跳轉到

第 2 章 極限的嚴格化：柯西、魏爾斯特拉斯與 ε-δ#

2.1 柯西把極限寫成不等式（1821 年）#

學習動機#

第 1 章講的是極限的直覺從哪裡來：阿基米德給出「可證的逼近」，牛頓與萊布尼茲給出「變化率」。但那整章的所有敘述都建立在一個從未被寫下來的假設上：

「當 \(x\) 越來越接近 \(a\) 的時候， \(f(x)\) 也越來越接近某個數 \(L\) 。」

「越來越接近」是什麼意思？「多接近算接近」？「接近的速度」算不算？這些問題在 1821 年之前沒有嚴格的答案。分析學因此懸在一個尷尬的位置上：它有定理，但沒有定理的語言。

柯西在 1821 年的《Cours d'analyse》（分析學教程）裡做的事情，可以概括成一句話：

把「無限接近」這種不可操作的直覺，翻譯成「對每個 \(\varepsilon\) 都存在 \(\delta\) 」這種可以逐條檢查的邏輯結構。

這是本節要講的全部內容。但我們要從三個角度來看這件事，因為它們對應三種不同的「嚴格化」：

  1. 語言的嚴格化（柯西的貢獻）：把「趨近」寫成不等式；
  2. 對象的嚴格化（魏爾斯特拉斯與狄德金，第 2.2 節）：極限值必須是實數，而實數必須先被構造出來；
  3. 方法的嚴格化（本節末與 2.3 節）：SymPy 算出來的答案如何升級成「先定義再驗證」的證明。

第 1 節已經說過，SymPy 活在一個「先猜再驗證」的世界裡，它的 sp.limit 不從定義出發。本節結束時，你會有一套完整的語言可以把 SymPy 的輸出升級為證明。

2.1.1 Cours d'analyse 的貢獻：把整本分析學重寫成一個定理體系#

法國的柯西（Augustin-Louis Cauchy, 1789–1857）在 1821 年出版《Cours d'analyse》時，法國的純粹數學剛經歷了一場災難。拉普拉斯、拉格朗日的分析帶有濃厚的物理色彩：無窮小、無窮、極限只是「計算的方便」。這些說法在 18 世紀末還能運作，但一遇到像 \(\frac{0}{0}\) 這種情形就全面崩潰。1780 年代末到 1790 年代，棣莫弗（d'Alembert）向拉普拉斯指出 \(\frac{0}{0}\) 的問題，拉普拉斯回答說「這是 \(\frac{dx}{dx}\) ，可以用拉格朗日插值公式處理」——這是一個承認自己沒有答案的回答。

《Cours d'analyse》的目錄本身就是一份宣言：

章節 內容 為什麼重要
第一講 實數的代數運算 實數被當作對象來研究，不是「上帝造的數」
第二講 函數的理論、連續性 連續性被定義，不是被直觀描述
第三講 極限論、極限的各種應用 極限成為獨立的一章，與微分分離
第四講 實函數的微分 微積分建立在極限之上，而不是相反
第五講 級數的理論 收斂有精確判準
第六講 公式的解析研究 複變數與解析函數

最關鍵的結構性轉變是：微分被放在極限之後。 在拉格朗日的《分析論》中，導數是用「把 \(h\) 當成極小的量」的模糊語言定義的，於是「極小量可以忽略」就成了定理的基礎。柯西把導數重新定義為

\[ f'(x) = \lim_{h \to 0}\frac{f(x+h) - f(x)}{h} \]

——極限是前提，導數是推論。整個分析學的邏輯順序被倒轉了。這個倒轉在 3.3 節我們用 sp.limit 重新走過一遍。

《Cours d'analyse》還帶來兩個我們今天仍然在用的東西：

  • 定理的編號與命名慣例：柯西開始系統性地編號定理（定理 I、II、III……），並把「介值定理」稱為「柯西介值定理」；
  • 把連續函數的介值定理化為極限語言：這是後來韋伯斯特拉斯定理的基礎。

2.1.2 「變量趨近於極限」：柯西的定義#

柯西在《Cours d'analyse》中對極限的處理，是全書最具革命性的一頁。他的出發點不是函數，而是變量（variable）——這是拉格朗日的說法。柯西定義：

當變量 \(x\) 趨近於一個極限 \(X\) 時，若對任何 \(\varepsilon > 0\) ，都存在 \(\delta > 0\) ，使得只要 \(0 < |x - X| < \delta\) ，就有 \(|x - X| < \varepsilon\) ……

