4.2 牛頓-萊布尼茲定理與微積分基本定理#

學習動機#

4.1 節結尾留下兩個懸案：

1. 卡瓦列里告訴我們「所有平行線之和」等於面積——但這是直覺，不是定義。
2. 更重要的是：微分與積分是兩個不同的操作嗎？ 費馬在 3.1 節求切線、牛頓在 3.2 節求流數，這些都是「局部」的；而阿基米德、卡瓦列里算的都是「整體」的面積。兩者之間有什麼關係？

1666 年，23 歲的牛頓在瘟疫封閉的莊園裡寫下流數法時，做的正是「微分」。1684 年，萊布尼茲在《學院紀要》發表《求極大極小的新方法》時，做的也是「微分」。兩人卻都宣稱自己順帶解決了面積問題——因為他們發現了一件驚人的事：

求曲線下的面積，等價於求一個原函數；求原函數，又等價於解一個微分方程。

這個「求導與求積互逆」的洞見，就是微積分基本定理（Fundamental Theorem of Calculus），也叫牛頓-萊布尼茲定理。它是整個微積分學的中心樞紐：從它開始，積分不再是「面積的算法」，而是一種可以反轉的運算。

但歷史給了這個洞見一個教訓：它最初是用無窮小量（infinitesimal）論證的，在邏輯上站不住腳。1823 年，柯西（Cauchy）把它改寫成極限定理；1872 年，魏爾斯特拉斯（Weierstrass）給出 \(\varepsilon\) - \(\delta\) 版本。同一個定理，三種證明風格。

本節要做三件事：

1. 講清楚牛頓與萊布尼茲各自怎麼走到這個結論（以及 1666 年那份「流數與反正弦」手稿到底做了什麼）；
2. 講清楚伯努利那句追問——「求面積為何等價於求導數」——的現代答案；
3. 把基本定理的兩種敘述都寫成 SymPy 可以逐字驗證的符號等式。

4.2.1 伽利略的拋物線面積問題：求積如何推動整個計畫#

問題的來源#

在微積分出現之前，「求面積」（quadrature）是數學界最具挑戰性的公開問題之一。伽利略在《關於兩門新科學的對話》（Discorsi, 1638）中描寫了當時的狀態：

• 某些曲線（圓、橢圓、拋物線）的面積已經被希臘人求出；
• 但 \(y = x^3\) 這類「冪曲線」的求積，人們只會做 \(x^2\) ；
• 而像 \(y = x^4\) 、 \(y = 1/x^3\) （雙曲線的分支）這類，連阿基米德都沒有一般性的方法。

伽利略自己在 1604 年左右就計算過拋物線的面積（用阿基米德的窮竭法），得到弓形面積是內接三角形的 \(\frac{4}{3}\) ——這個數字正是 4.1 節的主題。他在 1638 年的書中把它寫成了一個挑戰：既然拋物線已經解決，那麼 \(y = x^4\) 呢？ \(y = x^5\) 呢？

這個問題催生了微積分。牛頓和萊布尼茲各自發展的方法，第一個能求出 \(\int x^n dx\) 的一般公式； Johann Bernoulli 更進一步發展了「 \(\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1}\) 」的求積公式，涵蓋 \(n = 3, \dots, 9\) （這正是卡瓦列里 1647 年《六項幾何練習》做到的版本）。

伽利略的「過度簡化」與他的悲劇#

值得順帶一提的是，伽利略在《對話》中把「求面積」與「求物體通過的距離」聯繫起來，認為運動中的物體「覆蓋」的路徑長度就是面積——這在物理上是對的（速度-時間圖下的面積就是位移），但他後來對這個想法的延伸（「通過所有可能速度的總和」）導致了他晚年那場著名的悲劇（1638 年的「無窮」論戰，Urban VIII 教宗與他斷絕來往）。

教訓：把面積看成「無限多個量的和」是對的方向，但「這個和是什麼」必須嚴格定義。第 2 章的極限語言、第 12 章的測度論，都在做這件事。

4.2.2 牛頓 1666：流數與反正弦手稿#

瘟疫中的兩年#

1665 年倫敦大鼠疫，牛頓離開劍橋回到故鄉 Woolsthorpe。1666 年，他完成了兩份關鍵手稿（今天藏於劍橋大學圖書館，Add. 3977.4 號）：

• 《論方程的無窮項分析》（De Analysi per Aequationes Numero Terminorum Infinitas，後來定稿於 1669 年）；
• 1666 年 10 月的流數手稿（Whiteside 編為 The October 1666 Tract on Fluxions）。

