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12.2 黎曼-羅朗定理、範數與函數空間#

學習動機#

上一節我們終於有了「幾乎到處」這套語言，可以描述「函數的壞點只佔零測度集」。但立刻有兩個問題浮上來：怎麼比較兩個「差一點點」的函數？（逐點比較不行——在零測度集上不同會讓逐點距離變成無窮大）；「幾乎處處相等」的函數集合，是不是一個可以研究的幾何空間？ 它有沒有維度？怎麼證明裡面的數列會收斂？

這兩個問題在 1900 年前後同時成熟，並且和另外兩條線索匯流：黎曼-羅朗定理（1851／1863） 第一個把「解的空間的維度」寫成公式，它的精神後來長成了 Hilbert 的「Hilbert 空間」與「正交展開」；Hilbert 的 23 個問題（1900） 中第 5 題是「用連續函數的群研究三角級數」，第 19、23 題是變分法；Fourier 級數（第 11 章）則讓我們有了「把函數展開成正交基的線性組合」的具體例子。

本節的任務：交代黎曼-羅朗定理與 Hilbert 問題如何把人類推向「無窮維幾何」；重建 \(L^p\) 空間的建立過程（Schmidt、Fischer、Riesz 的貢獻與 Riesz–Fischer 定理）；用 SymPy 驗證 Hölder 與 Minkowski 不等式——它們是 \(L^p\) 能成為賦範數空間的技術支柱；迎接 Banach 空間（1922）與「弱拓撲」；用 Arzelà–Ascoli 連結第 13 章的變分法，並用 Weierstrass 逼近定理與 Stone–Weierstrass 說明「多項式在連續函數中稠密」的深遠後果。

12.2.1 黎曼-羅朗定理：第一次「數維度」#

1851 年， Riemann 在他的博士論文中處理一類稱為「阿貝爾積分」的問題；1863 年他的學生 Hermann Roch 補上了關鍵的一步。合起來得到黎曼-羅朗定理：

設 \(C\) 是一條光滑射影曲線， \(D\) 是曲線上除「基點」 \(P\) 外的點所給出的「除子」， \(f\) 是 \(D\) 的倍數。那麼存在 \(g\) 使得 \(f = \mathrm{div}(g)\) （即 \(g\) 的零點與極點正好給出 \(D\) ），而且解的空間的維數是

\[ \dim \{g : \mathrm{div}(g) = D\} = \deg D + 1 - g(C). \]

這裡 \(g(C)\) 是曲線的「虧格（genus）」，可以理解為曲線的「洞的數目」。定理的核心是：解出來的东西有多少個自由度，竟然可以用一個簡單的算術式算出來。

對初學者而言，這個定理的真正意義不在曲線，而在它把「解的空間」當成一個幾何對象來度量。我們把「維度」這個概念抽象化：把函數空間 \(X\) 裡的函數看成「點」，把線性組合看成「直線」，然後問「有多少條獨立的直線」——這就是維度。而「有多少條獨立的直線」在無窮維世界裡，會變成「有多少個獨立的正交方向」，也就是正交基。

1900 年，Hilbert 在巴黎國際數學家大會上提出 23 個問題。其中第 5 題是「用連續函數的群來研究三角級數」——這正是把 Fourier 級數看成「函數空間中的正交展開」的計畫；第 6 題是「在物理的公理化中先驗地研究概率」——Kolmogorov 1933 年的回應；第 19、23 題是變分法的正當化與進一步發展——這是 Arzelà–Ascoli 與「直接法」的舞台，也是第 13 章的主題。Hilbert 的第 5 題在 1906 年被 Schmidt、Fischer、Riesz 分頭解決，而解決的方式正是把「收斂」重新定義在一個抽象空間裡。

12.2.2 從 Fourier 級數到 \(L^2\) ：Riesz–Fischer 定理#

在第 11 章我們已經看過：三角函數 \(\cos(kx), \sin(kx)\) 在 \([0, 2\pi]\) 上互相正交。這裡先做一次精確的正交性核對，這是整個 \(L^2\) 理論的技術地基：

\[ \int_0^{2\pi} \cos(kx)\cos(mx)\, dx = \pi \, \delta_{km}, \qquad \int_0^{2\pi} \sin(kx)\sin(mx)\, dx = \pi \, \delta_{km}. \]

** \(L^2\) 空間的歷史。1906 年，Maurice Fréchet** 在《Sur quelques points du calcul fonctionnel》中提出：把「平方可積函數」的全體配上一個距離

\[ d(f, g) = \Big( \int |f - g|^2 \, dx \Big)^{1/2}, \]

並研究它的幾何結構——這就是 \(L^2\) 空間的誕生。接著：

  • Erhard Schmidt（1908）推廣到一般的 \(L^p\) ，並證明 ** \(L^p\) 是完備的**；
  • Ernst Fischer（1907）證明了 \(L^2\) 的完備性，並建立了 Parseval 等式；
  • Frigyes Riesz（1907）獨立地給出同樣的結論。

後來數學界把 Fischer 與 Riesz 的定理合稱為 Riesz–Fischer 定理：

Riesz–Fischer 定理（1907）： \(L^2([a,b])\) 在上述距離下是完備的。等價地，若 \(\sum_j a_j^2 < \infty\) ，則正交級數 \(\sum_j a_j e_j\) 在 \(L^2\) 中收斂。