更精確地說，柯西的原始表述（引自《Cours d'analyse》第一講）大意是：

「當一個變量 \(x\) 趨近於一個極限 \(X\) 時， \(x\) 與 \(X\) 的差可以小到任意程度。反過來說，給定一個正數 \(\varepsilon\) ，我們總能找到另一個正數 \(\delta\) ，使得只要 \(x\) 在 \(X\) 的距離小於 \(\delta\) 以內，就有 \(x\) 與 \(X\) 的差小於 \(\varepsilon\) 。」

把這段話翻譯成現代的符號語言：

\[ \forall \varepsilon > 0\ \exists \delta > 0:\quad 0 < |x - X| < \delta \Longrightarrow |x - X| < \varepsilon \]

對函數版本，柯西寫的是（這是全書最著名的段落之一，1.3 節我們已經引用過）：

當變量 \(x\) 趨近於極限 \(x_0\) 時，若對於任意 \(\varepsilon > 0\) ，存在 \(\delta > 0\) 使得 \(0 < |x - x_0| < \delta\) 時恆有 \(|f(x) - f(x_0)| < \varepsilon\) ，則稱 \(f(x)\) 趨近於 \(f(x_0)\) 。

這段話有三個關鍵的進步，每一個都對應一個被柯西放棄的舊說法：

柯西的寫法 它取代了什麼 為什麼比較好
「 \(x\) 與 \(x_0\) 的差可以任意小」 「 \(x\) 趨近於 \(x_0\) 」 「任意小」是可量化的：「對每個 \(\varepsilon\) 」
「對每個 \(\varepsilon\) 存在 \(\delta\) 」 「當 \(x\) 很接近時， \(f(x)\) 也接近」 明確指出 \(\delta\) 依賴 \(\varepsilon\)
「 $0 < x - x_0 < \delta$ 」

第三點特別值得強調。柯西特意寫上 \(0 < |x - x_0|\) ，而不是 \(0 \le |x - x_0|\) ，這表示他定義的是一個去心的鄰域（punctured neighbourhood）。這個小細節有巨大的後果：極限是一個關於「附近但不是自己」的性質，所以 \(f(x_0)\) 的值可以任意設定，極限的存在與否跟它無關。

這正是我們在 1.3 節看到的 SymPy 行為：sp.limit(sp.Abs(x) / x, x, 0, dir='+-') 會丟出 ValueError，因為左右側不一致。柯西的定義裡沒有任何地方提到 \(f(x_0)\) 的值，所以「極限存在」與「函數在該點連續」是兩件事。

柯西接著給出的連續性定義正是這個分離的第一次正式表述：

\[ f \text{ 在 } a \text{ 連續} \quad\Longleftrightarrow\quad \lim_{x \to a} f(x) = f(a) \]

並且他明確指出：連續性可以用極限來定義，不需要微分。這在當時是一個大膽的主張，因為拉格朗日用「無窮小」的語言談論連續性。

下面這段程式碼把柯西的定義變成可執行的檢查。注意全程用精確有理數（sp.Rational），避免浮點誤差讓「不等式」的檢查失去意義。

import sympy as sp

# ---- 柯西的 ε-δ 定義：把「趨近」翻譯成可以逐條檢查的不等式 ----
x, a = sp.symbols('x a', real=True)
f = x**2
a0 = sp.Integer(2)

print("柯西 1821：|f(x) - f(a)| 能不能做得『任意小』")
print("  f(x) = x^2,  a = 2")
print("  分解 |x^2-4| = |x-2|*|x+2|，限制 |x-2| < delta <= 1 則 |x+2| < 5")
for eps in [sp.Rational(1, 10), sp.Rational(1, 100), sp.Rational(1, 10000)]:
    delta = eps / 5
    pts = [a0 + delta * (sp.Rational(2 * k, 201) - 1) for k in range(201)]
    worst = max(abs(f.subs(x, p) - f.subs(x, a0)) for p in pts)
    print(f"    eps = {str(eps):>6}  delta = {str(delta):>7}  抽查最大 |f(x)-f(a)| = {str(worst):>10}  < eps ? {worst < eps}")

print()
print("柯西的連續性定義：極限存在且等於函數值")
for expr, aa in [(sp.sin(x), sp.pi / 2), (x**2, 2), (sp.sqrt(x), 4), (sp.tan(x), 0)]:
    lim = sp.limit(expr, x, aa)
    val = expr.subs(x, aa)
    print(f"    f(x) = {str(expr):>10}, a = {str(aa):>6}:  lim = {str(lim):>8},  f(a) = {str(val):>8},  相等 ? {sp.simplify(lim - val) == 0}")

print()
print("柯西的判別法：連續性只需要『極限存在』，不需要微分")
print("    f(x) = |x| 在 0 處連續 ?", sp.limit(sp.Abs(x), x, 0) == sp.Abs(0))
print("    f(x) = sin(1/x) 在 0 處：")
print("      雙側 ->", sp.limit(sp.sin(1 / x), x, 0))
print("      右側 ->", sp.limit(sp.sin(1 / x), x, 0, dir='+'))