牛頓的語言：流數與流質#

牛頓不用 \(dx\) 、 \(dy\) ，他用：

• 流質（fluent）：隨時間變化的量 \(x, y, v, \dots\) ；
• 流數（fluxion）：流質對時間的瞬時變化率 \(\dot{x}, \dot{y}, \dots\) 。

在他看來， \(\dot{x}\) 是「 \(x\) 在單位時間內的增量」，所以 \(x\) 的流數是速度， \(x^2\) 的流數是「 \(2x\dot{x}\) 」。

牛頓用一個非常漂亮的首末比（prime and ultimate ratios）來定義流數： \(\dot{x}\) 是當時間增量趨於零時， \(x\) 的增量與時間增量之比所趨近的值。這其實就是導數的極限定義，只是他用「最終比」而不是 \(\varepsilon\) - \(\delta\) 。

在《原理》（Principia, 1687）第一卷引理 II 中，牛頓寫下了著名的最終比論述。

牛頓特別關心的兩件事#

(a) 冪的流數。 這是最基本的結果，也是整個微積分的入口：

(b) 反函數。 這是牛頓在 1666 年手稿裡特別費心的地方，也是本節要強調的重點。牛頓問：已知 \(\dot{y}\) （ \(y\) 對 \(x\) 的流數），如何求 \(x\) 對 \(y\) 的流數？

答案很簡單但是革命性的：取倒數。

有了這個，加上「 \(x = \sin u\) 的流數是 \(\cos u \cdot \dot{u}\) 」，牛頓立刻能求出圓弧的流數，也就是反正弦的微分：

這正是 3.2 節萊布尼茲的「先驗公式」（ \(\frac{\partial u}{\partial x}\cdot\frac{\partial x}{\partial u} = 1\) ）在幾何上的樣子。

我們用 SymPy 把這一切重現。注意 SymPy 的 diff 用的是萊布尼茲的觀點（對獨立變數求導），但表達的是同一件事。

import sympy as sp

x, t = sp.symbols('x t', real=True)

# 牛頓 1666：把 x 當作時間 t 的函數，流數 = 對時間的導數
v = sp.Function('v')
print('流數 dv/dt =', sp.diff(v(t), t))

# x^n 的流數（牛頓的基本結果）
n = sp.symbols('n', integer=True, positive=True)
print('d/dt (t^n) =', sp.diff(t**n, t))

# 牛頓特別關心反函數：圓弧的流數，即反正弦
print('d/dx asin(x) =', sp.diff(sp.asin(x), x))
print('檢驗與 1/sqrt(1-x^2) 相等？',
      sp.simplify(sp.diff(sp.asin(x), x) - 1/sp.sqrt(1 - x**2)) == 0)

# 牛頓用反序級數求 arcsin
ser = sp.series(sp.asin(x), x, 0, 11).removeO()
print('arcsin 的級數 =', ser)
print('級數的微分 =', sp.series(sp.diff(ser, x), x, 0, 11).removeO())

預期輸出：

流數 dv/dt = Derivative(v(t), t)
d/dt (t^n) = n*t**n/t
d/dx asin(x) = 1/sqrt(1 - x**2)
檢驗與 1/sqrt(1-x^2) 相等？ True
arcsin 的級數 = 35*x**9/1152 + 5*x**7/112 + 3*x**5/40 + x**3/6 + x
級數的微分 = 35*x**8/128 + 5*x**6/16 + 3*x**4/8 + x**2/2 + 1

把最後一行認出來： \(1 + \frac{x^2}{2} + \frac{3x^4}{8} + \frac{5x^6}{16} + \cdots\) 正是 \((1-x^2)^{-\frac{1}{2}}\) 的二項式展開——也就是 \(\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\) 。牛頓的「反序級數」在這裡被完全重現了：他不靠猜，而是先把 \(\arcsin\) 的微分求出來，再把 \(\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\) 展開成級數，最後逐項積分回 \(\arcsin\) 。

