4.3 用 SymPy 積分：不定積分與基本定理的符號驗證#

學習動機#

4.2 節告訴我們：求曲線下的面積 ≡ 求一個原函數。但這只是一個「存在性」與「等價性」的陳述——它沒有告訴我們怎麼求。

這一節要回答的實際問題：

1. 怎麼求原函數？ —— sp.integrate 背後是什麼演算法？
2. 怎麼確認算對了？ —— 基本定理給了一個自我檢驗的機制：把原函數微分回去，應該得到原來的 \(f\) 。
3. SymPy 算不出來的時候怎麼辦？ —— 誠實地說「我不知道」比假裝算對要好。

我們要處理的四個「教科書標準例子」，剛好涵蓋了符號積分的四大策略：

第四個最值得注意： \(\int \frac{dx}{1+x^2}\) 沒有「一眼看出來」的原函數。你必須先做代換 \(x = \tan\theta\) ，把分母變成 \(\sec^2\theta\) ，與 \(dx = \sec^2\theta d\theta\) 對消，才得到 \(\int d\theta = \theta = \arctan x\) 。這個例子告訴我們：符號積分是一門「策略選擇」的學問，不是查表。

本節的工作流程#

graph LR
    A["被積函數 f(x)"] --> B{"有理函數？"}
    B -->|是| C["長除法 + sp.apart<br/>逐項積分"]
    B -->|否| D{"含 sqrt(a²±x²)？"}
    D -->|是| E["三角代換<br/>x = a·tanθ 或 a·sinθ"]
    D -->|否| F{"含 e^(g(x))？"}
    F -->|是| G["代入 u = g(x)"]
    F -->|否| H["sp.integrate 的<br/>內建策略"]
    C --> I["原函數 F(x)"]
    E --> I
    G --> I
    H --> I
    I --> J["自我檢驗<br/>sp.diff(F,x) - f == 0"]
    J --> K["通過 → 輸出<br/>不通過 → 回報失敗"]

「自我檢驗」這一步是本節的核心：SymPy 的積分引擎在內部就是「猜測 + 驗證」，我們手動把它顯式化了。

4.3.1 sp.integrate 的介面#

sp.integrate 有兩種用法（下面的程式碼片段只是介面草圖，正式可執行範例請看接下來的程式碼）：

sp.integrate(f, x)            # 不定積分：回傳一個原函數
sp.integrate(f, (x, a, b))    # 定積分：回傳一個數（或符號常數）

不定積分的回傳值是一個原函數，不是「一族」原函數。這是 4.3.4 節要處理的細節。先看四個標準例子：

import sympy as sp

x = sp.symbols('x', real=True)

# 四個基本例子
print('∫x^3 dx      =', sp.integrate(x**3, x))
print('∫exp(x) dx   =', sp.integrate(sp.exp(x), x))
print('∫sin(x) dx   =', sp.integrate(sp.sin(x), x))
print('∫1/(1+x^2)dx =', sp.integrate(1/(1 + x**2), x))

# +C 的處理：SymPy 回傳一個原函數，常數由使用者自行加上
C = sp.Symbol('C', real=True)
F = sp.integrate(x**3, x)
print('F =', F)
print('F + C =', F + C)
print('d/dx (F+C) =', sp.diff(F + C, x))

# 定積分不需要 +C
print('∫_1^3 x^3 dx =', sp.integrate(x**3, (x, 1, 3)))
print('(F+C)|_1^3   =', sp.simplify((F + C).subs(x, 3) - (F + C).subs(x, 1)))

預期輸出：

∫x^3 dx      = x**4/4
∫exp(x) dx   = exp(x)
∫sin(x) dx   = -cos(x)
∫1/(1+x^2)dx = atan(x)
F = x**4/4
F + C = C + x**4/4
d/dx (F+C) = x**3
∫_1^3 x^3 dx = 20
(F+C)|_1^3   = 20