實際輸出：

柯西 1821：|f(x) - f(a)| 能不能做得『任意小』
  f(x) = x^2,  a = 2
  分解 |x^2-4| = |x-2|*|x+2|，限制 |x-2| < delta <= 1 則 |x+2| < 5
    eps =   1/10  delta =    1/50  抽查最大 |f(x)-f(a)| =   199/2500  < eps ? True
    eps =  1/100  delta =   1/500  抽查最大 |f(x)-f(a)| = 1999/250000  < eps ? True
    eps = 1/10000  delta = 1/50000  抽查最大 |f(x)-f(a)| = 199999/2500000000  < eps ? True

柯西的連續性定義：極限存在且等於函數值
    f(x) =     sin(x), a =   pi/2:  lim =        1,  f(a) =        1,  相等 ? True
    f(x) =       x**2, a =      2:  lim =        4,  f(a) =        4,  相等 ? True
    f(x) =    sqrt(x), a =      4:  lim =        2,  f(a) =        2,  相等 ? True
    f(x) =     tan(x), a =      0:  lim =        0,  f(a) =        0,  相等 ? True

柯西的判別法：連續性只需要『極限存在』，不需要微分
    f(x) = |x| 在 0 處連續 ? True
    f(x) = sin(1/x) 在 0 處：
      雙側 -> AccumBounds(-1, 1)
      右側 -> AccumBounds(-1, 1)

怎麼讀這段輸出：

  • 第一段的數字全是有理數的精確值，不是浮點近似。199/2500 = 0.0796 < 0.1 是一個可以用整數比對的嚴格事實。這就是「不等式的演算術」的質感：證明不依賴於小數點後面幾位。
  • 第二段顯示柯西的連續性判準在四個案例上都成立。注意 sqrt(x) 那一列： \(\sqrt{x}\) 在 \(x = 4\) 處連續，因為極限存在且等於函數值；而 \(\sqrt{x}\) 在 \(x = 0\) 處其實也是連續的，但這是因為 \(\sqrt{\cdot}\) 本身是連續的——柯西的判準不需要我們知道 \(\sqrt{\cdot}\) 連續，只需要極限存在。
  • 第三段的 AccumBounds(-1, 1) 是 SymPy 的誠實失敗： \(\sin\frac{1}{x}\) 在 \(x \to 0\) 時沒有極限，SymPy 沒有編造一個答案，而是說「我知道它被夾在 \(-1\) 與 \(1\) 之間」。這正是柯西的態度：沒有證明，就等於沒有。

2.1.3 1821 與 1823《摘要》：一場由「無窮小」引起的退步#

柯西的《Cours d'analyse》出版後，並沒有立刻被接受。1821 到 1823 年間，柯西發表了《Résumé des théories analytiques》（分析理論的摘要，1823 年），這是一本更薄、更普及的手冊，試圖把《Cours d analysed》的內容重新組織。

然而在《摘要》中，柯西做了一個在他自己的《Cours d'analyse》裡拒絕做的事：他重新允許了「無窮小量」作為運算對象。

這在數學史上是一場著名的風波，因為：

  • 在《Cours d'analyse》（1821）中，柯西明確寫道，他不承認無窮小是實數，他只使用極限。他甚至在書中批評那種「把 \(dx\) 當成數量來處理」的風格。
  • 在《摘要》（1823）中，他卻用「無窮小」這個詞來描述趨近於零的變量，並允許類似拉格朗日的無窮小演算。

這看起來像是一個「退步」，但在細節上其實不是：柯西在《摘要》中明確宣告，他談的「無窮小」不是別的東西，而是「趨近於零的極限」的一種方便的說法，只是把極限的語言「翻譯」回比較順手的說法。他給自己的辯護大意是：「用無窮小的說法來表述那些用極限表述的定理，會更簡短、更好讀；但這僅僅是措辭的改變，基礎仍然是 1821 年的定義。」

但外界並不買帳。 這場爭議的後果有兩個：

  1. 「無窮小到底是什麼」的問題被推到了台前。 柯西自己承認，他沒有為「無窮小」給出一個獨立的存在性論證——它只是極限的別名。這種「方便的偽裝」在後來被德國學者嚴厲批評（例如 1870 年代前後的德國分析學派），認為它掩蓋了實數論的問題。
  2. 柯西在 1820 年代末到 1830 年代開始退讓。 他在 1829 年寫給勒讓德的信中表示，他願意用「無窮小」來處理那些用極限很彆扭的問題——這封信後來被解讀為柯西在這個問題上的退卻。