牛頓為什麼要在乎反正弦？ 因為它是「求弧長」的關鍵。圓弧長 \(s = r\theta\) ，而 \(\theta = \arcsin(s/r)\) 。在沒有 \(\arcsin\) 微分公式的時代，弧長問題是幾何學最難的問題之一——17 世紀整整一百年，「求任意曲線的弧長」是擋在數學家面前的牆。

4.2.3 萊布尼茲的論證：從「求切線」到「求面積」#

萊布尼茲的策略#

萊布尼茲的入手點與牛頓不同。牛頓從運動（流數）出發，萊布尼茲從純幾何的特徵三角形（characteristic triangle）出發：

在一條曲線 \(y = P\) 上取一點，過它作切線，與縱軸、橫軸形成一個極小的三角形。三角形有：

• 底邊 \(dx\) （橫軸上的增量）；
• 高 \(y\) （縱坐標）；
• 斜邊 \(dy\) （切線方向的增量）。

由相似三角形，切線的斜率（切角）滿足

而「曲線下的面積」在無限細分下，「無限多個長方形 \(y \cdot dx\) 」之和記作

關鍵的一步：對曲線而言， \(dx\) 與 \(dy\) 之比不是常數（曲線不是直線），所以我們要問：怎麼把 \(\int y\,dx\) 算出來？

萊布尼茲的答案是：把 \(y\) 看成 \(x\) 的函數 \(y = f(x)\) ，然後發現

而 \(F\) 可以「倒推」出來——因為 \(F' = f\) 是一個微分方程，而它的解可以用「猜測 + 驗證」的方式找到（猜 \(F\) ，檢查 \(F' = f\) ）。這就是「積分是反導數」的發現過程。

萊布尼茲的優勢在於他的記號： \(dx\) 記錄「橫的增量」， \(dy\) 記錄「斜的增量」， \(\int\) 記錄「求和」。這三個記號把「局部斜率」與「整體面積」在同一個字母系統裡綁定了，這也是今天我們用的記號。

用 SymPy 驗證萊布尼茲的代數#

萊布尼茲的規則（乘積法則、鏈式法則）在今天已經是 SymPy 的預設行為。我們把它們「反譯」回萊布尼茲的直覺：SymPy 的 diff 產生的 Derivative(u(x), x) 正是萊布尼茲的 \(\frac{du}{dx}\) 。

import sympy as sp

x = sp.symbols('x', real=True)
u = sp.Function('u')

# 萊布尼茲記號：dy/dx。SymPy 用 diff 表達同一件事
print('乘積法則：', sp.diff(u(x)*sp.sin(x), x))
print('鏈式法則：', sp.diff(sp.sin(u(x)), x))

# 萊布尼茲的「先驗公式」：反函數的微分是倒數
print('d/dx asin(x) =', sp.diff(sp.asin(x), x))
print('1/sqrt(1-x^2) =', 1/sp.sqrt(1 - x**2))

# 兩個符號版本的 Leibniz 恆等式：du/dx · dx/du = 1
y = sp.symbols('y', real=True)
g = sp.Function('g')
# 令 x = g(y)，則 dx/dy = g'(y)，故 dy/dx = 1/g'(y)
print('1/g\'(y) =', 1/sp.diff(g(y), y))

預期輸出：

乘積法則： u(x)*cos(x) + sin(x)*Derivative(u(x), x)
鏈式法則： cos(u(x))*Derivative(u(x), x)
d/dx asin(x) = 1/sqrt(1 - x**2)
1/sqrt(1-x^2) = 1/sqrt(1 - x**2)
1/g'(y) = 1/Derivative(g(y), y)

歷史注記：萊布尼茲與牛頓的優先權之爭（1699–1716）是數學史上最不愉快的事件之一。現代史學的共識是：兩人獨立發明了微積分。牛頓先有（1666），萊布尼茲先發表（1684）。牛頓的朋友（主要是 Samuel Fatio de Duillier）指控萊布尼茲抄襲；1712 年皇家學會的報告《Commercium Epistolicum》完全偏袒牛頓，萊布尼茲終其餘生都在抗辯。