讀出什麼？

• atan(x) 就是 \(\arctan x\) 。SymPy 用函數名 atan 而非 \(\arctan\) ，這是它的慣例（asin、acos、atan 分別對應 \(\arcsin\) 、 \(\arccos\) 、 \(\arctan\) ）。
• 定積分 \(\int_1^3 x^3 dx = 20\) 讓人懷疑（手算得 \(\frac{3^4-1^4}{4} = \frac{80}{4} = 20\) ✅ 沒錯）。
• 關鍵觀察：F + C 與 F 只差一個常數，而 (F+C)|_1^3 = 20——常數在相減時自動消掉了。這就是為什麼定積分不需要 +C ，也解釋了為什麼不定積分回傳一個特定原函數就夠了。

4.3.2 基本定理的符號驗證：diff 與 integrate 互逆#

4.2 節的基本定理第一敘述說：若 \(F(x) = \int_a^x f(t)\,dt\) ，則 \(F'(x) = f(x)\) 。這給了一個免費的自我檢驗機制：

任何符號積分的結果 \(F\) ，都必須滿足 \(\frac{d}{dx}F(x) \equiv f(x)\) 。

我們把它寫成一個可重用的驗證函式，再對一批函數跑一遍。注意 sp.simplify(back - f) == 0 這個判斷——它要求 SymPy 能把差化簡成精確的零，而不是「接近零」。這是符號計算相對數值計算的根本優勢。

import sympy as sp

x = sp.symbols('x', real=True)

def verify(f, x):
    """回傳 (原函數, 是否通過檢驗)"""
    F = sp.integrate(f, x)
    return F, sp.simplify(sp.diff(F, x) - f) == 0

# 基本定理的符號驗證：integrate 後 diff 回來
funcs = [x**3, sp.exp(x), sp.sin(x), 1/(1 + x**2), sp.log(x + 2), x*sp.exp(x)]
for f in funcs:
    F, ok = verify(f, x)
    print(f'f = {f}  →  ∫f dx = {F}  →  回到 f？ {ok}')

預期輸出：

f = x**3  →  ∫f dx = x**4/4  →  回到 f？ True
f = exp(x)  →  ∫f dx = exp(x)  →  回到 f？ True
f = sin(x)  →  ∫f dx = -cos(x)  →  回到 f？ True
f = 1/(x**2 + 1)  →  ∫f dx = atan(x)  →  回到 f？ True
f = log(x + 2)  →  ∫f dx = x*log(x + 2) - x + 2*log(x + 2)  →  回到 f？ True
f = x*exp(x)  →  ∫f dx = (x - 1)*exp(x)  →  回到 f？ True

這個 verify 函式是本節的「主程式」，後面的所有例子都可以用它的模式來檢驗。

為什麼這個檢驗「幾乎總是通過」？#

因為 SymPy 的積分引擎在內部就是猜測 + 驗證（heuristic + verification）：

1. 猜測原函數 \(F\) （用有理函數的部分分式、超越函數的 Gosper 演算法、Meijer G 函數等策略）；
2. 微分回去檢查 \(F' \stackrel{?}{=} f\) ；
3. 驗證通過就回傳，不通過就降級到更一般的表示（Integral 物件）或明確報錯。

這正是萊布尼茲與牛頓當年的工作流程——「猜測 + 微分驗證」——被寫進了程式裡。第 4.2.4 節的伯努利追問「求面積為何等價於求導數」，在演算法層面的答案就是：因為求面積的正確性判準，就是求導數的等式。

4.3.3 定積分與基本定理第二敘述#

定積分 sp.integrate(f, (x, a, b)) 內部做的是：找到原函數 \(F\) ，回傳 \(F(b) - F(a)\) 。這正是 4.2.6 節的敘述二。我們把它和「先找原函數再手動相減」對照。

import sympy as sp

x = sp.symbols('x', real=True)

