3.1 費馬的極值法與切線問題（1629 年）#

學習動機#

第 1 章講的是「怎麼把極限說清楚」，第 2 章講的是「怎麼把極限定理寫成不等式」。但在我們能說清楚「導數是什麼」之前，數學家早就在用導數了——而且用得很好。

1629 年，費馬（Pierre de Fermat, 1607–1665）在圖盧茲（Halle-sur-Saône）完成了一篇手稿，標題是《切線與極值》（Tangentui Lineae Curvarum）與《求極值的方法》（Methodus de Extrema）。這篇手稿在他生前沒有出版，卻在 1679 年由他的兄弟 Samuel de Fermat 編入《數學文集》（Varia Opera Mathematica）才問世。它裡面藏著兩樣東西：

1. 切線問題的一般解法——給定一條由方程描述的曲線與曲線上一點，求該點的切線；
2. 極值原理——一條光滑曲線在「最高點」或「最低點」處，切線必定平行於 \(x\) 軸。

第二點是今天「 \(\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = 0\) 是極值點的必要條件」的直接祖先。而第一點，正是「導數」這個概念的真正動機：費馬並不是先定義導數、再去求切線；他是先有切線問題，再用極值法把它解決。

本節要回答四個問題：

• 切線問題怎麼從阿波羅尼奧斯（Apollonius）與阿基米德（Archimedes）傳到費馬手上？
• 費馬的「尋常法」（méthode ordinaire）與「適當法」（méthode appropriée）差在哪裡？
• 為什麼「極值點處切線必為水平」是一個自然的想法，而不是一個需要證明的定理？
• 費馬的極值法如何一步步長成 Rolle 定理（1657）？

而最後——我們要用 SymPy 把費馬的「適當法」完整跑一遍：把切線代回曲線方程，要求交點是二重根。這是隱函數微分的原始形式，比萊布尼茲的 \(\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}\) 早了 55 年。

3.1.1 阿波羅尼奧斯與阿基米德：切線問題的古老血統#

希臘人幾乎沒有留下「切線」的正式定義，但切線的問題一直在他們手邊。

阿波羅尼奧斯（Apollonius of Perga, 前 240–190 年）在《圓錐曲線論》（Conics）中系統研究拋物線、橢圓、雙曲線。他的切割（tomos）定義了「切線」：與拋物線只交於一點、且與該曲線「不交叉」的直線。阿波羅尼奧斯用對稱軸上的比例關係給出了拋物線切線的構造方法。

我們用現代符號寫出來。取拋物線

設切點 \(P = (x_0, y_0)\) ，其中 \(y_0^2 = 4a x_0\) 。阿波羅尼奧斯的結論是：過 \(P\) 的切線為

注意右邊的 \(x + x_0\) 是加號——這正是拋物線切線與橢圓切線（ \(y_0 y - b^2 x = a^2 x_0\) ）形式不同的原因，也是阿波羅尼奧斯「切割」幾何留下的指紋。

阿基米德（Archimedes, 前 287–212 年）則從另一頭推動：他的《方法論》（Methodus, 公元前 200 年左右）是用機械比喻來求面積與體積的方法——他用槓桿、天平、拋物線的「重心」去猜測答案，再用窮竭法證實。費馬的極值法與阿基米德的方法論有一個共同特徵：都是用「機械的、可視的、直覺性的」裝置去解決原本被認為只能靠演繹的問題。

到了 17 世紀，歐洲的解析幾何（笛卡兒 1637、費馬 1639）給了曲線一個方程。問題於是變得尖銳了：

給定方程 \(F(x, y) = 0\) 與曲線上的一點 \(P\) ，求過 \(P\) 的切線方程。

這正是費馬 1629 年手稿要回答的問題。

3.1.2 費馬 1629：尋常法與適當法#

費馬的手稿分兩部分。後半部分（extremum）用極值法處理奇次冪曲線 \(y = x^n\) ；前半部分（tangent）處理切線，並且明確區分了兩種方法。

尋常法（méthode ordinaire）#

「尋常法」處理的是形如

這類單項式曲線。費馬的做法是：把 \(x\) 增加一個「極小增量」 \(e\) ，觀察縱標的增量

然後要求：當 \(e \to 0\) 時，增量與 \(e\) 的比值趨於某個有限值，這個值就是切線斜率。費馬用二項式定理做這個計算，得到的規則是

我們用 SymPy 從極限定義重建費馬的計算。注意 sp.limit 做的事情，就是「令 \(e \to 0\) ，看增量比值趨向何值」。

import sympy as sp

x, h = sp.symbols('x h', real=True)
p, q = sp.symbols('p q', positive=True)
x0 = sp.symbols('x0', positive=True)