值得強調的是：兩人的方法在數學上是等價的，但風格截然不同。牛頓的流數法從「運動」出發，適合處理物理問題（《原理》全書的動力學就是用流數寫的）；萊布尼茲的微分法從「特徵三角形」出發，記號更適合代數運算。今天的數學教育幾乎全部採用萊布尼茲的系統。

4.2.4 伯努利的追問：為何「求面積」等價於「求導數」#

問題#

Johann Bernoulli 在與萊布尼茲的通信中（以及 1690 年代的《學院紀要》論文裡）反覆追問同一件事：

對一條曲線求「面積」，和對它求「切線」，為什麼是同一個問題的兩面？

在沒有基本定理的年代，這看起來像是巧合。伯努利的追問後來被 Johann Bernoulli 的學生 Johann Bernoulli（Johann II）與萊布尼茲本人逐步釐清，最終成為 4.2.6 節的基本定理。

現代的回答：三個等價敘述#

用今天的語言，伯努利的問題可以這樣回答：

對 \(f\) 在 \([a,b]\) 上求面積，等價於解微分方程 \(F'(x) = f(x)\) （初值條件 \(F(a) = 0\) ），再取 \(F(b)\) 。

這就是「積分與微分的互逆」。我們讓 SymPy 親自回答伯努利的問題：對同一個 \(f\) ，分別用 sp.integrate（求面積）與 sp.dsolve（解 ODE）兩條路徑，看它們是否給出同一個答案。

import sympy as sp

x = sp.symbols('x', real=True)
F = sp.Function('F')

# 伯努利的追問：求 ∫ f dx 等價於解 ODE F' = f, F(a) = 0
f = sp.sin(x)*sp.exp(x)
a = 0
sol = sp.dsolve(sp.Eq(F(x).diff(x), f), F(x), ics={F(a): 0})
print('dsolve 解出 =', sol.rhs)
print('符號積分   =', sp.integrate(f, (x, a, x)))
print('兩者相同？', sp.simplify(sol.rhs - sp.integrate(f, (x, a, x))) == 0)

預期輸出：

dsolve 解出 = exp(x)*sin(x)/2 - exp(x)*cos(x)/2 + 1/2
符號積分   = exp(x)*sin(x)/2 - exp(x)*cos(x)/2 + 1/2
兩者相同？ True

這段程式碼是本節的核心。 它把「求面積」和「解微分方程」當成兩條獨立的技術路線（sp.integrate 走有理函數/超越函數的符號積分引擎，sp.dsolve 走 ODE 求解器），然後發現它們給出逐字相同的表達式。這不是巧合，而是定理。

順帶一提， \(\int_0^x e^t\sin t\,dt = \frac{1}{2}e^x(\sin x - \cos x) + \frac{1}{2}\) 這個式子，同時是分部積分（連續兩次）和一階線性 ODE 的通解。學生時代背下的「分部積分公式」，其實就是基本定理的一個實例。

4.2.5 柯西的嚴格化（1823）：把基本定理建立在極限上#

問題在哪裡#

牛頓與萊布尼茲的基本定理論證裡，都有一個藏起來的無窮小量。他們會說：

「一段無限小的曲線可以當成一段直線，所以曲線下的面積等於無限多個小長方形 \(y \cdot dx\) 的和；而這些長方形的和又等於……」

問題是「無限小」到底是什麼。伯克萊在 1734 年的《The Analyst》中嘲笑牛頓的流數是「ghost of departed quantities」（逝去量的幽靈）——因為 \(dx\) 趨於零時 \(dx\) 顯然不是一個數，卻被拿來做乘法。

柯西的做法#

1821 年的《分析概論》（Cours d'analyse）與 1823 年的《無窮小計算》（Le Calcul infinitésimal / Résumé des leçons données à l'École royale polytechnique sur le calcul infinitésimal）裡，柯西做了三件事：

1. 定義極限（用了他標誌性的「當 \(x\) 趨近 \(a\) 時， \(f(x)\) 與 \(f(a)\) 的差的絕對值可以小於任意給定的正數」）；
2. 把定積分定義成分割和的極限（這就是今天黎曼積分的定義，柯西先寫出來，黎曼在 1854 年給出更精確的版本）；
3. 用極限定理證明基本定理。