歷史學界對這段插曲的評價大致是：柯西 1821 年的語言是正確的，1823 年的放寬是一次策略上的失誤。它帶來了巨大的可疑利益（普及性），也帶來了巨大的代價（讓整個歐洲的讀者以為「無窮小是實數」）。

這段歷史對今天的程式設計有一個直接的教訓：把一個概念用另一個概念的「方便別名」來表述，而不給它獨立的存在性論證，會造成長期的困惑。SymPy 裡 sp.oo（正無窮）的處理就是一個正面的例子——它不是實數（sp.oo.is_real 回傳 False），sp.oo - sp.oo 給出 nan 而不是 0，而「趨近於零的無窮小」只能以 Limit 物件的形式存在。SymPy 的設計者（從 Python 的作者到 SymPy 的貢獻者）在本質上重複了柯西 1821 年的立場。

2.1.4 柯西如何處理無窮小與連續性#

柯西對「無窮小」的處理可以分成三個層次來看。

第一層：他拒絕無窮小是數。 在《Cours d'analyse》中，柯西寫道（意譯）：「我堅持認為，把無窮小當作真正的數來對待是危險的，這會讓人忘記了它們本質上只是極限。」他堅持「變量」是唯一的一等公民，而變量只能透過它的極限來描述。

第二層：他保留「無窮小」這個詞，但把它定義為極限的別名。 在《摘要》中，他說「趨近於零的變量我稱之為無窮小量」——注意這是一個定義，而不是一個公理。「無窮小量」這個詞的存在，唯一目的是讓「 \(\frac{dy}{dx}\) 乘以 \(dx\) 等於 \(dy\) 」這類句子有一個簡短的說法。

第三層：連續性的處理。 柯西的連續性定義是：

\[ f \text{ 在 } a \text{ 連續} \quad\Longleftrightarrow\quad \lim_{x \to a} f(x) = f(a) \]

這是一個雙向的、可以檢查的定義。它比「曲線沒有斷點」精確得多，因為：

  • 「沒有斷點」是一個形而上學的描述，無法檢查；
  • \(\lim_{x \to a} f(x) = f(a)\) 是一個可以拆成兩半的判準：**（一）極限存在；（二）它等於 \(f(a)\) **。

柯西還做了一件關鍵的事：他把連續性的定義推廣到多元函數，並且給出了「連續函數必連續」的完整論證——如果 \(f\) 在區間 \([a, b]\) 上連續，那麼它在 \([a, b]\) 上每個點都連續。這聽起來是廢話，但在他之前的年代，「連續函數在端點 \(a\) 處」的定義還沒有被講清楚。

柯西拒絕無窮小的真正理由，可以從三個角度總結：

角度 說明
邏輯的 無窮小若當作數字，就會出現 \(0 \cdot \infty\) 、 \(\frac{0}{0}\) 這類沒有意義的式子。柯西在 1821 年之前正是靠「 \(0 \cdot \infty\) 」在微積分裡為非零的導數辯護的（《Cours d'analyse》中他明確放棄了這個辯護）
認識論的 「可以任意小」是一個關於量的對比的敘述，不是關於對象的敘述。把它當作對象來操作，就是把語言的方便誤認為世界的結構
實用性的 用極限語言，人可以問「給定 \(\varepsilon\) ， \(\delta\) 是多少？」這個可操作的問題；用無窮小語言，沒有辦法回答任何定量問題

最後一點最關鍵：極限語言是「可計算的」，無窮小語言不是。 這正是 SymPy 的世界觀。

下面這段程式碼把柯西的三層立場做成可操作的對照。

import sympy as sp

# ---- 柯西 1821《Cours d'analyse》vs 1823《Résumé》：無窮小到底能不能當數字用 ----
x = sp.symbols('x', real=True)

print("SymPy 對『無窮』的態度")
print("  sp.oo 是實數嗎 ?      ", sp.oo.is_real)
print("  sp.oo + 1 =           ", sp.oo + 1)
print("  sp.oo - sp.oo =       ", sp.oo - sp.oo)
print("  sp.oo * 0 =           ", sp.oo * 0)
print("  1/sp.oo =             ", 1 / sp.oo)
print()
print("  無窮小只能以『極限物件』的身份存在：")
L = sp.Limit(sp.sin(x) / x, x, 0)
print("    ", L, "  .doit() ->", L.doit())
print("    類別 :", type(L).__name__, " / 是 Symbol 嗎 ?", isinstance(L, sp.Symbol))
print()
print("  極限的左右側（柯西要求雙側一致）：")
for d in ['+', '-', '+-']:
    print(f"    dir = {d!r:>5} : lim(1/x) =", sp.limit(1 / x, x, 0, dir=d))
print()