# 第二敘述：∫_a^b f = F(b) - F(a)，兩條路徑
cases = [
    (x**2, 1, 3),
    (sp.sin(x), 0, sp.pi),
    (sp.exp(x), 0, 1),
    (1/(1 + x**2), 0, 1),
    (sp.log(x + 2), 0, 3),
]
for f, a, b in cases:
    F = sp.integrate(f, x)
    lhs = sp.simplify(sp.integrate(f, (x, a, b)))
    rhs = sp.simplify(F.subs(x, b) - F.subs(x, a))
    print(f'f = {f}, [a,b] = [{a}, {b}]')
    print(f'   ∫_a^b f = {lhs}   F(b)-F(a) = {rhs}   相等？ {sp.simplify(lhs - rhs) == 0}')

預期輸出：

f = x**2, [a,b] = [1, 3]
   ∫_a^b f = 26/3   F(b)-F(a) = 26/3   相等？ True
f = sin(x), [a,b] = [0, pi]
   ∫_a^b f = 2   F(b)-F(a) = 2   相等？ True
f = exp(x), [a,b] = [0, 1]
   ∫_a^b f = -1 + E   F(b)-F(a) = -1 + E   相等？ True
f = 1/(x**2 + 1), [a,b] = [0, 1]
   ∫_a^b f = pi/4   F(b)-F(a) = pi/4   相等？ True
f = log(x + 2), [a,b] = [0, 3]
   ∫_a^b f = -3 + log(3125/4)   F(b)-F(a) = -3 + log(3125/4)   相等？ True

注意 E 是 SymPy 對歐拉數 \(e \approx 2.71828\ldots\) 的精確符號（sp.E），以及 pi 對 \(\pi\) ——全程沒有浮點數。這就是符號積分相對數值積分的核心優勢： \(\int_0^1 \frac{dx}{1+x^2} = \frac{\pi}{4}\) 是一個精確的等式，不是「0.7853981633974483」。

基本定理的第三種用法：面積#

幾何題最常見的定積分是「兩曲線之間的面積」。這正是 4.1 節的老問題。 \(\text{面積} = \int_{\text{上}} - \int_{\text{下}}\) ，需要先找出交點。

import sympy as sp

x = sp.symbols('x', real=True)

# 拋物線 y = x^2 與直線 y = 2x 的交點
f, g = x**2, 2*x
roots = sp.solve(sp.Eq(f, g), x)
print('交點橫座標 =', roots)

a, b = min(roots), max(roots)
# 在 [0,2] 上 2x >= x^2，所以「上」是 g、「下」是 f
area = sp.integrate(g, (x, a, b)) - sp.integrate(f, (x, a, b))
print('面積 =', sp.simplify(area))

預期輸出：

交點橫座標 = [0, 2]
面積 = 4/3

** \(4/3\) ！** 這正是 4.1 節阿基米德的係數——只是那裡是「拋物線弓形與內接三角形的比」，這裡是「拋物線與直線所圍區域的面積」。兩者都是同一個幾何事實的不同表述。歷史在閉合。

4.3.4 「 \(+C\) 」怎麼處理：不定積分的細節#

這是初學者最常困惑的技術細節。數學上， \(\int x^3 dx\) 的答案是一族函數 \(\{F + C : C \in \mathbb{R}\}\) ；SymPy 的 sp.integrate(f, x) 回傳的是這一族中的一個特定成員（通常是把 \(C\) 設為 \(0\) 的那個）。

三種正確的處理方式#

方式一：需要符號答案時，手動加上 C。 方式二：用 sp.dsolve 讓 SymPy 自己帶出常數（dsolve 解微分方程時會自動給出任意常數，命名為 C1、C2、…，區別於你自己定義的 C）。方式三：直接問「差一個常數嗎」——兩個函數 \(F\) 、 \(G\) 都是 \(f\) 的原函數，若且唯若 \(F - G\) 是常數，也就是「 \(\frac{d}{dx}(F - G) = 0\) 」。

import sympy as sp

x = sp.symbols('x', real=True)
C = sp.Symbol('C', real=True)
F = sp.Function('F')

# 方式一：手動加 C
f = x**3
F1 = sp.integrate(f, x)
print('SymPy 的回傳 =', F1)
print('完整的原函數族 =', F1 + C)
print('驗證 d/dx =', sp.diff(F1 + C, x))