現在我們回到 2.1.3 節的做法：把黎曼和寫成 SymPy 的 Sum，用 sp.Limit(...).doit() 取極限，看它與 sp.integrate 的結果以及 \(F(b) - F(a)\) 三者一致。

import sympy as sp

x, n, k = sp.symbols('x n k', real=True)

# 柯西 1823：定積分是黎曼和的極限
f = x**2
delta = sp.Integer(2)/n
mid = sp.Integer(-1) + (k + sp.Rational(1,2))*delta
Riemann = sp.Sum(f.subs(x, mid)*delta, (k, 0, n-1))
print('黎曼和 =', Riemann)
print('極限 =', sp.Limit(Riemann, n, sp.oo).doit())
print('符號積分 =', sp.integrate(f, (x, -1, 1)))

F = sp.integrate(f, x)
print('F(1)-F(-1) =', sp.simplify(F.subs(x, 1) - F.subs(x, -1)))

預期輸出：

黎曼和 = Sum(2*(-1 + 2*(k + 1/2)/n)**2/n, (k, 0, n - 1))
極限 = 2/3
符號積分 = 2/3
F(1)-F(-1) = 2/3

三條路給出同一個數 \(\frac{2}{3}\) 。這就是柯西的嚴格化：基本定理不再是「無窮小量的直覺」，而是「分割和的極限 = 面積 = 原函數的差」三者的相等。

但柯西還不夠嚴格#

柯西的定義仍有缺陷：它要求「極限存在」，卻沒有給出極限存在的判準。此外柯西自己的研究論文裡仍時常使用無窮小量。真正完成嚴格化的是：

• 魏爾斯特拉斯（1872）：把「連續」定義為 \(\varepsilon\) - \(\delta\) 語言，並給出 \(\varepsilon\) - \(\delta\) 版的極限定理（第 2.2 節的主題）；
• 黎曼（1854）：給出可積性的判準（有界 + 上下 Darboux 積分相等）；
• 勒貝格（1901）：擴大可積類（第 12 章）。

第 2 章講的是「極限怎麼被嚴格化」，本節講的是「嚴格化後的基本定理長什麼樣」。兩條線在這裡匯合。

4.2.6 基本定理的兩種敘述#

敘述一（求積 \(\Rightarrow\) 求導）#

定理（第一部分）：若 \(f\) 在 \([a,b]\) 上連續，定義

則 \(F\) 在 \((a,b)\) 上可導，且 \(F'(x) = f(x)\) 。

直覺： \(F(x+h) - F(x)\) 是曲線下、 \([x, x+h]\) 那一小條的面積；當 \(h \to 0\) ，這條面積約是 \(f(x) \cdot h\) ，除以 \(h\) 就得到 \(f(x)\) 。

敘述二（求導 \(\Rightarrow\) 求積）#

定理（第二部分 / 牛頓-萊布尼茲定理）：若 \(f\) 在 \([a,b]\) 上黎曼可積，且 \(F\) 在 \([a,b]\) 上連續、在 \((a,b)\) 上可導並滿足 \(F'(x) = f(x)\) ，則

注意敘述二只要求 \(f\) 可積，不要求連續——這比敘述一加上推論的版本更強。

為什麼需要兩種敘述？#

因為它們回答不同的問題：

敘述一的深意常被低估：它保證了「連續函數一定有原函數」。這不是小事——第 4.3 節我們會看到，某些函數（例如 \(e^{-x^2}\) ）的原函數沒有初等表達式，但它確實存在（敘述一保證了），只是你寫不出來而已。若沒有敘述一，「 \(e^{-x^2}\) 有原函數嗎」會是個沒有答案的問題。

兩種敘述的符號驗證#

現在用 SymPy 逐字驗證兩者。第一敘述：對 \(f\) 求出 \(F(x) = \int_0^x f\) ，再微分，看是否回到 \(f\) 。

import sympy as sp

x = sp.symbols('x', real=True)

# 第一敘述：F(x) = ∫_0^x f(t)dt 則 F' = f
for f in [sp.sin(x), x**2*sp.exp(x), sp.log(x + 2)]:
    F = sp.integrate(f, (x, 0, x))
    print('F(x) =', F, '  F\' =', sp.simplify(sp.diff(F, x)),
          '  等於 f？', sp.simplify(sp.diff(F, x) - f) == 0)

