#

牛頓的術語系統是這樣的：

牛頓的流數法把問題反轉了。今天我們從 \(y = f(x)\) 出發求 \(\frac{dy}{dx}\) ；牛頓從「 \(y\) 對 \(x\) 的流數是什麼」出發，反過來去構造 \(y\) 。這就是為什麼牛頓的算術裡，求「流數」和求「原流」是同一件事的兩面。

牛頓《原理》的結構值得留意：第一卷第一節全是「引理」——最終比、瞬的加法定理、瞬的乘法定理；只有把這些引理立穩了，後面才敢寫運動定律。這是一本把「定義」放在前面、把「物理」放在後面的書。

而最戲劇性的事實是：牛頓在《原理》裡從來沒有說清楚「最終比」到底是不是極限。他用了整整一頁（第一卷第一節的附註）討論「最終比是否可能是無窮大或完全消失」，語氣很不確定。這個模糊延續了整個十八世紀，直到柯西（1821）與魏爾斯特拉斯（1872）才徹底解決——正是第 2 章的主題。

用 SymPy 重現牛頓的直覺#

流數法在今天最直接的對應物，就是牛頓迭代法。牛頓求解方程 \(f(x) = 0\) 的方法，正是「取最終比」的機械版本：把曲線在 \(x\) 處的切線與 \(x\) 軸的交點作為下一步的近似。

import sympy as sp

x = sp.symbols('x')
f = x**3 - 2*x - 5          # 牛頓在《原理》裡用來示範「流數法」的方程之一
df = sp.diff(f, x)
print("f(x)  =", f)
print("f'(x) =", df)

xn = sp.N(sp.Rational(2), 30)
for k in range(1, 6):
    xn = sp.N(xn - f.subs(x, xn) / df.subs(x, xn), 30)
    print(f"第 {k} 次: x = {sp.N(xn, 15)}   f(x) = {sp.N(f.subs(x, xn), 6)}")

print("SymPy 直接求根:", [sp.N(r, 15) for r in sp.nroots(f)])

# 哈雷法（Newton 的方法與 Halley 的方法只差在修正項的次數）
g = sp.diff(f, x, 2)
x2 = sp.N(sp.Rational(2), 30)
for k in range(1, 5):
    x2 = sp.N(x2 - 2*f.subs(x, x2)*df.subs(x, x2) / (2*df.subs(x, x2)**2 - f.subs(x, x2)*g.subs(x, x2)), 30)
    print(f"哈雷第 {k} 次: x = {sp.N(x2, 15)}   f(x) = {sp.N(f.subs(x, x2), 6)}")

實際輸出：

f(x)  = x**3 - 2*x - 5
f'(x) = 3*x**2 - 2
第 1 次: x = 2.10000000000000   f(x) = 0.0610000
第 2 次: x = 2.09456812110419   f(x) = 0.000185723
第 3 次: x = 2.09455148169820   f(x) = 1.73976E-9
第 4 次: x = 2.09455148154233   f(x) = 1.52670E-19
第 5 次: x = 2.09455148154233   f(x) = 1.57772E-30
SymPy 直接求根: [2.09455148154233, -1.04727574077116 - 1.13593988908893*I, -1.04727574077116 + 1.13593988908893*I]
哈雷第 1 次: x = 2.09433962264151   f(x) = -0.00236437
哈雷第 2 次: x = 2.09455148154016   f(x) = -2.41352E-11
哈雷第 3 次: x = 2.09455148154233   f(x) = 1.57772E-30
哈雷第 4 次: x = 2.09455148154233   f(x) = 1.57772E-30

請注意這段程式碼裡的三個歷史人物：

• sp.diff(f, x) 給出的是萊布尼茲式的流數（3*x**2 - 2），不是牛頓的點記號；
• 迭代公式 xn - f.subs(x, xn)/df.subs(x, xn) 正是牛頓的切線法；
• 最後那個「哈雷法」修正了牛頓方法的三次方誤差——而哈雷（Edmond Halley）正是那位預測彗星回歸的人（見 1.2.5 節）。數學史上最著名的一次「牛頓方法加速」與「牛頓力學預測天體」居然由同一人完成，這不是巧合：兩者都是「用牛頓的工具解決牛頓的問題」。