# 費馬的「尋常法」：對 y = x^(p/q)，求增量比值 lim (y(x+h) - y(x))/h
y = x**(p/q)
slope = sp.simplify(sp.limit((y.subs(x, x + h) - y) / h, h, 0))
print("d/dx x^(p/q) =", slope)

m0 = sp.simplify(slope.subs(x, x0))
print("在 x0 處的斜率 =", m0)

# 費馬的切線寫法：y - y0 = m0 (x - x0)，其中 y0 = x0^(p/q)
y0 = x0**(p/q)
tangent = sp.simplify(y0 + m0*(x - x0))
print("切線（化簡後）= ", tangent)
print("斜率再取一次確認 =", sp.simplify(sp.diff(tangent, x).subs(x, x0) - m0))

預期輸出：

d/dx x^(p/q) = p*x**((p - q)/q)/q
在 x0 處的斜率 = p*x0**((p - q)/q)/q
切線（化簡後）=  x0**(p/q - 1)*(p*x - p*x0 + q*x0)/q
斜率再取一次確認 = 0

這就是費馬「尋常法」的完整內容：他只對單項式曲線有把握，因為二項式展開給了他一個可操作的代數程序。對一般曲線，二項式定理無從套用——這就逼出了「適當法」。

適當法（méthode appropriée）#

「適當法」處理一般的曲線方程。費馬的想法是這樣的：

切線與曲線在切點處相切，所以直線代回曲線方程後，切點必須是方程的二重根（至少是二重根）。

這個想法的關鍵不在「微分」，而在「根的重數」。費馬把切線寫成 \(y = mx + c\) （ \(m\) 是待求斜率），代入曲線方程 \(F(x, y) = 0\) ，得到一個關於 \(x\) 的多項式；切線的條件是 \(x = x_0\) 這個根是重的。他用「把方程除以 \((x - x_0)\) 後再令 \(x = x_0\) 」來實現這個條件——這正是今天重根定理（若 \(p(x_0) = 0\) 且 \(p'(x_0) = 0\) ，則 \(x_0\) 是至少二重根）的原始版本。

我們用 SymPy 把費馬的「適當法」完整跑一遍。以拋物線 \(y^2 = x\) 為例：

import sympy as sp

x, y, m = sp.symbols('x y m', real=True)
x0, y0 = sp.symbols('x0 y0', real=True)

# 曲線： y^2 = x
F = y**2 - x

# 過 P = (x0, y0)、斜率為 m 的直線
line = y0 + m*(x - x0)

# 把直線代回曲線方程
poly = sp.expand(F.subs(y, line))
print("直線代回曲線後 =", sp.factor(poly))

# 切線條件：x = x0 是二重根 => 對 x 求導後在 x0 處為 0
cond = sp.simplify(sp.diff(poly, x).subs(x, x0))
print("重根條件 =", sp.factor(cond))
sol = sp.solve(cond, m)
print("解得斜率 m =", sol)

預期輸出：

直線代回曲線後 = m**2*x**2 - 2*m**2*x*x0 + m**2*x0**2 + 2*m*x*y0 - 2*m*x0*y0 - x + y0**2
重根條件 = 2*m*y0 - 1
解得斜率 m = [1/(2*y0)]

\(2m y_0 - 1 = 0\) 給出 \(m = \frac{1}{2y_0}\) 。由 \(y_0^2 = x_0\) 可知這正是 \(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\sqrt{x} = \frac{1}{2\sqrt{x}}\) ——費馬用重根條件算出的斜率，和用極限定義算出的斜率是同一個東西。這是本節最重要的對照：費馬的兩種方法在符號運算層面是等價的，只是路徑不同。

我們再把阿波羅尼奧斯的拋物線 \(y^2 = 4ax\) 用同一套「適當法」處理，並證明「二重根」確實成立：

import sympy as sp

a, x, y = sp.symbols('a x y', positive=True)
x0, y0 = sp.symbols('x0 y0', positive=True)