「完備」的意思是：** \(L^2\) 中的每個 Cauchy 數列都收斂到某個 \(L^2\) 函數**。在 Fourier 級數的語言裡，這就是一句極其強的話：「只要係數是平方可和的，展開式就一定收斂（ \(L^2\) 意義下）」——Hilbert 第 5 題的核心。

我們用 SymPy 把正交性、Parseval 公式，以及「平方可和 \(\Rightarrow\) \(L^2\) 收斂」這件事都算出來。

import sympy as sp
import numpy as np

x = sp.symbols('x', real=True)
k = sp.symbols('k', integer=True, positive=True)
N = sp.symbols('N', integer=True, positive=True)

# ---- 正交性：int_0^{2pi} cos(kx) cos(mx) dx = pi * delta_{km} ----
for a, b in [(1, 1), (1, 2), (3, 5)]:
    val = sp.integrate(sp.cos(a * x) * sp.cos(b * x), (x, 0, 2 * sp.pi))
    print(f'int_0^2pi cos({a}x)cos({b}x) dx =', sp.simplify(val))

# ---- Riesz-Fischer：L^2 中的 Cauchy 數列必有極限 ----
# 以 e_j = cos(jx)/sqrt(pi) 為標準正交組，f_N = sum_{j<=N} a_j e_j，
# 則 ||f_N - f||_2^2 = sum_{j>N} a_j^2
print()
print('a_j = 1/j     時：sum_{j>N} 1/j^2 <= int_N^oo dx/x^2 = 1/N，其極限 =',
      sp.limit(1 / N, N, sp.oo), '-> L^2 收斂')
print('a_j = 1/sqrt(j) 時：sum_{j>=1} 1/j =', sp.summation(1 / k, (k, 1, sp.oo)),
      '-> 尾巴平方和發散，不存在 L^2 極限')

# ---- 數值驗證尾巴平方和 ----
pi2_6 = float(sp.summation(1 / k**2, (k, 1, sp.oo)))
for Nn in [10, 100, 1000]:
    s = sum(1.0 / j**2 for j in range(1, Nn + 1))
    print(f'N={Nn:5d}: sum_{{j>N}} 1/j^2 ≈ {pi2_6 - s:.10f}   (上界 1/N = {1.0/Nn:.10f})')

# ---- Parseval 公式：f = sin(x) + 2cos(2x) ----
print()
f = sp.sin(x) + 2 * sp.cos(2 * x)
norm2 = sp.simplify(sp.integrate(f**2, (x, 0, 2 * sp.pi)))
b1 = sp.simplify(sp.integrate(f * sp.sin(x), (x, 0, 2 * sp.pi)) / sp.pi)
a2 = sp.simplify(sp.integrate(f * sp.cos(2 * x), (x, 0, 2 * sp.pi)) / sp.pi)
print('||f||_2^2 =', norm2, '   b_1 =', b1, '   a_2 =', a2)
print('Parseval: pi*(b_1^2+a_2^2) =', sp.simplify(sp.pi * (b1**2 + a2**2)),
      '  == ||f||_2^2 :', sp.simplify(sp.pi * (b1**2 + a2**2) - norm2) == 0)

# ---- 數值實驗：L^2 範數下的部分和趨近於極限 sqrt(pi^2/6) ----
xs = np.linspace(0, 2 * np.pi, 4000)
for Nn in [5, 20, 100]:
    s = np.zeros_like(xs)
    for j in range(1, Nn + 1):
        s += (1.0 / j) * np.cos(j * xs) / np.sqrt(np.pi)
    print(f'N={Nn:3d} 時 ||f_N||_2 ≈ {np.sqrt(np.trapezoid(s**2, xs)):.6f}')

預期輸出：

int_0^2pi cos(1x)cos(1x) dx = pi
int_0^2pi cos(1x)cos(2x) dx = 0
int_0^2pi cos(3x)cos(5x) dx = 0

a_j = 1/j     時：sum_{j>N} 1/j^2 <= int_N^oo dx/x^2 = 1/N，其極限 = 0 -> L^2 收斂
a_j = 1/sqrt(j) 時：sum_{j>=1} 1/j = oo -> 尾巴平方和發散，不存在 L^2 極限
N=   10: sum_{j>N} 1/j^2 ≈ 0.0951663357   (上界 1/N = 0.1000000000)
N=  100: sum_{j>N} 1/j^2 ≈ 0.0099501667   (上界 1/N = 0.0100000000)
N= 1000: sum_{j>N} 1/j^2 ≈ 0.0009995002   (上界 1/N = 0.0010000000)

||f||_2^2 = 5*pi    b_1 = 1    a_2 = 2
Parseval: pi*(b_1^2+a_2^2) = 5*pi   == ||f||_2^2 : True
N=  5 時 ||f_N||_2 ≈ 1.209798
N= 20 時 ||f_N||_2 ≈ 1.263394
N=100 時 ||f_N||_2 ≈ 1.278665

注意最後三行： \(\|f_N\|_2\) 單調上升並趨近 \(\sqrt{\pi^2/6} \approx 1.2825\) 。這就是「平方可和係數的級數在 \(L^2\) 中收斂」的數值版本——每一項都往極限走，而且誤差是可以估計的（尾巴 \(\le 1/N\) ）。