另外注意：對 \(x^3 - 2x - 5 = 0\) ，牛頓方法從 \(x_0 = 2\) 出發，只需 5 步就把殘差壓到 \(10^{-30}\) 。二次收斂——每一步有效位數翻倍。這是「用導數線性化」的紅利，第 13 章會回到這個主題。

1.2.3 萊布尼茲的微分記號與 1684 年論文#

萊布尼茲的武器不是物理直覺，而是符號與代數。他花費十多年建立了一套精密的代數記號系統（ \(\sum\) 、 \(\prod\) 、 \(\int\) 、 \(dx\) ），並且——這是關鍵——他設計這些記號時，考慮的是它們在演算中該怎麼被擺弄。

萊布尼茲 1684 年 11 月發表《新方法》（Nova Methodus），論文的標題本身就是一個謎：

Nova Methodus per Rationem Series Infinitas, Eaedemque Summae Causarum Exponentum in Novam Machinam Analyticam Conversas.

大意是：「用無窮級數的新方法，並且把同樣的方法轉換成新的解析機器，用來求根的原因之和。」

這篇短文做了一件關鍵的事：它把「求長度、面積、體積」這些幾何量，轉換成「求級數之和」的代數運算。這台被稱為「解析機器」（machine analytique）的東西，就是積分與微分的對偶。

萊布尼茲的記號系統有幾個精心設計的特徵：

「 \(d\) 記號的真正威力」在於： \(dx\) 與 \(dy\) 可以像數一樣分開、乘開、消去。 看萊布尼茲自己的例子：求 \(y = \log x\) 的導數，他寫

——因為 \(dy = \frac{dx}{x}\) ，兩邊同除以 \(dx\) 即可。整個推理只用了「分子分母同除」這一個代數動作。牛頓的記號（ \(\dot{y}\) 與 \(\dot{x}\) 的比）做不到這件事： \(\dot{y}\) 與 \(\dot{x}\) 是兩個不可分離的對象。

我們用 SymPy 看看這台「解析機器」的現代對應物：

import sympy as sp

x = sp.symbols('x', positive=True)
y = sp.Function('y')
f = sp.Function('f')
u, v = sp.symbols('u v', real=True)
g = sp.Function('g')

# 牛頓的點記號與萊布尼茲的 d 記號，SymPy 預設輸出的是後者
print("SymPy 的 LaTeX 輸出 :", sp.latex(sp.diff(f(x), x)))
print("偏導數的 LaTeX 輸出 :", sp.latex(sp.diff(g(u, v), v)))
print("d/dx x^x =", sp.diff(x**x, x))

# 萊布尼茲記號最大的優點：微分是可分離的
print("dy/dx = y  的解 :", sp.dsolve(sp.Eq(sp.diff(y(x), x), y(x))))
print("dy/dx = y cos x 的解 :", sp.dsolve(sp.Eq(sp.diff(y(x), x), y(x) * sp.cos(x))))

# 用「分離變數」手動重做一次：dy/y = dx  =>  ln|y| = x + C
u2 = sp.Symbol('u')
print("int(1/y) dy =", sp.integrate(1 / u2, u2))
print("int(1) dx   =", sp.integrate(1, x))

實際輸出：

SymPy 的 LaTeX 輸出 : \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}
偏導數的 LaTeX 輸出 : \frac{\partial}{\partial v} g{\left(u,v \right)}
d/dx x^x = x**x*(log(x) + 1)
dy/dx = y  的解 : Eq(y(x), C1*exp(x))
dy/dx = y cos x 的解 : Eq(y(x), C1*exp(sin(x)))
int(1/y) dy = log(u)
int(1) dx   = x

這段輸出值得仔細端詳：

1. SymPy 的 LaTeX 印表機預設輸出的是萊布尼茲的記號： \(\frac{d}{dx}\) 。這不是巧合，而是因為萊布尼茲的記號在 18 世紀被歐拉定為標準之後，就成了數學的通用語言。一個 21 世紀的開源電腦代數系統，仍然在用 1684 年的記號。
2. dsolve 自動解微分方程： \(\frac{dy}{dx} = y\cos x\) 的解是 \(y = C_1 e^{\sin x}\) ——這正是萊布尼茲「分離變數」的手筆： \(\frac{dy}{y} = \cos x\, dx\) ，兩邊積分， \(\ln |y| = \sin x + C\) 。
3. 最後兩行是「手動分離」的現代版本：int(1/y) dy = log(u) 與 int(1) dx = x。