預期輸出：

F(x) = 1 - cos(x)   F' = sin(x)   等於 f？ True
F(x) = (x**2 - 2*x + 2)*exp(x) - 2   F' = x**2*exp(x)   等於 f？ True
F(x) = x*log(x + 2) - x + 2*log(x + 2) - 2*log(2)   F' = log(x + 2)   等於 f？ True

第二敘述：找到原函數 \(F\) ，比較 \(\int_a^b f\) 與 \(F(b) - F(a)\) 。

import sympy as sp

x = sp.symbols('x', real=True)

# 第二敘述：∫_a^b f = F(b) - F(a)
cases = [(x**2, 1, 3), (sp.sin(x), 0, sp.pi), (sp.exp(x), 0, 1), (1/(1+x**2), 0, 1)]
for f, a, b in cases:
    F = sp.integrate(f, x)
    lhs = sp.simplify(sp.integrate(f, (x, a, b)))
    rhs = sp.simplify(F.subs(x, b) - F.subs(x, a))
    print(f'{f}: 定積分 = {lhs}, F(b)-F(a) = {rhs}, 相等？ {sp.simplify(lhs-rhs) == 0}')

預期輸出：

x**2: 定積分 = 26/3, F(b)-F(a) = 26/3, 相等？ True
sin(x): 定積分 = 2, F(b)-F(a) = 2, 相等？ True
exp(x): 定積分 = -1 + E, F(b)-F(a) = -1 + E, 相等？ True
1/(x**2 + 1): 定積分 = pi/4, F(b)-F(a) = pi/4, 相等？ True

注意最後一行： \(\int_0^1 \frac{dx}{1+x^2} = \frac{\pi}{4}\) 。這是 \(\arctan\) 的值，而 \(\arctan\) 正是第 4.3 節要處理的「三角代換」的產物。

4.2.7 「可積」與「可導」的細微差別#

基本定理經常被寫成「求導與求積互逆」，但這個說法在技術上需要小心。三個反例說明為什麼：

(a) 可導 \(\nRightarrow\) 導數連續#

\(f(x) = x^2\sin\frac{1}{x}\) 在 \(x \ne 0\) 處可導（且 \(f'(x) = 2x\sin\frac{1}{x} - \cos\frac{1}{x}\) ），在 \(x = 0\) 處也可導（因為 \(\left|\frac{x^2\sin(1/x)}{x}\right| = |x\sin(1/x)| \le |x| \to 0\) ）。但 \(f'\) 在 \(0\) 附近不連續。

所以「 \(f\) 可導 \(\Rightarrow\) \(f\) 連續」成立（3.1 節），但「 \(f\) 可導 \(\Rightarrow\) \(f'\) 連續」不成立。

(b) 黎曼可積 \(\nRightarrow\) 連續#

階梯函數

在 \([-1,1]\) 上黎曼可積（ \(\int = 1\) ），因為只有一個跳躍點；但它在 \(0\) 處不可導。

這解釋了敘述二為什麼只要求「可積」而不是「連續」：可積函數可能到處不規則，但如果它有原函數，那麼 \(\int f = F(b) - F(a)\) 依然成立。

(c) 可導 \(\nRightarrow\) 導數黎曼可積#

這是最深的一個。 \(g(x) = x^2\sin\frac{1}{x^2}\) （ \(g(0) = 0\) ）處處可導，但 \(g'(x) = 2x\sin\frac{1}{x^2} - \frac{2}{x}\cos\frac{1}{x^2}\) 在 \(0\) 附近無界，因此 \(g'\) 在 \([0,1]\) 上不是黎曼可積的。

這意味著：「 \(\int f' = f(b) - f(a)\) 」對任意可導函數 \(f\) 都是錯的——必須加上「 \(f'\) 可積」這個前提（或改用第 12 章的 Lebesgue 積分，配合「絕對連續」的條件）。

我們用 SymPy 把 (c) 的關鍵步驟做出來：找一列點證明 \(g'\) 無界。

import sympy as sp

x = sp.symbols('x', real=True)