12.2.3 \(L^p\) 空間：Hölder 與 Minkowski#

定義（ \(L^p\) 空間）。對 \(1 \le p < \infty\) ，令

\[ L^p([a,b]) = \Big\{ f \text{ 可測} : \int_a^b |f|^p \, dx < \infty \Big\}, \]

並配上範數

\[ \|f\|_p = \Big( \int_a^b |f|^p \, dx \Big)^{1/p}. \]

對 \(p = \infty\) ，令 \(\|f\|_\infty = \operatorname{ess\,sup} |f|\) 。兩條關鍵不等式：

Hölder 不等式（1888）：若 \(1 \le p, q < \infty\) 且 \(\frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1\) ，則

\[ \int |fg| \le \|f\|_p \, \|g\|_q . \]

特別地（ \(p = q = 2\) ）就是 Cauchy–Schwarz 不等式。

Minkowski 不等式（1896）：對 \(1 \le p < \infty\) ，

\[ \|f + g\|_p \le \|f\|_p + \|g\|_p . \]

這兩條不等式正是 「 \(L^p\) 是一個賦範數空間」的全部技術保證：Hölder 保證「乘積是 \(L^1\) 函數」，Minkowski 保證「加法不會跳出 \(L^p\) 且範數滿足三角不等式」。

順帶一提歷史：Hölder（1888）證明了 Hölder 不等式並把它連到 Young 不等式；Minkowski（1896）證明了三角不等式；Schmidt（1908）證明了 \(L^p\) 的完備性（對 \(1 \le p < \infty\) ），並證明了 \(L^p \subset L^q\) 在測度有限時的包含關係。

先用 SymPy 看看 \(L^p\) 範數的數值行為。在測度為 \(1\) 的空間 \([0,1]\) 上有

\[ \|f\|_p \le \|f\|_q \quad (p \le q), \]

也就是說「指數越大，範數越大」。這與我們在第 5 節看過的「 \(p\) -範數在有限測度空間上隨 \(p\) 遞增」是同一件事。

import sympy as sp
import numpy as np

x = sp.symbols('x', real=True)

# ---- L^p 範數的符號值（測度為 1 的空間 [0,1]）----
f = x**2
for p in [1, 2, 3]:
    exact = sp.integrate(f**p, (x, 0, 1))**sp.Rational(1, p)
    print(f'||x^2||_{p} 的精確值 =', sp.simplify(exact))
print('||x^2||_inf =', f.subs(x, 1))

# ---- 數值離散化驗證：p 越大，範數越大 ----
N = 200000
xs = (np.arange(N) + 0.5) / N
vals = xs**2
print()
for p in [1, 2, 3, 4]:
    print(f'||x^2||_{p} ≈ {(np.sum(vals**p)/N)**(1.0/p):.10f}')
print(f'||x^2||_inf ≈ {vals.max():.10f}')

# ---- 一般定理：在測度為 1 的空間上，p <= q => ||f||_p <= ||f||_q ----
print()
h = sp.sin(sp.pi * x)
for p, q in [(1, 2), (2, 4), (1, 3)]:
    lp = sp.simplify(sp.integrate(sp.Abs(h)**p, (x, 0, 1))**sp.Rational(1, p))
    lq = sp.simplify(sp.integrate(sp.Abs(h)**q, (x, 0, 1))**sp.Rational(1, q))
    print(f'||sin(pi x)||_{p} = {lp}   <=   ||sin(pi x)||_{q} = {lq} :', sp.simplify(lq - lp) >= 0)

預期輸出：

||x^2||_1 的精確值 = 1/3
||x^2||_2 的精確值 = sqrt(5)/5
||x^2||_3 的精確值 = 7**(2/3)/7
||x^2||_inf = 1

||x^2||_1 ≈ 0.3333333333
||x^2||_2 ≈ 0.4472135955
||x^2||_3 ≈ 0.5227579586
||x^2||_4 ≈ 0.5773502692
||x^2||_inf ≈ 0.9999950000

||sin(pi x)||_1 = 2/pi   <=   ||sin(pi x)||_2 = sqrt(2)/2 : True
||sin(pi x)||_2 = sqrt(2)/2   <=   ||sin(pi x)||_4 = 6**(1/4)/2 : True
||sin(pi x)||_1 = 2/pi   <=   ||sin(pi x)||_3 = 6**(2/3)/(3*pi**(1/3)) : True

接著把 Hölder 與 Minkowski 拿具體函數做一次「符號驗證」。我們取 \(f(x) = x\) 與 \(g(x) = 1 - x\) 在 \([0,1]\) 上，並且順便展示 Cauchy–Schwarz 的平方恆等式——它其實就是「平方非負」。

import sympy as sp

x = sp.symbols('x', real=True)