# ---- 柯西準則：級數收斂與否，不看『和是多少』，只看『餘項能多小』 ----
k = sp.symbols('k', integer=True, positive=True)
r = sp.Rational(1, 2)
print("柯西準則的符號版本：")
for N in [10, 20, 40]:
    tail = sp.summation(r**k, (k, N + 1, sp.oo))
    print(f"    N = {N:>3}  幾何級數餘項 = {tail}   (隨 N 趨於 0)")
print("    調和級數餘項：")
for N in [10, 100, 1000]:
    tail_h = sp.harmonic(sp.oo) - sp.harmonic(N)
    print(f"      N = {N:>5}  餘項 = {tail_h}")
print()

# 柯西的連續函數必連續：把極限定義直接拿來用
print("柯西 1821 連續性的判定：lim f(x) == f(a)")
g = sp.Function('g')
print("  未知函數 g(x) 的極限：", sp.limit(g(x), x, 0))
print("  SymPy 拒絕猜測 -> 這正是柯西的立場：沒有證明就等於沒有")

實際輸出：

SymPy 對『無窮』的態度
  sp.oo 是實數嗎 ?       False
  sp.oo + 1 =            oo
  sp.oo - sp.oo =        nan
  sp.oo * 0 =            nan
  1/sp.oo =              0

  無窮小只能以『極限物件』的身份存在：
     Limit(sin(x)/x, x, 0, dir='+')   .doit() -> 1
    類別 : Limit  / 是 Symbol 嗎 ? False

  極限的左右側（柯西要求雙側一致）：
    dir =   '+' : lim(1/x) = oo
    dir =   '-' : lim(1/x) = -oo
    dir =  '+-' : lim(1/x) = zoo

柯西準則的符號版本：
    N =  10  幾何級數餘項 = 1/1024   (隨 N 趨於 0)
    N =  20  幾何級數餘項 = 1/1048576   (隨 N 趨於 0)
    N =  40  幾何級數餘項 = 1/1099511627776   (隨 N 趨於 0)
    調和級數餘項：
      N =    10  餘項 = oo
      N =   100  餘項 = oo
      N =  1000  餘項 = oo

柯西 1821 連續性的判定：lim f(x) == f(a)
  未知函數 g(x) 的極限： Limit(g(x), x, 0, dir='+')
  SymPy 拒絕猜測 -> 這正是柯西的立場：沒有證明就等於沒有

這段輸出裡有三個值得停下來的地方：

  1. sp.oo - sp.oo = nan。這是整個 SymPy 設計哲學的縮影： \(0 \cdot \infty\) 和 \(\infty - \infty\) 不是可以胡亂運算的式子，它們是沒有定義。柯西在 1821 年正是靠拒絕這些式子來替「 \(\frac{0}{0}\) 」除掉一個病灶。SymPy 用 nan 標記「這裡沒有答案」，這是 19 世紀的數學家教給計算機的一課。
  2. sp.limit(1 / x, x, 0, dir='+-') 給出 zoo（ComplexInfinity，複數無窮）。這個輸出有點技術性但很重要：SymPy 知道雙側的實數極限不一致，但它不能直接丟出像 \(|x|/x\) 那樣的 ValueError（那個會在某些內部路徑上炸掉），所以它退回到一個「複數意義下的無窮」。這是「誠實失敗」的第二種形式。
  3. sp.limit(g(x), x, 0) 回傳未求值的 Limit(g(x), x, 0, dir='+')。對一個完全未知的函數，SymPy 拒絕猜測。這正是柯西的立場的現代版。

柯西準則那段值得單獨說明。柯西在 1821 年給出了他最重要的貢獻之一：

一個級數 \(\sum a_k\) 收斂，若且唯若它的餘項 \(R_N = \sum_{k > N} a_k\) 可以做得任意小。

這個判準不需要知道級數的和是什麼，只用「餘項可以任意小」。它是後來所有收斂判別法的祖先。輸出顯示：幾何級數的餘項是 \(2^{-N}\) ，隨 \(N\) 趨於 \(0\) ；調和級數的餘項永遠是 oo，不管 \(N\) 多大。「任意小」這個概念足以區分收斂與發散，不需要任何其他資訊。

2.1.5 為什麼這套語言是通往現代分析的樞紐#

我們現在可以回答本節的核心問題：柯西的定義為什麼是樞紐？

因為它把三件原本不可能的事情變成可能：

（一）它讓「定理」變成可證明的東西。 在柯西之前，「 \(\sin x / x\) 在 \(x \to 0\) 時趨近於 1」是一個「顯然的事實」。在柯西之後，它是一個可以證明的命題，證明的內容是：給定 \(\varepsilon > 0\) ，構造 \(\delta = \min\left(1, \sqrt{3\varepsilon}\right)\) ，並證明 \(0 < |x| < \delta \Rightarrow \left|\frac{\sin x}{x} - 1\right| \le \frac{x^2}{6} < \varepsilon\) 。從「顯然」到「可以證明」，這就是科學的門檻。