# (a) 可導但導數不連續
f = x**2 * sp.sin(1/x)
print('f(x) = x^2 sin(1/x)，f\'(x) =', sp.diff(f, x))

# (b) 有跳躍的不連續函數：黎曼可積但不可導
step = sp.Piecewise((0, x < 0), (1, True))
print('step 的符號積分 =', sp.integrate(step, (x, -1, 1)))

# (c) 可導函數的導數未必黎曼可積
g = x**2 * sp.sin(1/x**2)
gp = sp.diff(g, x)
print("g'(x) =", gp)

# 用一列點證明 g' 無界：x_k = 1/sqrt(2πk)
k = sp.symbols('k', integer=True, positive=True)
xk = 1/sp.sqrt(2*sp.pi*k)
print("在 x_k = 1/sqrt(2πk) 處 g' 的值 =", sp.simplify(gp.subs(x, xk)))
print("其絕對值趨於無窮？", sp.limit(sp.Abs(gp.subs(x, xk)), k, sp.oo))

預期輸出：

f(x) = x^2 sin(1/x)，f'(x) = 2*x*sin(1/x) - cos(1/x)
step 的符號積分 = 1
g'(x) = 2*x*sin(x**(-2)) - 2*cos(x**(-2))/x
在 x_k = 1/sqrt(2πk) 處 g' 的值 = -2*sqrt(2)*sqrt(pi)*sqrt(k)
其絕對值趨於無窮？ oo

這一段是本節最「數學」的內容：符號計算不只能驗證定理，也能精確地展示定理為什麼需要那些假設。

歷史伏筆： \(\text{可導} \nRightarrow \text{導數可積}\) 這個反例（Volterra 型函數）在 19 世紀末是個大新聞。Lebesgue 在 1901 年證明了每個有界變差函數的導數幾乎處處可積（第 12 章的 Fatou 定理方向），開啟了現代分析學的大門。

4.2.8 基本定理的歷史地圖#

graph TD
    A["伽利略 1638<br/>拋物線面積問題<br/>求積的挑戰"] --> B["牛頓 1666<br/>流數與反正弦手稿<br/>從微分出發"]
    A --> C["萊布尼茲 1673-1684<br/>特徵三角形<br/>從面積出發"]
    B --> D["牛頓-萊布尼茲定理<br/>微分與積分互逆"]
    C --> D
    D --> E["伯努利 1690s<br/>追問：為何等價？"]
    E --> F["柯西 1823<br/>極限定理化<br/>黎曼和 = 面積 = F(b)-F(a)"]
    F --> G["魏爾斯特拉斯 1872<br/>ε-δ 語言<br/>極限定理的最終形式"]
    G --> H["Lebesgue 1901<br/>第 12 章：測度論<br/>積分的擴張"]

三個貢獻的分工：

習題#

習題 4.2.1（牛頓-萊布尼茲定理的雙向驗證） 對下列每一組 \((f, a, b)\) ，用 SymPy 完成：(i) 求原函數 \(F\) ；(ii) 驗證 \(F'(x) - f(x) \equiv 0\) ；(iii) 驗證 \(\int_a^b f = F(b) - F(a)\) 。並記錄 SymPy 回傳的原函數形式（例如 \(\arctan x\) vs \(\frac{1}{2i}\log\frac{1+ix}{1-ix}\) ），說明為什麼形式會不同但值相同。

(a) \(f(x) = \frac{1}{1+x^2}\) ， \(a=0, b=1\) ； (b) \(f(x) = \sin x\cos x\) ， \(a=0, b=\frac{\pi}{2}\) ； (c) \(f(x) = x\ln x\) ， \(a=1, b=e\) ； (d) \(f(x) = \frac{1}{x}\) ， \(a=1, b=2\) 。

習題 4.2.2（基本定理第一敘述的數值版本） 不用符號積分，改用數值微分驗證敘述一： 對 \(f(x) = x^2\sin x\) ，定義 \(F(x) = \int_0^x f(t)dt\) ，用中心差分公式

（其中 \(F\) 用 sp.integrate 或 sp.N 算出），取 \(h = 10^{-6}\) ，比較 \(F'(x)\) 與 \(f(x)\) 的誤差。對 \(x = 0.5, 1, 2\) 各做一次，並解釋誤差隨 \(h\) 變化趨勢（提示：中心差分的截斷誤差是 \(O(h^2)\) ）。