# ---- Hölder 不等式的符號驗證（p = q = 2，即 Cauchy-Schwarz）----
f = x
g = 1 - x
inner = sp.integrate(f * g, (x, 0, 1))
nf = sp.simplify(sp.integrate(f**2, (x, 0, 1))**sp.Rational(1, 2))
ng = sp.simplify(sp.integrate(g**2, (x, 0, 1))**sp.Rational(1, 2))
print('int_0^1 f*g =', inner)
print('||f||_2 =', nf, '  ||g||_2 =', ng)
print('||f||_2 * ||g||_2 =', sp.simplify(nf * ng))
print('Hölder: int fg <= ||f||_2 ||g||_2 :', sp.simplify(nf * ng - inner) >= 0)

# ---- Cauchy-Schwarz 的平方恆等式（差 >= 0）----
cs = sp.integrate((f - g)**2, (x, 0, 1))
print()
print('int (f-g)^2 =', cs, '   >= 0 :', cs >= 0)
print('(int fg)^2 <= (int f^2)(int g^2) :',
      sp.simplify(sp.integrate(f**2, (x, 0, 1)) * sp.integrate(g**2, (x, 0, 1)) - inner**2) >= 0)

# ---- Minkowski 不等式 ----
print()
h = f + g
nh = sp.simplify(sp.integrate(h**2, (x, 0, 1))**sp.Rational(1, 2))
print('||f+g||_2 =', nh)
print('||f||_2 + ||g||_2 =', sp.simplify(nf + ng))
print('Minkowski: ||f+g||_2 <= ||f||_2 + ||g||_2 :', sp.simplify(nf + ng - nh) >= 0)

# ---- 對一般的 L^p 也成立（用 p=1 與 p=3 試算）----
for p in [1, 3]:
    hp = sp.simplify(sp.integrate(sp.Abs(h)**p, (x, 0, 1))**sp.Rational(1, p))
    fp = sp.simplify(sp.integrate(sp.Abs(f)**p, (x, 0, 1))**sp.Rational(1, p))
    gp = sp.simplify(sp.integrate(sp.Abs(g)**p, (x, 0, 1))**sp.Rational(1, p))
    print(f'p={p}: ||f+g||_{p} = {hp}  <=  ||f||_{p}+||g||_{p} = {sp.simplify(fp+gp)} :',
          sp.simplify(fp + gp - hp) >= 0)

預期輸出：

int_0^1 f*g = 1/6
||f||_2 = sqrt(3)/3   ||g||_2 = sqrt(3)/3
||f||_2 * ||g||_2 = 1/3
Hölder: int fg <= ||f||_2 ||g||_2 : True

int (f-g)^2 = 1/3    >= 0 : True
(int fg)^2 <= (int f^2)(int g^2) : True

||f+g||_2 = 1
||f||_2 + ||g||_2 = 2*sqrt(3)/3
Minkowski: ||f+g||_2 <= ||f||_2 + ||g||_2 : True
p=1: ||f+g||_1 = 1  <=  ||f||_1+||g||_1 = 1 : True
p=3: ||f+g||_3 = 1  <=  ||f||_3+||g||_3 = 2**(1/3) : True

順帶注意 \(p=1\) 的情形： \(\|f+g\|_1 = 1\) 而 \(\|f\|_1 + \|g\|_1 = 1\) ，等號成立——因為 \(f\) 與 \(g\) 在 \([0,1]\) 上處處同號（皆非負）。這提醒我們：Minkowski 的等號條件是「同號共變」。

12.2.4 範數、距離與 Banach 空間（1922）#

定義（賦範數向量空間）。向量空間 \(X\) 上的範數 \(\|·\| : X \to [0, \infty)\) 滿足：

  1. 正定性 \(\|x\| = 0 \iff x = 0\) ；2. 齊次性 \(\|\lambda x\| = |\lambda| \, \|x\|\) ；3. 三角不等式 \(\|x + y\| \le \|x\| + \|y\|\) 。

有了範數， \(X\) 就成為一個度量空間（距離 \(d(x,y) = \|x - y\|\) ），於是「連續」、「收斂」、「開集」、「緊緻」等詞全部可以用了。

定義（Banach 空間）。完備的賦範數向量空間。「完備」指：每個 Cauchy 數列都收斂到 \(X\) 中的某個元素。

1922 年，Stefan Banach 在《線性運算理論》（Théorie des opérations linéaires）中把這套東西系統化：一個 Banach 空間是一組公理（向量空間 + 範數 + 完備性），而具體的函數空間只是它的例子。這是一個巨大的抽象化跳躍——就像 Euclid 把三角形從具體圖形抽離成「三邊與角」的一般概念。從此：

  • 線性方程組的存在唯一性 → 有了統一的定理（Baire 類比、Fredholm 理論）；
  • 迭代法 → 有了收斂的判準（Kantorovich、Schauder）；
  • 積分方程 → 有了 Fredholm 的定理；
  • 變分法 → 有了「直接法」（見下節）。

我們把 Banach 空間的兩個核心現象用數值實驗呈現：（一） \(L^2\) 的完備性（Riesz–Fischer 的數值版）；（二）無窮維空間的單位球不緊湊（這是 Banach–Alaoglu 定理必須改用弱拓撲的原因）。

import sympy as sp
import numpy as np

k = sp.symbols('k', integer=True, positive=True)
N = 5000

# ---- l^2 的完備性（Riesz-Fischer）：Cauchy 數列必有極限 ----
coefs = 1.0 / np.arange(1, N + 1)**2
sq = np.cumsum(coefs**2)
print('s_n = sum_{k<=n} (1/k^2) e_k 的 ||s_n||_2^2 前 3 個 =', sq[:3])
print('極限 sum 1/k^4 =', sp.summation(1 / k**4, (k, 1, sp.oo)))
print('數值上界 ||s_n||_2^2 ≈', sq[-1], '  -> s_n 在 l^2 中收斂')