# 方式二：dsolve 自動帶出 C1
print()
sol = sp.dsolve(sp.Eq(F(x).diff(x), f), F(x))
print('dsolve =', sol)

# 方式三：檢查「差一個常數」
print()
g = x * sp.exp(x)
G1 = sp.integrate(g, x)
print('SymPy 算的 G1 =', G1)
for c in [0, 7]:
    G2 = (x - 1)*sp.exp(x) + c     # 手動猜的原函數（可差一個常數 c）
    print(f'手動的 G2 (c={c}) =', G2)
    print('   G1 - G2 =', sp.simplify(G1 - G2),
          '  差是常數？', sp.simplify(sp.diff(G1 - G2, x)) == 0)

預期輸出：

SymPy 的回傳 = x**4/4
完整的原函數族 = C + x**4/4
驗證 d/dx = x**3

dsolve = Eq(F(x), C1 + x**4/4)

SymPy 算的 G1 = (x - 1)*exp(x)
手動的 G2 (c=0) = (x - 1)*exp(x)
   G1 - G2 = 0   差是常數？ True
手動的 G2 (c=7) = (x - 1)*exp(x) + 7
   G1 - G2 = -7   差是常數？ True

方式三就是「差一個常數」的精確判準： \(G_1 - G_2\) 的微分是零，所以它（在一個連通區間上）是常數。 \(c = 0\) 時兩者相同； \(c = 7\) 時相差 \(-7\) ——正是我們手動加上的那個常數。

一個實務建議#

在寫程式時，永遠不要把 +C 加進去再做定積分——常數會自動消掉，加了只是徒增雜訊（還可能讓 SymPy 的化簡變慢）。只有在輸出數學答案給人看時，才需要手動寫上 \(+C\) 。

4.3.5 有理函數：部分分式分解#

策略#

對有理函數 \(\frac{P(x)}{Q(x)}\) ，標準演算法是：

1. 若 \(P\) 的次數 \(\ge Q\) 的次數，先做多項式長除法；
2. 把 \(Q\) 因式分解；
3. 對每個因子做部分分式分解；
4. 逐項積分。

SymPy 把這整套流程包裝成 sp.apart（algebraic partial fractions）。

import sympy as sp

x = sp.symbols('x', real=True)

# 部分分式分解
f = (x**2 + 1)/(x**3 - x)
print('apart =', sp.apart(f, x))
print('apart(1/(x^2+3x+2)) =', sp.apart(1/(x**2 + 3*x + 2), x))

# 逐項積分再相加
terms = sp.apart(f, x).as_ordered_terms()
total = sp.simplify(sum(sp.integrate(t, x) for t in terms))
direct = sp.integrate(f, x)
print('逐項積分之和 =', total)
print('直接積分     =', direct)
print('微分後相等？', sp.simplify(sp.diff(total, x) - sp.diff(direct, x)) == 0)
print('在 x=2 的值相同？', sp.simplify(total.subs(x, 2) - direct.subs(x, 2)) == 0)

預期輸出：

apart = 1/(x + 1) + 1/(x - 1) - 1/x
apart(1/(x^2+3x+2)) = -1/(x + 2) + 1/(x + 1)
逐項積分之和 = -log(x) + log(x - 1) + log(x + 1)
直接積分     = -log(x) + log(x**2 - 1)
微分後相等？ True
在 x=2 的值相同？ True

注意兩種寫法的差異：

• 逐項積分得到 \(-log(x) + log(x - 1) + log(x + 1)\) ；
• SymPy 直接積分得到 \(-log(x) + log(x**2 - 1)\) 。

它們在 \(x > 1\) 時相等（因為 \(\log(x-1) + \log(x+1) = \log(x^2-1)\) ），但在 \(0 < x < 1\) 時不同（實數的 \(\log\) 對負數無定義，而 \(\log|x^2-1| = \log(1-x^2)\) ）。這不是錯誤，是對數的分支問題。