F = y**2 - 4*a*x
Fx = sp.diff(F, x)
Fy = sp.diff(F, y)
print("dF/dx =", Fx, "  dF/dy =", Fy)

yprime = sp.simplify(-Fx / Fy)
print("隱函數微分給出 y' =", yprime)
print("P 處切線斜率 =", yprime.subs(y, y0))

tangent = sp.Eq(y0*y, 2*a*(x + x0))
print("切線方程 =", tangent)

# 驗證：把切線代回曲線，交點是二重根
y_from_tangent = sp.solve(sp.Eq(y0*y, 2*a*(x + x0)), y)[0]
resid = sp.expand((y**2 - 4*a*x).subs(y, y_from_tangent))
resid = sp.simplify(resid * y0**2 / (4*a))
resid = sp.expand(resid.subs(y0**2, 4*a*x0))
print("切線代回曲線後（乘以無關因子）= ", sp.expand(resid))
print("是否為 (x - x0)^2 的倍數？", sp.simplify(resid / (x - x0)**2))

預期輸出：

dF/dx = -4*a   dF/dy = 2*y
隱函數微分給出 y' = 2*a/y
P 處切線斜率 = 2*a/y0
切線方程 = Eq(y*y0, 2*a*(x + x0))
切線代回曲線後（乘以無關因子）=  a*x**2 - 2*a*x*x0 + a*x0**2
是否為 (x - x0)^2 的倍數？ a

結果是 \(a(x - x_0)^2\) ——正是二重根。而且切線方程 \(y_0 y = 2a(x + x_0)\) 與阿波羅尼奧斯的公式一模一樣（注意是 \(+\) ）。

順帶一提：-Fx/Fy 這個式子正是「隱函數微分」的通則。它在 1629 年就隱含在費馬的重根條件裡了，只是當時的表達是「把曲線方程寫成 \(F(x,y) = 0\) ，令 \(\frac{\mathrm{d}F}{\mathrm{d}x} = F_x + F_y \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = 0\) 」——這要到 3.2 節萊布尼茲的記號出現後才寫得出來。

3.1.3 極值原理：為什麼「極值 → 切線水平」是自然的#

費馬手稿的後半部分處理的是另一個問題：求一條曲線的最大值與最小值。他的論證結構是這樣的：

1. 設 \(f\) 在 \(x_0\) 處取到極大值；
2. 那麼對任何小的 \(e > 0\) ，必有 \(f(x_0 + e) < f(x_0)\) 且 \(f(x_0 - e) < f(x_0)\) ；
3. 換句話說，增量 \(f(x_0 + e) - f(x_0)\) 對 \(e\) 的正負號敏感：它必須在 \(e = 0\) 處「變號」；
4. 而增量 \(f(x_0 + e) - f(x_0)\) 的一次項係數正是切線斜率；
5. 所以切線斜率必須為零。

第 4 步是關鍵。費馬不只說「切線要水平」——他說的是：增量的變號行為，只能由一次項負責。一次項為零、且二次項為負，就能在 \(e\) 兩側都往下掉；反之若一次項不為零，往某一邊移動就會往上爬。

這個論證可以完全用 SymPy 的代數來做，而且不依賴任何微積分定理：

import sympy as sp

x, e = sp.symbols('x e', real=True)

# 費馬的極值法：位移 e 後，函數值之差必須「一階為零」
# 即差值是 e^2 的因式（否則往某一邊移動可讓值變大）
f = x**3 - 3*x**2 + x + 1

delta = sp.expand(f.subs(x, x + e) - f)
print("f(x+e) - f(x) =", sp.factor(delta))
print("一次項係數 =", sp.expand(delta).coeff(e, 1))

# 令一次項為零，求候選點
cand = sp.solve(sp.Eq(sp.expand(delta).coeff(e, 1), 0), x)
print("候選點 =", cand)

for c in cand:
    d2 = sp.expand(delta.subs(x, c)).coeff(e, 2)
    print("  x =", c, " 二次項係數 =", d2, "=> 極小" if d2 > 0 else "=> 極大")