習題 4.2.3（牛頓的流數與萊布尼茲的微分） 用 SymPy 驗證牛頓流數符號與萊布尼茲微分符號在下列運算上給出同一個結果： (a) 乘積： \(\frac{d}{dt}(uv)\) ； (b) 冪： \(\frac{d}{dt}(t^n)\) ； (c) 鏈式： \(\frac{d}{dt}\sin(u(t))\) ； (d) 反函數： \(x = \sin u\) 時 \(\frac{du}{dx} = \frac{1}{\cos u}\) 。 對 (d)，請用 SymPy 從 \(\frac{dx}{du} = \cos u\) 出發推導 \(\frac{du}{dx}\) ，而不是直接呼叫 sp.diff(sp.asin(x), x)。

習題 4.2.4（可積但不可導 / 可導但導數不可積） (a) 構造一個在 \([0,1]\) 上黎曼可積、但僅在一點不可導的函數（例如 \(f(x) = |x - \frac{1}{2}|\) ），用 SymPy 算出它的黎曼積分（提示：sp.integrate 對 sp.Abs 需要給定區間）。 (b) 說明為什麼 Darboux 定理（導函數具有介值性質）意味著：一個可導函數的導數不可能有跳躍。用 (a) 的函數說明它不可能是任何函數的導數。 (c) 重做 4.2.7 的 (c)：找一個可導函數 \(g\) 使得 \(g'\) 在某點不連續，並用 SymPy 證明 \(g'\) 在該點不黎曼可積（提示：證明 \(g'\) 在該點無界）。

習題 4.2.5（伯努利的追問與歷史文獻） 對 \(f(x) = e^{-x^2}\) （其原函數沒有初等表達式）： (a) 用 sp.integrate 確認 SymPy 回傳的是 erf（誤差函數）而不是初等函數； (b) 用 sp.dsolve 解 \(F' = e^{-x^2}\) ， \(F(0)=0\) ，確認它也給出 \(\frac{\sqrt{\pi}}{2}\operatorname{erf}(x)\) ； (c) 證明敘述一保證了 \(F\) 存在：對任何連續的 \(f\) ， \(\int_0^x f\) 都存在且可導。用 SymPy 對 \(f(x) = e^{-x^2}\) 驗證 \(\frac{d}{dx}\left(\frac{\sqrt\pi}{2}\operatorname{erf}(x)\right) = e^{-x^2}\) 。

然後讀牛頓《原理》第一卷引理 II（最終比 / "prime and ultimate ratios"）與萊布尼茲 1684 年《求極大極小的新方法》，回答： (d) 牛頓如何用「最終比」定義流數？這與第 2.2 節的 \(\varepsilon\) - \(\delta\) 定義差在哪裡？ (e) 萊布尼茲在 1684 年文中如何處理「 \(\int y\,dx\) 」的符號？他為什麼堅持用 \(\int\) 而不是別的記號？ (f) 為什麼伯克萊在《The Analyst》（1734）裡說牛頓的流數是「逝去量的幽靈」？他的批擊在今天還有沒有道理？

小結#

三個歷史教訓：

1. 記號不是裝飾。萊布尼茲的 \(dx, dy, \int\) 把「局部斜率」與「整體面積」綁在同一個字母系統裡，這才讓「互逆」變成一個看得出來的事實。下一節我們會看到 SymPy 裡 diff 與 integrate 的對稱性，正是這個記號系統在 21 世紀的殘影。
2. 嚴格化是三部曲：牛頓萊布尼茲（無窮小，1780 年代被伯克萊嘲笑）→ 柯西（極限，1823）→ 魏爾斯特拉斯（ \(\varepsilon\) - \(\delta\) ，1872）→ 勒貝格（測度，1901）。
3. 下一節的問題：既然「求面積 = 求原函數」，那麼怎麼求原函數？這是一個演算法問題。我們將看到 SymPy 的 sp.integrate 背後是一整套符號策略（有理函數的部分分式、超越函數的 Gosper 演算法/Meijer G），以及它對某些函數會誠實地說「我不知道」——回傳一個 Integral 物件而不是假裝算出來了。