要小心驗證這種「只差常數」的關係，最好的方式是比較微分（如上），或者在同一個點比較數值（如上）——兩種都通過，就說明它們是同一族原函數的成員。

SymPy 的符號慣例：log 表示實數自然對數（在正實數上定義）；log(x, b) 表示以 \(b\) 為底。複數對數要用 sp.log(x, b, evaluate=False) 或明確進入複數域。

4.3.6 代入法與三角代換#

代入法與三角代換#

SymPy 有 sp.integrate 的自動代換，但有時候手動指定更有效率。核心工具是 sp.subs 配合「同時替換微分」；三角代換則是符號積分最經典的策略。

代入法範例： \(\int x e^{x^2} dx\) ，令 \(u = x^2\) ， \(du = 2x\,dx\) ，被積函數變成 \(\frac{1}{2}e^u\) 。

三角代換範例： \(\int \frac{dx}{1+x^2}\) —— 令 \(x = \tan\theta\) ，則 \(dx = \sec^2\theta\, d\theta\) ，且 \(1 + x^2 = \sec^2\theta\) ，所以被積函數化為 \(\frac{\sec^2\theta}{\sec^2\theta} = 1\) ，積得 \(\theta = \arctan x\) 。

第二個例子是 \(\int \frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}\) ：令 \(x = \sin\theta\) ，則 \(dx = \cos\theta\,d\theta\) ， \(\sqrt{1 - \sin^2\theta} = |\cos\theta|\) 。在 \(0 \le \theta \le \frac{\pi}{2}\) 上 \(\cos\theta \ge 0\) ，所以被積函數化為 \(1\) ，積分得 \(\theta = \arcsin x\) 。

這裡有個 SymPy 的實務陷阱：SymPy 不知道 \(\cos\theta\) 的符號，所以它保留 \(\frac{\cos\theta}{|\cos\theta|}\) 而不是化簡成 \(1\) 。解法是用 sp.assuming 加上假設，再用 sp.refine 化簡。

import sympy as sp

x, u, theta = sp.symbols('x u theta', real=True)

# 代入法：∫ x·exp(x^2) dx，令 u = x^2，du = 2x dx
f = x * sp.exp(x**2)
print('f =', f)
g = sp.exp(u) / 2                  # 手動代換：x^2 -> u，並把 x dx 換成 du/2
print('代換後 =', g)
print('∫ =', sp.integrate(g, u))
print('換回 x =', sp.integrate(g, u).subs(u, x**2))
print('驗證微分 =', sp.simplify(sp.diff(sp.integrate(g, u).subs(u, x**2), x) - f))

print()
# 三角代換 I：x = tan(theta)，求 ∫ dx/(1+x^2)
print('恆等式 1+tan^2 = sec^2 的檢查 =', sp.simplify(1 + sp.tan(theta)**2 - sp.sec(theta)**2))
new1 = sp.simplify(sp.sec(theta)**2 / (1 + sp.tan(theta)**2))
print('代換後被積函數 =', new1)
print('∫ =', sp.integrate(new1, theta))
print('換回 x = atan(x) =', sp.simplify(sp.integrate(new1, theta).subs(theta, sp.atan(x))))

# 三角代換 II：x = sin(theta)，求 ∫ dx/sqrt(1-x^2)
print()
new2 = sp.cos(theta) / sp.sqrt(1 - sp.sin(theta)**2)
print('代換後被積函數 =', new2)
with sp.assuming(sp.Q.real(theta), sp.Q.positive(sp.cos(theta))):
    r = sp.refine(sp.simplify(new2))
    print('在 cos(theta) > 0 的假設下化簡 =', r)
    print('∫ =', sp.integrate(r, theta))
    print('換回 theta = asin(x) =', sp.integrate(r, theta).subs(theta, sp.asin(x)))

預期輸出：

f = x*exp(x**2)
代換後 = exp(u)/2
∫ = exp(u)/2
換回 x = exp(x**2)/2
驗證微分 = 0

恆等式 1+tan^2 = sec^2 的檢查 = 0
代換後被積函數 = 1
∫ = theta
換回 x = atan(x) = atan(x)