預期輸出：

f(x+e) - f(x) = e*(e**2 + 3*e*x - 3*e + 3*x**2 - 6*x + 1)
一次項係數 = 3*x**2 - 6*x + 1
候選點 = [1 - sqrt(6)/3, sqrt(6)/3 + 1]
  x = 1 - sqrt(6)/3  二次項係數 = -sqrt(6) => 極大
  x = sqrt(6)/3 + 1  二次項係數 = sqrt(6) => 極小

注意：**一次項係數就是 \(f'(x)\) **。費馬在沒有導數記號的情況下，用「增量展開的一次項」這個概念做了完全相同的事。他只是還不習慣把這個量單獨命名為「導數」。

我們再回到費馬原理最簡單的版本，並且從極限定義算出切線斜率，而不是直接用 diff：

import sympy as sp

x, h = sp.symbols('x h', real=True)
f = x**2 - 3*x + 2

# 費馬原理：極值點處，切線必須平行於 x 軸
slope = sp.simplify(sp.limit((f.subs(x, x + h) - f) / h, h, 0))
print("切線斜率函數 =", slope)

sol = sp.solve(sp.Eq(slope, 0), x)
print("費馬原理給出的候選點 =", sol)

x0 = sol[0]
print("f(x0) =", sp.simplify(f.subs(x, x0)))

eps = sp.symbols('eps', positive=True)
left = sp.simplify(f.subs(x, x0 - eps) - f.subs(x, x0))
right = sp.simplify(f.subs(x, x0 + eps) - f.subs(x, x0))
print("左側差 =", left, " 右側差 =", right)
print("左差為正？", left.is_positive, " 右差為正？", right.is_positive)

預期輸出：

切線斜率函數 = 2*x - 3
費馬原理給出的候選點 = [3/2]
f(x0) = -1/4
左側差 = eps**2  右側差 = eps**2
左差為正？ True  右差為正？ True

這一段是整節的「核心回歸」：極值 \(\Rightarrow\) 斜率為零 \(\Rightarrow\) 切線水平。三個箭頭在 SymPy 裡是三行可執行程式碼。

而它的幾何意義值得用圖說明：

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# 費馬的直覺：極值點處，切線必須「水平」
x = np.linspace(-3, 4, 400)
f = x**2 - 3*x + 2
x0 = 1.5
y0 = x0**2 - 3*x0 + 2

fig, ax = plt.subplots(figsize=(7, 4.5))
ax.plot(x, f, label=r"$f(x)=x^2-3x+2$", linewidth=2)
ax.axhline(y0, ls="--", color="gray", label="horizontal tangent (slope = 0)")
ax.scatter([x0], [y0], color="red", zorder=5, label=r"minimum $x_0=3/2$")
ax.axhline(0, color="black", linewidth=0.8)
ax.set_xlabel("x")
ax.set_ylabel("f(x)")
ax.legend()
ax.set_title("Fermat: at an extremum the tangent is parallel to the x-axis")
plt.tight_layout()
plt.savefig("/tmp/fermat_horizontal_tangent.png", dpi=120)
print("圖已存到 /tmp/fermat_horizontal_tangent.png")

預期輸出：

圖已存到 /tmp/fermat_horizontal_tangent.png

在極小點 \(x_0 = \frac{3}{2}\) 處，曲線「轉向」，切線水平。費馬的直覺是：如果這裡切線不水平，那沿切線方向稍微挪動，函數值就會朝某一側上升，與「極小」矛盾。

3.1.4 Rolle 定理的雛形（1657）#

費馬的極值原理還需要一個「連續性」假設，才能從「極值存在」推出「切線水平」。這個假設正是 1657 年 Michel Rolle（米歇爾・羅爾, 1653–1713）補上的。

Rolle 的《Miscellanea Mathematica》（巴黎，1657）原本是為了解多項式方程的實根個數而寫的。他證明了：若多項式在兩個相鄰整數處取異號，則中間必有實根（介值定理的雛形）。而他的核心工具，正是費馬的極值法：把 \(f(x) - f(a)\) 看成一個函數，在區間端點取到零值，若內部某處取到正的最大值，那麼該處切線必為水平——即 \(\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = 0\) 。這就是後來以他命名的 Rolle 定理：

若 \(f\) 在 \([a, b]\) 上連續、在 \((a, b)\) 上可導，且 \(f(a) = f(b)\) ，則存在 \(c \in (a, b)\) 使得 \(f'(c) = 0\) 。