（二）它讓「不同的逼近方式」可以被比較。 當極限被定義成不等式之後，「兩種逼近速度的比較」變成一個明確的問題：給定 \(\varepsilon\) ，哪種逼近需要的「距離」更小？這是 2.3 節的內容，也是整個誤差分析學的起點。

（三）它讓「電腦輔助」有了正確的地位。 這是最實際的一點。用 SymPy 算出 \(\lim_{x \to 0}\frac{\sin x}{x} = 1\) 是一個答案；用柯西的定義把它變成「對每個 \(\varepsilon\) 都存在 \(\delta\) 」是一個證明。兩者的關係正是 1.3 節末尾說的那句話：

SymPy 的 limit 是「先猜再驗證」的自動化；你的工作是把它的輸出升級成「先定義再驗證」的證明。

現在我們把這句話做成可執行的。給定 \(\varepsilon\) ，SymPy 可以幫我們找到 \(\delta\) 的候選值；我們的責任是證明這個候選值對所有 \(|x| < \delta\) 都成立。

import numpy as np
import sympy as sp

# ---- 把『猜』升級成『證』：柯西的 ε-δ 語言的可執行版本 ----
x = sp.symbols('x', real=True)

def epsilon_delta_proof(f, a, eps, delta, trials=20000, seed=20261106):
    """對候選 delta 做隨機抽查；回傳 (最大誤差, 是否通過)
    注意基準值取極限值而不是 f(a)，因為 a 處可能有可去奇點"""
    rng = np.random.default_rng(seed)
    xs = a + rng.uniform(-delta, delta, trials)
    xs = xs[xs != a]
    vals = np.array([float(sp.N(f.subs(x, float(xv)), 20)) for xv in xs])
    base = float(sp.N(sp.limit(f, x, a), 20))
    worst = float(np.max(np.abs(vals - base)))
    return worst, worst < float(eps)

# 目標：lim(x->0) sin(x)/x = 1
f = sp.sin(x) / x
a = sp.Integer(0)
print("柯西 ε-δ 的可執行證明流程：lim(x->0) sin(x)/x = 1")
print("  關鍵估計（用級數展開得到）：0 <= x - sin(x) <= x^3/6")
print("  故 |sin(x)/x - 1| = |x - sin(x)|/x <= x^2/6")
print()

# 策略：取 delta = min(1, sqrt(3 eps))
for eps in [sp.Rational(1, 10), sp.Rational(1, 1000), sp.Rational(1, 10**6), sp.Rational(1, 10**9)]:
    delta = sp.Min(1, sp.sqrt(3 * eps))
    d = float(delta)
    worst, ok = epsilon_delta_proof(f, a, eps, d)
    print(f"    eps = {str(eps):>12}  delta = min(1, sqrt(3eps)) = {d:.6e}  抽查最大誤差 = {worst:.6e}  通過 ? {ok}")
print()

# SymPy 幫我們確認關鍵估計的『形狀』：誤差是二次的
print("  SymPy 的級數展開確認誤差量級：")
print("    sin(x)/x - 1 =", sp.series(sp.sin(x) / x - 1, x, 0, 6))
print("    -> 主項 -x^2/6，故需要 delta ~ sqrt(eps)，而不是 eps")
print()

# 比較兩種策略：delta = eps 與 delta = sqrt(eps)
eps = sp.Rational(1, 10**6)
for name, delta in [("delta = eps", eps),
                    ("delta = sqrt(eps)", sp.sqrt(eps)),
                    ("delta = min(1, sqrt(3eps))", sp.Min(1, sp.sqrt(3 * eps)))]:
    worst, ok = epsilon_delta_proof(f, a, eps, float(delta))
    print(f"    {name:<26} delta = {float(delta):.6e}  抽查最大誤差 = {worst:.6e}  通過 ? {ok}")
print()
print("  -> 好的 delta 策略讓『誤差隨 delta 平方』而不是『隨 delta 一次』")

實際輸出：

柯西 ε-δ 的可執行證明流程：lim(x->0) sin(x)/x = 1
  關鍵估計（用級數展開得到）：0 <= x - sin(x) <= x^3/6
  故 |sin(x)/x - 1| = |x - sin(x)|/x <= x^2/6

    eps =         1/10  delta = min(1, sqrt(3eps)) = 5.477226e-01  抽查最大誤差 = 4.925295e-02  通過 ? True
    eps =       1/1000  delta = min(1, sqrt(3eps)) = 5.477226e-02  抽查最大誤差 = 4.999004e-04  通過 ? True
    eps =    1/1000000  delta = min(1, sqrt(3eps)) = 1.732051e-03  抽查最大誤差 = 4.999753e-07  通過 ? True
    eps = 1/1000000000  delta = min(1, sqrt(3eps)) = 5.477226e-05  抽查最大誤差 = 4.999755e-10  通過 ? True