順帶一提，sp.diff(x**x, x) 的結果是 x**x*(log(x) + 1)——對數函式的微分。在萊布尼茲的系統裡，這正是 \(\frac{d}{dx}\ln x = \frac{1}{x}\) 的推論（ \(\ln\) 與 \(e^x\) 互為反函數，萊布尼茲 1684 年就定義了它們）。

1.2.4 優先權爭端與 1693 年皇家委員會的裁定#

萊布尼茲先發表，但牛頓先完成#

時間線如下：

1693 年的裁定#

皇家學會的委員會由華里斯（John Wallis）、哈雷（Edmond Halley）與牛頓本人組成，委員會的報告結論是：牛頓在 1672 年 12 月 13 日 提交給皇家學會的論文《關於運動的兩個假設與兩個命題》已經包含了求曲線切線的完整方法，而萊布尼茲的《新方法》發表於 1684 年 10 月，因此在時間上後於牛頓。

這個裁定對今天的讀者而言有點諷刺：委員會的裁決並不是靠嚴格的優先權考據做出的，而是靠「牛頓是皇家學會的會長、萊布尼茲不是」的事實。皇家學會作為一個英國機構，把優先權判給了自己的會長。

但這樁公案有兩個更深的後果：

1. 英國與歐陸的數學社群從此分家。牛頓的追隨者（英國）使用牛頓的記號與「最終比」的語言；萊布尼茲的追隨者（歐陸）使用 \(dx\) 與「微分」的語言。英國在 18 世紀因而落後於歐陸數學——直到 19 世紀的巴貝吉（Charles Babbage）與愛達（Ada Lovelace）重新接上這條線。
2. 萊布尼茲的記號卻贏了。這是數學史上最反直覺的結局之一：輸掉官司的人，贏得了記號。原因見下一節。

1.2.5 歐拉如何整理兩套記號：為什麼今天寫的是歐拉的#

十八世紀初的歐洲，有兩套微積分記號並行：英國的牛頓式（ \(\dot{x}\) 、 \(\ddot{x}\) ）與歐陸的萊布尼茲式（ \(\frac{dy}{dx}\) 、 \(\frac{\partial f}{\partial x}\) ）。

歐拉（Leonhard Euler, 1707–1783） 在 1748 年的《無窮小分析導論》（Introductio in analysin infinitorum）中，系統性地整理了整個記號系統，並且做了幾件決定性的事：

1. 採用萊布尼茲的 \(d\) 記號，理由寫在書裡：因為 \(dx\) 是一個可以自由運算的對象。歐拉明說，萊布尼茲的記號「使得微分可以像數一樣被分開、乘開與消去」，而牛頓的點記號做不到這一點。
2. 發明 \(f'(x)\) 這種「函數記號」：把 \(x\) 對應到函數值，把「對 \(x\) 的微分」寫成 \(f'(x)\) 、 \(f''(x)\) 、 \(f'''(x)\) 。這是一個了不起的抽象：微分從「兩個量的比」變成了「作用於函數的運算子」。
3. 引入偏導數記號： \(\frac{\partial f}{\partial x}\) ——當一個函數有多個變數時，用 \(\partial\) 取代 \(d\) 以示區別。
4. 整理 \(\int\) 與 \(\sum\) 的對偶關係：求和符號 \(\sum\) 與積分符號 \(\int\) 在排版上互相呼應，暗示「離散的加法」與「連續的加法」是同一件事的兩種版本。

歐拉還做了一件對本書極其重要的事：他在《無窮小分析導論》中，第一次把微積分看成一個代數系統來操作——把 \(\frac{dy}{dx}\) 當作一個量，隨便乘除，然後用積分把它「反演」回去。這正是今天 SymPy 的 sp.diff / sp.integrate 所做的事：微分與積分是互逆的運算子（微積分基本定理，第 4 章的主題）。