# 對比：係數 1/sqrt(k) 的級數在 l^2 中不收斂（因為 sum 1/k 發散）
print('對比 sum 1/k =', sp.summation(1 / k, (k, 1, sp.oo)), '-> 該級數在 l^2 中沒有極限')

# ---- Banach-Alaoglu 的必要性：單位球在範數拓撲下不緊湊 ----
print()
M = 2000
def e(idx):
    v = np.zeros(M)
    v[idx] = 1.0
    return v

dists = [np.linalg.norm(e(i) - e(j)) for i in range(4) for j in range(i + 1, 4)]
print('||e_i - e_j||_2 的所有取值 =', sorted(set(round(float(d), 10) for d in dists)))
print('=> 單位球裡的序列 (e_n) 沒有範數收斂子列，故無窮維單位球不緊湊')

# ---- 但在弱拓撲下 (e_n) 收斂到 0：對任何 a in l^2，<e_n, a> = a_n -> 0 ----
a = 1.0 / np.arange(1, M + 1)
print()
print('取 a = (1, 1/2, 1/3, ...) in l^2，則 <e_n, a> = a_n =', a[:6])
print('而 a_n -> 0，故 e_n 弱收斂到 0')

# 數值驗證：弱收斂的速度
for nn in [10, 100, 1000]:
    print(f'  n={nn:5d}: <e_n, a> = {a[nn-1]:.10f}   a_n^2 = {a[nn-1]**2:.3e}')

預期輸出：

s_n = sum_{k<=n} (1/k^2) e_k 的 ||s_n||_2^2 前 3 個 = [1.         1.0625     1.07484568]
極限 sum 1/k^4 = pi**4/90
數值上界 ||s_n||_2^2 ≈ 1.0823232337084743   -> s_n 在 l^2 中收斂
對比 sum 1/k = oo -> 該級數在 l^2 中沒有極限

||e_i - e_j||_2 的所有取值 = [1.4142135624]
=> 單位球裡的序列 (e_n) 沒有範數收斂子列，故無窮維單位球不緊湊

取 a = (1, 1/2, 1/3, ...) in l^2，則 <e_n, a> = a_n = [1.         0.5        0.33333333 0.25       0.2        0.16666667]
而 a_n -> 0，故 e_n 弱收斂到 0
  n=   10: <e_n, a> = 0.1000000000   a_n^2 = 1.000e-02
  n=  100: <e_n, a> = 0.0100000000   a_n^2 = 1.000e-04
  n= 1000: <e_n, a> = 0.0010000000   a_n^2 = 1.000e-06

弱拓撲與 Banach–Alaoglu 定理（1934）。所謂「弱收斂」是指：對 \(X\) 的每個連續線性泛函 \(f \in X^*\) 都有 \(f(x_n) \to f(x)\) 。Banach–Alaoglu 定理說：

Banach–Alaoglu 定理：若 \(X\) 是 Banach 空間，則 \(X^*\) 的閉單位球在弱星拓撲 \(\sigma(X^*, X)\) 下是緊緻的。

直觀地說：無窮維空間的單位球在「強」的意義下不緊湊，但在「弱」的意義下非常緊湊——因為弱拓撲只看有限多個方向。這個「弱緊緻」是變分法、對偶理論與無限維優化的基本工具。我們在 12.2.5 節會看到它在變分法裡的直接應用。

12.2.5 Arzelà–Ascoli 定理與變分法（第 13 章的伏筆）#

1890 年，Giuseppe Arzelà 與 Giulio Ascoli 共同發表了一個判準，後來被稱為 Arzelà–Ascoli 定理：

Arzelà–Ascoli 定理：設 \(F\) 是 \([a,b]\) 上的一族連續函數。則 \(F\) 相對緊緻（即其閉包是緊緻的）等價於： 1. 一致有界：存在 \(M\) 使 \(|f(x)| \le M\) 對所有 \(f \in F\) 與所有 \(x\) 成立； 2. 等度連續：對每個 \(\varepsilon > 0\) 存在 \(\delta > 0\) ，使 \(|f(x) - f(y)| < \varepsilon\) 對所有 \(f \in F\) 與所有 \(|x-y| < \delta\) 成立。

這是「無限維的 Helly 定理」：在一維空間裡，有界 + 等度連續的函數族一定有一致收斂子列。在更高維的無窮維空間裡，對應的版本是 Banach–Alaoglu（弱拓撲版）。

為什麼變分法需要它？ 考慮最小化問題

\[ \min_{u} \; J(u) = \int_0^1 (u'(x))^2 \, dx \qquad \text{subject to } u(0) = 0,\; u(1) = 1 . \]

用「直接法」求解的步驟是：

  1. 取一個極小化序列 \(\{u_n\}\) ；
  2. 用 Arzelà–Ascoli 抽出子列 \(u_{n_k} \to u\) 一致收斂（這需要 \(u_n'\) 一致有界，從而等度連續）；
  3. 證明極限 \(u\) 也是可行解，且 \(J(u) = \lim J(u_{n_k}) = \inf J\) 。