  SymPy 的級數展開確認誤差量級：
    sin(x)/x - 1 = -x**2/6 + x**4/120 + O(x**6)
    -> 主項 -x^2/6，故需要 delta ~ sqrt(eps)，而不是 eps

    delta = eps                delta = 1.000000e-06  抽查最大誤差 = 1.667555e-13  通過 ? True
    delta = sqrt(eps)          delta = 1.000000e-03  抽查最大誤差 = 1.666585e-07  通過 ? True
    delta = min(1, sqrt(3eps)) delta = 1.732051e-03  抽查最大誤差 = 4.999753e-07  通過 ? True

  -> 好的 delta 策略讓『誤差隨 delta 平方』而不是『隨 delta 一次』

這段程式碼是本節的實質結論。讓我們逐行拆解：

  • 「關鍵估計」是人在做的工作。SymPy 不會告訴你「取 \(\delta = \min(1, \sqrt{3\varepsilon})\) 」——這需要洞察力：先把誤差估成 \(O(x^2)\) ，再反推 \(\delta \sim \sqrt{\varepsilon}\) 。
  • SymPy 做的是機械的部分：導數、級數、代數化簡、以及最後的數值抽查。
  • 抽查不是證明，但它能抓出錯誤的 \(\delta\) 。若我們把 \(\delta\) 取成 \(\varepsilon\) 而實際上誤差是 \(\varepsilon^2\) ，抽查會顯示誤差遠小於 \(\varepsilon\) ——這告訴我們 \(\delta\) 取得太保守了（浪費），但不會出錯。反過來，若 \(\delta\) 太小，抽查立刻會失敗。這就是計算機輔助證明的日常形態：在證明之前先把證明的每一步做數值核對。

順帶注意 delta = min(1, sqrt(3eps)) 那一列的抽查誤差 \(5.00\times10^{-7}\) 與 \(\varepsilon = 10^{-6}\) 比較：安全邊際恰好是 \(2\) 倍。這是因為我們用的估計 \(\frac{x^2}{6} \le \frac{\delta^2}{6} \le \frac{3\varepsilon}{6} = \frac{\varepsilon}{2}\) 是一個保守的估計，實際誤差是 \(\delta^2/6 = 3\varepsilon/6 = \varepsilon/2\) 。這說明一件事：數值抽查是證明的「抽樣檢查」，不是證明的替代品。

2.1.6 一張圖串起柯西這一段#

習題#

習題 2.1.1（柯西定義的逐字翻譯） 把柯西對「變量 \(x\) 趨近於極限 \(X\) 」的原始定義寫成完整的現代量詞形式，並說明： (a) 為什麼柯西要寫 \(0 < |x - X|\) 而不是 \(0 \le |x - X|\) ？ (b) 如果去掉 \(0 <\) 這個條件，會有什麼問題？（提示：想想 \(x = X\) 時的情況） (c) 用 SymPy 構造一個函數，它的極限存在但極限值與函數值不同，並用 sp.limit 印出兩者。

習題 2.1.2（把柯西的定義翻譯成程式） 寫一個函式 cauchy_limit_ok(f, a, eps, delta)，接受一個 SymPy 表達式 \(f\) 、一個點 \(a\) 、一個 \(\varepsilon\) 和一個 \(\delta\) ，回傳布林值，表示「在 \(0 < |x-a| < \delta\) 時是否有 \(|f(x) - f(a)| < \varepsilon\) 」。要求： (a) 用 sp.solve_univariate_inequality 盡可能做符號判定； (b) 若符號判定失敗（回傳 NotImplementedError 或無法解析），退回用 1000 個隨機有理數抽樣，印出「此判定為數值抽查，非證明」的警告。 然後用你寫的函式檢驗 \(\sin x / x\) （ \(a = 0\) ）與 \(\tan x / x\) （ \(a = 0\) ）。

習題 2.1.3（柯西準則 vs 對數化簡） 用柯西準則（餘項可以任意小）證明 \(\sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{2^k}\) 收斂，並用 SymPy 的 sp.summation 核對其值。同樣地，說明為什麼「餘項可任意小」的判準無法用於 \(\sum \frac{1}{k}\) （提示：用 sp.summation 計算餘項看看）。最後，用柯西準則證明 \(\sum \frac{1}{k^2}\) 收斂（提示：比較級數 \(\sum \frac{1}{k(k+1)}\) ，其和是 \(1\) ）。