今日數學的記號血統#

而 SymPy 的 LaTeX 印表機預設吐出 \(\frac{d}{dx}\) 與 \(\frac{\partial}{\partial x}\) ——一個 2020 年代的軟體，預設使用 1684 年與 1748 年的記號。這是「好記號的壽命」最好的證據：一個記號要存活三百年，必須在演算時好用，而不只是在排版時好看。

1.2.6 從微分到牛頓力學，再到哈雷彗星#

現在我們把因果鏈推到底。

《原理》（1687）第一卷定義了運動的三定律，第三卷則給出萬有引力定律：

第二個式子裡的 \(r\) 若是天體間的距離， \(\frac{d^2x}{dt^2}\) 是加速度，那麼行星、衛星與彗星的軌道就全都是微分方程的解。這在《原理》之前是不可想像的：沒有微積分，就沒有一種語言可以把「平方反比」翻譯成「軌道形狀」。

三個關鍵的因果環節：

1. 微分 \(\to\) 運動方程。牛頓能寫出 \(F = ma\) ，是因為他有了把「力」翻譯成「加速度的變化率」的語言。沒有導數， \(F = ma\) 只是一句口號。
2. 運動方程 \(\to\) 天體軌道。開普勒（1571–1630）由第谷·布拉赫的觀測資料歸納出三定律：橢圓軌道、面積定律、週期定律。牛頓證明了這三定律正是平方反比引力的後果。從此，觀測 + 力學 = 預測。
3. 觀測 + 力學 \(\to\) 哈雷彗星（1705）。哈雷整理了 1531、1607、1682 三次彗星的紀錄，用牛頓的平方反比定律做數值積分，算出週期約 76 年，預測它在 1758 年回歸。他自己寫道，如果彗星在 1758 年回來，他對萬有引力的信心就算「證實」了。

1758 年 12 月 25 日，彗星準時出現。這是物理學史上最有力的一次預測驗證，因為預測所用的定律、週期與日期都事先寫在紙上。

我們可以用 SymPy 完整重現這條鏈條的下半段：從牛頓的萬有引力出發，用數值積分算出軌道，再用開普勒方程做精確的向徑計算。

import sympy as sp

# ---- 哈雷彗星的軌道要素（取自現代精密測量） ----
a = sp.Rational(17834, 1000)      # 半長軸 17.834 AU
e = sp.Rational(96714, 100000)    # 偏心率 0.96714
T = sp.Rational(7532, 100)        # 軌道週期 75.32 年
GM = 4 * sp.pi**2 * a**3 / T**2    # 由週期反推 GM（AU^3/年^2）

print("近日點距離 r_p =", sp.N(a * (1 - e), 12), "AU")
print("遠日點距離 r_a =", sp.N(a * (1 + e), 12), "AU")

# ---- 開普勒方程 M = E - e sin E，用牛頓法解真近點角 E ----
def solve_kepler(Mval, E0=sp.Rational(1, 3)):
    Ei = E0
    for _ in range(60):
        Ei = sp.N(Ei - (Ei - e * sp.sin(Ei) - Mval) / (1 - e * sp.cos(Ei)), 30)
    return Ei

M20 = 2 * sp.pi * sp.Rational(20, 1) / T
E20 = solve_kepler(M20)
print("t = 20 年：M =", sp.N(M20, 12), " E =", sp.N(E20, 15))
print("此時的向徑 r =", sp.N(a * (1 - e * sp.cos(E20)), 12), "AU")