這正是第 13 章變分法的核心劇本。讓我們用 SymPy 把「Euler–Lagrange 方程」與「直接法」的收斂步驟都算出來。

import sympy as sp
import numpy as np

x = sp.symbols('x', real=True)
h = sp.symbols('h', real=True)

# ---- Arzela-Ascoli：一列等度連續的函數必須有收斂子列 ----
# u_n(x) = x + sin(nx)/n，則 |u_n'(x)| <= 1 + 1 = 2，故等度連續；
# 又 |u_n(x)| <= 2pi + 1，故一致有界 => 必有收斂子列（極限為 u(x) = x）
print('等度連續性檢查：|u_n - u_m| <= |x-y| + |sin(nx)-sin(mx)|/n <= 2|x-y|')
print('所以 u_n 的任意子列都有一致收斂子列，且極限必為 u(x) = x')
print()

# 反例：v_n(x) = x^n 的點態極限不連續，因此不可能一致收斂
xs = np.linspace(0, 1, 6)
print('v_n(x) = x^n 的值:')
for n in [1, 2, 5, 20, 200]:
    print(f'  n={n:4d}:', np.array2string(xs**n, precision=6, suppress_small=False))
print('點態極限在 x<1 為 0、在 x=1 為 1：不連續 -> 不存在一致收斂子列')

# ---- 變分法：Euler-Lagrange 方程與直接法 ----
print()
u = x + h * sp.sin(sp.pi * x)
J = sp.simplify(sp.integrate(sp.diff(u, x)**2, (x, 0, 1)))
print('J(x + h*sin(pi x)) =', J)
print('對 h 微分求極小：', sp.simplify(sp.diff(J, h)), '= 0  ->  h = 0，即 u(x) = x')
print('J 在 h=0 的值 =', sp.simplify(J.subs(h, 0)))

# Euler-Lagrange：L = (u')^2 -> d/dx(2u') = 0 -> u'' = 0 -> u = A + Bx
print()
ux = sp.Function('u')(x)
L = sp.diff(ux, x)**2
EL = sp.simplify(sp.diff(sp.diff(L, sp.diff(ux, x)), x) - sp.diff(L, ux))
print('Euler-Lagrange 方程 d/dx(dL/du\') - dL/du =', EL, '= 0')
print('通解：', sp.dsolve(EL, ux))

預期輸出：

等度連續性檢查：|u_n - u_m| <= |x-y| + |sin(nx)-sin(mx)|/n <= 2|x-y|
所以 u_n 的任意子列都有一致收斂子列，且極限必為 u(x) = x

v_n(x) = x^n 的值:
  n=   1: [0.  0.2 0.4 0.6 0.8 1. ]
  n=   2: [0.   0.04 0.16 0.36 0.64 1.  ]
  n=   5: [0.0000e+00 3.2000e-04 1.0240e-02 7.7760e-02 3.2768e-01 1.0000e+00]
  n=  20: [0.000000e+00 1.048576e-14 1.099512e-08 3.656158e-05 1.152922e-02
 1.000000e+00]
  n= 200: [0.000000e+000 1.606938e-140 2.582250e-080 4.268252e-045 4.149516e-020
 1.000000e+000]
點態極限在 x<1 為 0、在 x=1 為 1：不連續 -> 不存在一致收斂子列

J(x + h*sin(pi x)) = pi**2*h**2/2 + 1
對 h 微分求極小： pi**2*h = 0  ->  h = 0，即 u(x) = x
J 在 h=0 的值 = 1

Euler-Lagrange 方程 d/dx(dL/du') - dL/du = 2*Derivative(u(x), (x, 2)) = 0
通解： Eq(u(x), C1 + C2*x)

「直接法」的細節值得強調：Euler–Lagrange 方程給出的是駐點，不是最小值點。要證明它真的是最小值，需要「直接法」：先證明最小值存在（Arzelà–Ascoli 給出收斂子列），再證明它滿足方程。我們上面算出的 \(J(x + h\sin\pi x) = \frac{\pi^2}{2}h^2 + 1 \ge 1\) 就是「駐點即最小值」的核對。

12.2.6 Weierstrass 逼近定理與 Stone–Weierstrass#

回到第 5 章：那裡我們用泰勒級數逼近「光滑」函數。但 \(|x|\) 在 \(0\) 不可微分，泰勒級數根本不存在。1885 年，Karl Weierstrass 給出了一個遠更強的結果：

Weierstrass 逼近定理（1885）：每個 \([a,b]\) 上的連續函數 \(f\) 都可以用多項式在一致距離下逼近，即對每個 \(\varepsilon > 0\) 存在多項式 \(p\) 使

\[ \sup_{x \in [a,b]} |f(x) - p(x)| < \varepsilon. \]

這個定理的厲害之處在於：多項式是最簡單的函數類，卻能逼近所有連續函數。它意味著「連續函數」這個概念裡沒有任何多項式表達不了的資訊。

現代的表述由 Bernstein 多項式給出（1912 年 Sergei Bernstein 的貢獻）：

\[ B_n f(x) = \sum_{k=0}^{n} f\!\left(\frac{k}{n}\right) \binom{n}{k} x^k (1 - x)^{n - k}, \qquad 0 \le x \le 1. \]