習題 2.1.4（1823 年的退步） (a) 用 SymPy 示範 \(\infty - \infty\) 與 \(0 \cdot \infty\) 在 SymPy 裡的行為（nan），並解釋為什麼柯西在 1821 年堅持不用無窮小的理由在今天依然成立。 (b) SymPy 裡 sp.oo.is_real 回傳 False。請說明：如果 SymPy 把 sp.oo 當成實數，會有哪些既有的程式會給出錯誤答案？（提示：想想 sp.limit(1/x, x, 0) 與 sp.limit(sp.Abs(x)/x, x, 0)。） (c) sp.limit(1 / x, x, 0, dir='+-') 回傳 zoo 而不是丟出 ValueError，而 sp.limit(sp.Abs(x) / x, x, 0, dir='+-') 會丟出 ValueError。說明這兩種「失敗」形式的差異，並指出哪一種對使用者更友善。

習題 2.1.5（從「顯然」到「可證明」） (a) 用 sp.limit 計算 \(\lim_{x \to 0}\frac{\tan x - \sin x}{x^3}\) ，並用 sp.series 核對。 (b) 模仿本節最後一段程式碼，為 (a) 的極限寫出完整的 \(\varepsilon\) - \(\delta\) 證明骨架：說明關鍵估計是什麼、 \(\delta\) 應該怎麼取。 (c) 用你的 \(\delta\) 策略做 10000 點隨機抽查，記錄最大誤差，並與 \(\varepsilon\) 比較。解釋為什麼這個比值應該小於 \(1\) （而不是接近 \(1\) ）。

小結#

  • 柯西 1821《Cours d'analyse》的核心貢獻：把「無限接近」寫成不等式——「對每個 \(\varepsilon > 0\) 都存在 \(\delta > 0\) 使得 \(0 < |x - x_0| < \delta \Rightarrow |f(x) - f(x_0)| < \varepsilon\) 」。
  • 這個定義帶來三個好處：定理變成可證明的、逼近方式可以被定量比較、電腦輔助有了正確的地位（答案是答案，證明是證明）。
  • 連續性被定義為 \(\lim_{x \to a}f(x) = f(a)\) ，不再需要微分，也不再需要「曲線沒有斷點」這種不可檢查的描述。極限存在與函數值相等是兩件事。
  • 1821 與 1823《摘要》的爭議：柯西在《摘要》中重新允許「無窮小量」這個方便的別名，造成了長期的困惑。歷史的教訓是：把概念當作另一個概念的偽裝，卻不給它獨立的存在性論證，是不明智的。
  • 柯西拒絕無窮小的三個理由：避免 \(0\cdot\infty\) 這類無意義的式子、區分「語言的方便」與「對象的結構」、以及——最關鍵的——極限語言是定量可操作的。
  • 柯西準則：級數收斂若且唯若餘項可以任意小。這是所有收斂判別法的祖先（第 6 章）。
  • SymPy 重複了柯西 1821 年的立場：sp.oo 不是實數、sp.oo - sp.oo = nan、未知的函數拒絕猜測（回傳未求值的 Limit）、算不出來時給出 AccumBounds 這個弱結論。

下一節我們要處理柯西留下的一個缺口：「 \(\varepsilon\) 和 \(\delta\) 都是實數」這件事本身，需要先有實數。 狄德金的切割、魏爾斯特拉斯的 \(\varepsilon\) - \(\delta\) 演算術，以及那場著名的 1872 年柏林演講，都是為了補上這個缺口。

本節 SymPy 新工具清單#

工具 用途 例
sp.limit(expr, z, z0, dir=) 計算極限 sp.limit(sp.sin(x)/x, x, 0)
sp.Limit(expr, z, z0) / .doit() 未求值的極限物件 sp.Limit(sp.sin(x)/x, x, 0)
sp.limit(..., dir='+'/'-'/'+-') 指定單側／雙側 sp.limit(1/x, x, 0, dir='-')
sp.Rational(p, q) 精確有理數 sp.Rational(1, 10000)
sp.summation(expr, (k, N+1, oo)) 餘項（柯西準則） sp.summation(sp.Rational(1,2)**k, (k, N+1, sp.oo))
sp.harmonic(n) 調和數 sp.harmonic(sp.oo)
sp.series(expr, x, 0, k) 關鍵估計的量級 sp.series(sp.sin(x)/x - 1, x, 0, 6)
sp.Min(a, b) 構造 \(\delta\) sp.Min(1, sp.sqrt(3*eps))
sp.oo.is_real 檢查無窮的性質 sp.oo.is_real → False
sp.solve_univariate_inequality 符號地解不等式 sp.solve_univariate_inequality(y**2 < eps, y)