這個定理的歷史意義在於：它是第一個把「極值」與「導數為零」明確連結起來的定理，而且它的敘述裡完全沒有「無窮小」——它是從費馬的增量論證，經過「連續性」的補充，走向柯西、魏爾斯特拉斯的 ε-δ 語言（第 2 章）的關鍵一步。19 世紀的拉格朗日中值定理（中值定理的完整版）正是 Rolle 定理的加強。

我們用 SymPy 驗證 Rolle 定理的一個具體實例：

import sympy as sp

x = sp.Symbol('x', real=True)

# Rolle 定理的雛形：f 在 [a,b] 上連續、f(a)=f(b)、可導 => 存在 c 使 f'(c)=0
f = (x - 1)*(x - 2)*(x - 3)
print("f 展開 =", sp.expand(f))
print("f(1) =", f.subs(x, 1), "  f(3) =", f.subs(x, 3), "  相等？", f.subs(x, 1) == f.subs(x, 3))

fp = sp.expand(sp.diff(f, x))
print("f' =", fp)
roots = sp.solve(sp.Eq(fp, 0), x)
print("f'=0 的解 =", roots)

for r in roots:
    print("  c =", r, " 介於 (1,3)？", bool(1 < r < 3), "  f(c) =", sp.simplify(f.subs(x, r)))

預期輸出：

f 展開 = x**3 - 6*x**2 + 11*x - 6
f(1) = 0   f(3) = 0   相等？ True
f' = 3*x**2 - 12*x + 11
f'=0 的解 = [2 - sqrt(3)/3, sqrt(3)/3 + 2]
  c = 2 - sqrt(3)/3  介於 (1,3)？ True   f(c) = 2*sqrt(3)/9
  c = sqrt(3)/3 + 2  介於 (1,3)？ True   f(c) = -2*sqrt(3)/9

兩點值得注意：

• Rolle 定理給出的是至少一個這樣的 \(c\) ；這裡 \(f\) 是三次 polynomial， \(f'\) 是二次，有兩個根都在 \((1, 3)\) 內。這不是巧合：三次多項式有兩個「轉向點」，恰好落在端點同高的區間裡。
• \(f(1) = f(3) = 0\) 這個條件不能省。去掉它， \(f\) 仍然有水平切線，但那是另一回事（ \(f\) 自己在極值點處就有水平切線），與 Rolle 的論證無關。

3.1.5 費馬原理的侷限：水平切線不等於極值#

費馬原理的方向是單向的：極值 \(\Rightarrow\) 切線水平。逆向不成立——水平切線可能只是拐點。

import sympy as sp

x = sp.symbols('x', real=True)

# 反例：f(x) = x^3 在 x=0 處切線水平，但 0 是拐點而非極值
f = x**3
fp = sp.diff(f, x)
print("f' =", fp, "  f'(0) =", fp.subs(x, 0))

eps = sp.symbols('eps', positive=True)
print("f(eps) - f(0) =", sp.simplify(f.subs(x, eps) - f.subs(x, 0)))
print("f(-eps) - f(0) =", sp.simplify(f.subs(x, -eps) - f.subs(x, 0)))
print("左側差為正？", (f.subs(x, -eps) - f.subs(x, 0)).is_positive,
      " 右側差為正？", (f.subs(x, eps) - f.subs(x, 0)).is_positive)

預期輸出：

f' = 3*x**2   f'(0) = 0
f(eps) - f(0) = eps**3
f(-eps) - f(0) = -eps**3
左側差為正？ False  右側差為正？ True

左側差為負、右側差為正——兩側異號，所以 \(x = 0\) 不是極值點，而是拐點。要區分「極值」與「拐點」，需要看二次項的符號而不是只看一次項是否為零。費馬知道這一點（他的手稿裡確實對極值與拐點做了區分），但要把它寫成一般定理，還需要 19 世紀對高階導數的系統理論（第 5 章）。