Bernstein 定理說 \(\sup_x |f(x) - B_n f(x)| \le \frac{1}{2}\omega_f(1/\sqrt{n})\) ，其中 \(\omega_f\) 是 \(f\) 的模度連續性。這是一個定量的逼近定理。

我們用 SymPy + NumPy 把它算出來：先證明 \(B_n f\) 確實是 \(f(x) = |x - \frac{1}{2}|\) 的多項式逼近（並用符號積分算 L² 誤差），再展示 Stone–Weierstrass 的精神：三角多項式（Fejér 平均）也能一致逼近連續的周期函數。

Stone–Weierstrass 定理（1948，Marshall Stone）：

設 \(X\) 是緊緻 Hausdorff 空間， \(A \subset C(X, \mathbb{R})\) 是含常數函數、分離點點的子代數，則 \(A\) 在 \(C(X, \mathbb{R})\) 中一致稠密。

它把 Weierstrass 定理推廣成一個「判準」：只要你能找到一個由簡單函數構成的子代數，它就能逼近所有連續函數。在圓周上， \(A\) 取「三角多項式」——這就同時解釋了 Fourier 級數的實踐意義。

import sympy as sp
import numpy as np
from math import comb

# ---- Bernstein 多項式逼近 f(x) = |x - 1/2|（在 x = 1/2 不可微分）----
def bernstein(fvals, x, n):
    """B_n f(x) = sum_{k=0}^n f(k/n) C(n,k) x^k (1-x)^(n-k)"""
    total = 0.0
    for k in range(n + 1):
        total += fvals(k / n) * comb(n, k) * x**k * (1 - x)**(n - k)
    return total

fvals = lambda t: abs(t - 0.5)
grid = np.linspace(0, 1, 4001)
print('Bernstein 多項式逼近 |x-1/2| 的一致誤差:')
for n in [5, 20, 100, 400]:
    err = max(abs(bernstein(fvals, t, n) - fvals(t)) for t in grid)
    print(f'  n={n:4d}:  max|f - B_n f| ≈ {err:.6f}')

# ---- 符號計算：小 n 的 L^2 誤差 ----
x = sp.symbols('x', real=True)
for n in [2, 3, 4]:
    B = sp.expand(sum(sp.Rational(comb(n, k)) * sp.Rational(abs(2 * k - n), 2 * n)
                      * x**k * (1 - x)**(n - k) for k in range(n + 1)))
    err2 = sp.integrate((sp.Abs(x - sp.Rational(1, 2)) - B)**2, (x, 0, 1))
    print(f'  n={n}: B_n f(x) =', B, '  L^2 誤差 =', err2)

# ---- Stone-Weierstrass 的實例：Fejer 平均把連續函數一致逼近 ----
print()
thetas = np.linspace(0, 2 * np.pi, 4001, endpoint=False)
g = np.abs(np.sin(thetas))
M = len(thetas)
c = np.fft.rfft(g) / M
for N in [5, 20, 100, 300]:
    ks = np.arange(-(N - 1), N)
    ck = np.zeros(2 * N - 1, dtype=complex)
    ck[N - 1] = c[0]
    for k in range(1, N):
        ck[N - 1 + k] = c[k]
        ck[N - 1 - k] = np.conj(c[k])
    w = 1 - np.abs(ks) / N
    sigma = np.real(np.exp(1j * np.outer(thetas, ks)) @ (ck * w))
    print(f'  Fejer N={N:4d}: max|f - sigma_N| ≈ {np.max(np.abs(g - sigma)):.6f}')

預期輸出：

Bernstein 多項式逼近 |x-1/2| 的一致誤差:
  n=   5:  max|f - B_n f| ≈ 0.187500
  n=  20:  max|f - B_n f| ≈ 0.088099
  n= 100:  max|f - B_n f| ≈ 0.039795
  n= 400:  max|f - B_n f| ≈ 0.019935
  n=2: B_n f(x) = x**2 - x + 1/2   L^2 誤差 = 1/80
  n=3: B_n f(x) = x**2 - x + 1/2   L^2 誤差 = 1/80
  n=4: B_n f(x) = -x**4 + 2*x**3 - x + 1/2   L^2 誤差 = 11/2016

  Fejer N=   5: max|f - sigma_N| ≈ 0.364995
  Fejer N=  20: max|f - sigma_N| ≈ 0.135806
  Fejer N= 100: max|f - sigma_N| ≈ 0.037398
  Fejer N= 300: max|f - sigma_N| ≈ 0.014780

Fejér 平均為什麼要用「平均」而不是直接取部分和？ 因為對一般的連續函數，Fourier 部分和不一定收斂，甚至可能在一點發散（du Bois-Reymond 的反例，1871）。Fejér 在 1906 年證明：Cesàro 平均 \(\sigma_N f = \frac{1}{N}\sum_{k=0}^{N-1} S_k f\) 對每個連續函數都一致收斂到 \(f\) 。這是「可控的逼近」的典型——對照第 6 章的 Cesàro 和。