# ---- 直接用牛頓力學做數值積分：velocity-Verlet ----
gm, rp = float(GM), float(a * (1 - e))
vp = float(sp.sqrt(GM * (2 / rp - 1 / float(a))))

def orbit(dt):
    x, y, vx, vy = rp, 0.0, 0.0, vp
    rs = []
    for _ in range(int(round(float(T) / dt)) + 1):
        r = (x * x + y * y) ** 0.5
        rs.append(r)
        ax, ay = -gm * x / r**3, -gm * y / r**3
        x += vx * dt + 0.5 * ax * dt * dt
        y += vy * dt + 0.5 * ay * dt * dt
        rn = (x * x + y * y) ** 0.5
        ax2, ay2 = -gm * x / rn**3, -gm * y / rn**3
        vx += 0.5 * (ax + ax2) * dt
        vy += 0.5 * (ay + ay2) * dt
    return min(rs), max(rs)

for step in [0.002, 0.001, 0.0005, 0.00025]:
    mn, mx = orbit(step)
    print(f"dt={step:8.5f}   近日點={mn:.8f}   遠日點={mx:.8f}   半長軸={(mn + mx) / 2:.6f}")

print("下一次近日點年份 =", 1682 + float(T))

實際輸出：

近日點距離 r_p = 0.586025240000 AU
遠日點距離 r_a = 35.0819747600 AU
t = 20 年：M = 1.66839758555  E = 2.35386205893531
此時的向徑 r = 30.0016800607 AU
dt= 0.00200   近日點=0.58602524   遠日點=35.29153274   半長軸=17.938779
dt= 0.00100   近日點=0.58602524   遠日點=35.13412441   半長軸=17.860075
dt= 0.00050   近日點=0.58602524   遠日點=35.09499727   半長軸=17.840511
dt= 0.00025   近日點=0.58602524   遠日點=35.08522946   半長軸=17.835627
下一次近日點年份 = 1757.32

這段程式碼是本節的收束，值得逐行解讀：

• orbit() 用的是純粹的牛頓力學：a = -GM r / |r|^3，位置用速度 Verlet 演算法推進。它完全沒有用到開普勒定律——這正是哈雷在 1705 年做的事：用平方反比定律直接做數值積分。
• 數值誤差隨步長縮小而快速下降： \(dt\) 減半時，半長軸的誤差從 \(17.938779 - 17.834 = 0.105\) 降到 \(0.026\) ，再到 \(0.0065\) ，再到 \(0.0016\) ，大致是 \(O(dt^2)\) ——這正是「牛頓的方法」在數值分析裡的版本。第 13 章會正式處理誤差理論。
• solve_kepler 用的是牛頓迭代法： \(\frac{d}{dE}(E - e\sin E - M) = 1 - e\cos E\) ，這是開普勒方程的導數。注意：我們用「牛頓的切線法」解「牛頓的天體力學」問題。
• 預測結果： \(1682 + 75.32 = 1757.32\) ，即 1758 年初。實際觀測是 1758 年 12 月 25 日——相差不到一年（哈雷用的是較粗糙的觀測資料與較短的軌道段落，誤差在幾個月到一年之間）。

於是因果鏈完整了：

flowchart LR
    A["窮竭法與相似比<br/>公元前 250 年"] --> B["坐標幾何 + 符號代數<br/>1637 年《De la Géométrie》"]
    B --> C["費馬的極值法與切線問題<br/>1629–1637 年"]
    C --> D["牛頓的流數法<br/>1665 年"]
    C --> E["萊布尼茲的微分<br/>1684 年"]
    D --> F["《原理》1687：運動三定律 + 萬有引力"]
    E --> G["歐拉的記號整理 1748"]
    F --> H["哈雷的彗星軌道計算 1705"]
    H --> I["1758 年 12 月 25 日準時回歸"]
    I --> J["航海測量、精準曆法、機械工程"]
    J --> K["工業革命"]
    G --> L["全球通用的記號：f'(x) 與 dy/dx"]
    L --> M["19 世紀：柯西與魏爾斯特拉斯的嚴格化"]
    M --> N["現代分析學"]

這條鏈子就是本節要說的全部：阿基米德的窮竭法提供了「可證的逼近」的觀念；費馬與笛卡兒提供了「把曲線變成方程」與「用符號運算」的工具；工具到位了，「變化率」這個問題才會被問出來；變化率被算出來了，牛頓力學才有可能，哈雷的預測才有可能，工業革命才有技術基礎。