3.1.6 從費馬到下一節：記號的缺口#

費馬已經擁有了：

但他缺了一樣東西：一個能同時處理「任意函數」並且記錄運算規則的記號。費馬的公式寫在具體的曲線上；一旦換一個函數，他得從頭再推。

這正是 3.2 節的主題：萊布尼茲的 \(\mathrm{d}x\) 與 \(\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}\) ，一套可以攜帶、可組合、可套用到任何函數的記號。而 SymPy 的 diff 函數，本質上就是把這套記號變成程式——sp.diff(f, x) 做的事，正是萊布尼茲在 1684 年《論極限的意義》裡用 \(f'(x)\) 表達的運算。

習題#

習題 3.1.1（費馬的尋常法） 用 sp.limit 從零出發（不要用 sp.diff）計算以下函數的導數，並說明你用了費馬的哪一種方法：

(a) \(f(x) = x^{3/2}\) ； (b) \(f(x) = x^{-1/3}\) ； (c) \(f(x) = x^{5/4}\) 。

提示：把 sp.limit((f.subs(x, x+h) - f)/h, h, 0) 裡的 f 換成你的函數即可。

習題 3.1.2（阿波羅尼奧斯的拋物線切線） (a) 用 3.1.2 節的「二重根法」求橢圓 \(\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1\) 在點 \((a, 0)\) 處的切線，並用 sp.factor 驗證交點確為二重根。 (b) 求同一橢圓在點 \((x_0, y_0)\) 處的切線，證明它可以寫成 \(\frac{x_0 x}{a^2} + \frac{y_0 y}{b^2} = 1\) 。 (c) 比較雙曲線 \(\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1\) 的切線方程，指出它與橢圓的差別只在一個符號。

習題 3.1.3（費馬的極值法） (a) 用「增量一次項為零」的方法求 \(f(x) = x^4 - 4x^3 + 6x^2\) 的所有極值點，並用二次項係數判斷每個候選點是極大、極小還是拐點。 (b) 對 \(f(x) = x^3\) 重做一次，證明 \(x = 0\) 雖然滿足 \(f'(0) = 0\) ，卻是拐點。寫出你用來區分的二次項的特徵。 (c) 說明為什麼「 \(f'(x_0) = 0\) 」是極值的必要條件而非充分條件。

習題 3.1.4（Rolle 定理） (a) 令 \(f(x) = \sin(2\pi x)\) ，驗證在 \([0, 1]\) 上存在 \(c\) 使 \(f'(c) = 0\) ，並用 sp.solve 找出所有這樣的 \(c\) 。 (b) 令 \(f(x) = e^x - x - 1\) 。驗證 \(f(0) = f'(0) = 0\) ，並找出 \(f\) 在 \(\mathbb{R}\) 上的所有極值點（注意： \(f'\) 是超越方程，SymPy 的 solve 可能求不出，此時請用 sp.nsolve 搭配區間）。 (c) 敘述並舉例說明：若把 Rolle 定理的 \(f(a) = f(b)\) 條件拿掉，結論「存在 \(c\) 使 \(f'(c) = 0\) 」是否仍然對任意可導函數成立？用一個具體反例說明。

習題 3.1.5（費馬的「適當法」推廣） 費馬的二重根法不僅適用於拋物線。請用 sp.diff + sp.solve（對 \(x\) 求導代回切點，再用 sp.solve 解斜率 \(m\) ）求出：

(a) 曲線 \(y = x^3\) 在 \(x_0 = 1\) 處的切線； (b) 曲線 \(x y = 1\) （即 \(y = 1/x\) ）在點 \((1, 1)\) 處的切線； (c) 曲線 \(y = \sin x\) 在 \(x_0 = 0\) 處的切線。

並說明：為什麼對某些曲線（例如 \(y = \sin x\) 在 \(x_0 = 0\) ），「二重根」的條件退化成了「一次項係數為零」？

小結#

• 費馬的兩種方法在 SymPy 裡是兩個 sp.limit 與一個 sp.solve：一個從增量比值出發，一個從重根條件出發。
• 費馬原理的方向性很重要：極值 \(\Rightarrow f' = 0\) ，但 \(f' = 0 \not\Rightarrow\) 極值（ \(x^3\) 的反例）。
• 費馬缺的是記號。一套能攜帶、能組合、能推廣的記號，要等到 1675 年萊布尼茲的 \(\mathrm{d}x\) 。

下一節，我們進入萊布尼茲的記號世界，看 \(\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}\) 如何從「一個曲線的切線斜率」變成「所有函數的通用運算」。