12.2.7 小結#

概念 定義 關鍵人物 / 年份 SymPy 對應
黎曼-羅朗定理 \(\dim\{g : \mathrm{div}(g) = D\} = \deg D + 1 - g(C)\) Riemann 1851 / Roch 1863 —
\(L^p\) 空間 / Riesz–Fischer 定理 可測函數且 $\int f ^p < \infty$ ； \(L^2\) 完備
Hölder 不等式 $\int fg \le |f|_p|g|_q$
Minkowski 不等式 \(\|f+g\|_p \le \|f\|_p + \|g\|_p\) Minkowski, 1896 sp.integrate 核對
Banach 空間 完備的賦範數向量空間 Banach, 1922 —
Banach–Alaoglu 定理 \(X^*\) 的閉單位球在弱星拓撲下緊緻 Banach–Alaoglu, 1934 弱收斂數值實驗
Arzelà–Ascoli 定理 一致有界 + 等度連續 \(\Rightarrow\) 相對緊緻 Arzelà / Ascoli, 1890 sp.dsolve + 變分法
Weierstrass 逼近定理 連續函數可被多項式一致逼近 Weierstrass, 1885 Bernstein 多項式
Stone–Weierstrass 定理 含常數、分離點的子代數在 \(C(X)\) 中一致稠密 Stone, 1948 Fejér 平均

下一節我們把視角拉回「計算」：用 SymPy 的 limit 與 summation 親手驗證「極限與求和的交換」在哪些情形成立、在哪些情形失敗，並示範如何把 SymPy 當成一個「反例搜尋器」。

習題#

習題 12.2.1（ \(L^p\) 範數的包含關係） (a) 在 \([0,1]\) 上驗證 \(\|f\|_1 \le \|f\|_2 \le \|f\|_\infty\) （用 \(f(x) = x^a\) 與 \(f(x) = \sin(\pi x)\) 各做一次）。(b) 證明一般版本：若 \(\mu(X) < \infty\) 且 \(p < q\) ，則 \(\|f\|_q \le \mu(X)^{1/q - 1/p} \|f\|_p\) ；並說明為什麼在機率空間（ \(\mu = 1\) ）上這個不等式會「反過來」。提示：用 \(f = \mathbf{1}_A\) 與 Hölder 不等式。

習題 12.2.2（Parseval 與 Riesz–Fischer 的實作） (a) 取 \(f(x) = x\) 在 \([-\pi, \pi]\) 上，用 SymPy 算出它的 Fourier 係數（正弦項為 \(\frac{2(-1)^{k+1}}{k}\) 的奇數項、餘弦項為 \(0\) ）。(b) 用 sp.summation 計算 \(\sum_{k \text{ 奇}} \frac{1}{k^2}\) ，驗證 Parseval： \(\frac{1}{\pi}\|f\|_2^2 = \sum_k (a_k^2 + b_k^2)\) 。(c) 用數值實驗顯示 \(L^2\) 誤差 \(\|f - f_N\|_2 \to 0\) 的速度是 \(O(N^{-1/2})\) 。

習題 12.2.3（ \(L^2\) 與 \(L^1\) 的分野） 考慮函數 \(f(x) = x^{-\alpha}\) 在 \((0,1]\) 上。(a) 用 sp.integrate 判斷 \(\alpha\) 取哪些值時 \(f \in L^1\) 、哪些值時 \(f \in L^2\) 。(b) 對 \(\alpha = \frac{1}{3}\) 計算 \(f \in L^1 \setminus L^2\) 的具體證據（積分值）。(c) 說明為什麼「 \(L^2\) 完備」比「 \(L^1\) 完備」更難證明（提示： \(L^1\) 中的 Cauchy 數列可以「質量逃到無窮遠」，而 \(L^2\) 逃不掉）。

習題 12.2.4（Bernstein 逼近的定量估計） 對 \(f(x) = |x - \frac{1}{2}|\) 與 \(f(x) = \sqrt{x}\) ，用 Bernstein 多項式計算 \(\max|f - B_n f|\) 在 \(n = 10, 100, 1000\) 時的數值，擬合出誤差 \(\sim c\,n^{-\alpha}\) 的指數 \(\alpha\) ，並與理論值 \(\alpha = \frac{1}{2}\) 比較。再用 sp.integrate 計算 \(\int_0^1 (f - B_n f)^2 dx\) 的精確值（小 \(n\) ），觀察 \(L^2\) 誤差的衰減比一致誤差快一倍（ \(\alpha = 1\) ）。

習題 12.2.5（Arzelà–Ascoli 的應用：直接法） 考慮變分問題 \(\min \int_0^1 (u')^2 dx\) ， \(u(0)=0, u(1)=1\) 。(a) 證明任何一列 \(u_n\) 若滿足 \(\int_0^1 (u_n')^2 dx \le 2\) 且 \(u_n(0)=0\) ，則 \(\{u_n\}\) 等度連續，故有收斂子列。(b) 用 SymPy 驗證極限 \(u(x) = x\) 使 \(J\) 最小，並證明對任何可行的 \(v\) 有 \(J(v) - J(x) = \int_0^1 (v' - 1)^2 dx \ge 0\) 。(c) 說明若邊界條件換成 \(u(0)=0, u(1)=0\) ，則唯一的最小值點是 \(u \equiv 0\) 。