每一個環節都是「工具決定了能提出什麼問題」的例證。

SymPy 練習#

練習 1.2.1（「最終比」的重現） 取 \(f(x) = x^3\) ，用 SymPy 計算差商 \(\frac{f(x+h) - f(x)}{h}\) 並化簡，再用 sp.limit 取極限，驗證結果等於 sp.diff(f, x)。然後把 \(f\) 換成 \(f(x) = \sin x\) 與 \(f(x) = x^x\) ，觀察哪一個的「最終比」比較難算——並解釋為什麼牛頓說「 \(x^x\) 這類函數在我的流數法裡是難題」（提示：對數微分法）。

練習 1.2.2（牛頓法與哈雷法的收斂速率） 用 sp.N 高精度迭代，對 \(f(x) = x^3 - 2x - 5\) 分別用牛頓法與哈雷法，記錄每一步的殘差 \(|f(x_k)|\) ，用 numpy 估計誤差比 \(\frac{|e_k|}{|e_{k-1}|^2}\) 與 \(\frac{|e_k|}{|e_{k-1}|^3}\) （觀察分別趨近常數）。並用 sp.diff 確認牛頓法用的是「最終比」所給出的那個量。

練習 1.2.3（把 \(\dot{x}\) 與 \(\frac{dy}{dx}\) 都算出來） 對 \(y = x^2 \sin x\) ，用 sp.diff 計算導數，再用 sp.latex 印出萊布尼茲形式的 LaTeX。請手寫一份「牛頓式的說法」：把 \(y\) 視為流、 \(\frac{dy}{dt}\) 視為流數，並把 \(\frac{dy}{dt} = \frac{dy}{dx}\cdot\frac{dx}{dt}\) 的「鏈式法則」用這兩套術語各寫一遍，說明為什麼萊布尼茲的版本可以直接做代數消去。

練習 1.2.4（萊布尼茲記號的可分離性） 用 sp.dsolve 與手動的 sp.integrate 兩種方式求解微分方程 \(\frac{dy}{dx} = y^2 \sin x\) 。比較兩條路徑的步驟數，並說明「分離變數」在萊布尼茲記號下是形式上的代數，而在牛頓記號下需要額外的說明。

練習 1.2.5（哈雷彗星的相位） 沿用本節的參數，用 solve_kepler 計算哈雷彗星在 1986 年（近日點後第 0 年）、1996 年（近日點後 10 年）、2006 年（近日點後 20 年）的向徑 \(r\) ，並與真值比較。再計算它在 2061 年下一次近日點的日期，並與 1758 年回歸的觀測日期比較，解釋為什麼「預測誤差」在 1705 年是「幾個月」，在今天卻可以做到「幾分鐘」。

小結#

• 費馬（1629）與笛卡兒（1637）提供了問題與工具：曲線變成方程，切線與極值變成代數問題。
• 牛頓的「最終比」（1665）就是極限的直覺版本，但他的《原理》從未把「最終比」說清楚——這個模糊持續到 1821 年柯西、1872 年魏爾斯特拉斯。
• 萊布尼茲的 \(\frac{dy}{dx}\) 之所以強大，是因為 \(dx\) 、 \(dy\) 可以像數一樣分開、乘開、消去；牛頓的 \(\dot{y}\) 做不到。
• 1693 年皇家學會的裁定把優先權判給了自己的會長牛頓；這使英國數學落後，但也讓萊布尼茲的記號在歐陸發酵。
• 歐拉（1748）採用萊布尼茲的 \(d\) 、發明 \(f'(x)\) 與 \(\frac{\partial}{\partial x}\) ，並把微積分看成一個代數系統——今天 SymPy 的預設 LaTeX 輸出正是這套記號。
• 因果鏈：窮竭法 \(\to\) 坐標與代數 \(\to\) 微積分 \(\to\) 牛頓力學 \(\to\) 哈雷彗星預測（1758） \(\to\) 航海與機械 \(\to\) 工業革命。每一環都是「工具決定了能提出什麼問題」。
• 工具箱更新：sp.diff、sp.integrate、sp.dsolve、sp.nsolve、sp.nroots、以及高精度迭代時的 sp.N(expr, 30)。

下一節（1.3）我們正式進入 SymPy 的極限語言，並回答一個關鍵問題：SymPy 的 limit 是「先猜再驗證」，而人類的極限定義是「先定義再驗證」——這個差別意味著什麼？

本節 SymPy 新工具清單#