代換後被積函數 = cos(theta)/sqrt(1 - sin(theta)**2)
在 cos(theta) > 0 的假設下化簡 = 1
∫ = theta
換回 theta = asin(x) = asin(x)

步驟 1–3 全部由 SymPy 完成並驗證，包括那個恆等式 \(\sec^2\theta - 1 - \tan^2\theta = 0\) （輸出為 0）。

sp.assuming 的用法說明：sp.assuming(...) 建立一個「假設上下文」，裡面的 sp.refine 會用這些假設化簡表達式（例如把 \(\sqrt{x^2}\) 在 \(x > 0\) 下化簡成 \(x\) ）。這是 SymPy 處理符號根式的標準手段，在第 10 章的複變數分析中會大量用到。

三角代換的選擇表#

4.3.7 分段函數、Min/Max 與符號極限#

分段函數與 Min / Max：兩曲線之間的面積#

SymPy 能處理 Piecewise 的定積分，但分界點需要它自己找；有時手動分段更快、更可靠。而「 \(f\) 與 \(g\) 之間的面積」有兩種寫法：

SymPy 提供 sp.Max 與 sp.Min，但對它們的積分支援有限——常數會回傳未求值的 Integral 物件，需要手動分段或 .doit()。

import sympy as sp

x = sp.symbols('x', real=True)

# 分段函數：x < 0 時是 x^2，否則是 x
pw = sp.Piecewise((x**2, x < 0), (x, True))
print('pw =', pw)
print('∫_{-1}^{2} pw dx =', sp.integrate(pw, (x, -1, 2)))
# 手動分段：SymPy 有時需要你幫它找分界點
print('手動分段 =', sp.simplify(sp.integrate(x**2, (x, -1, 0)) + sp.integrate(x, (x, 0, 2))))

print()
# Min / Max：兩曲線間的面積
f, g = x**2, 2*x
print('Max(x^2, 2x) =', sp.Max(f, g))
print('Min(x^2, 2x) =', sp.Min(f, g))
print('∫_0^2 Max dx =', sp.integrate(sp.Max(f, g), (x, 0, 2)))
Imin = sp.integrate(sp.Min(f, g), (x, 0, 2))
print('∫_0^2 Min dx =', Imin)
print('（Min 的結果需手動化簡）=', sp.nsimplify(Imin.doit()))

預期輸出：

pw = Piecewise((x**2, x < 0), (x, True))
∫_{-1}^{2} pw dx = 7/3
手動分段 = 7/3

Max(x^2, 2x) = Max(2*x, x**2)
Min(x^2, 2x) = Min(2*x, x**2)
∫_0^2 Max dx = 4
∫_0^2 Min dx = Integral(Piecewise((2*x, x <= x**2/2), (x**2, True)), (x, 0, 2))
（Min 的結果需手動化簡）= 8/3

讀出什麼？

• 分段函數：SymPy 自動找出分界點並算得 \(\frac{7}{3}\) ，與手動分段一致（手算： \(\int_{-1}^{0}x^2 dx = \frac{1}{3}\) ， \(\int_0^2 x\,dx = 2\) ，總和 \(\frac{7}{3}\) ✅）。
• Max 的積分 SymPy 直接算出來了（ \(= 4\) ，因為在 \([0,2]\) 上 \(2x \ge x^2\) ）。
• Min 的積分回傳未求值的 Integral 物件——SymPy 把 Min 展開成了 Piecewise，但沒有繼續求值。
• sp.nsimplify(Imin.doit()) 把結果化簡成 \(\frac{8}{3}\) 。手算： \([0,2]\) 上 \(x^2 \le 2x\) ，故 \(\mathrm{Min} = x^2\) ， \(\int_0^2 x^2 dx = \frac{8}{3}\) ✅。
• 面積 \(= 4 - \frac{8}{3} = \frac{4}{3}\) ——**又是 \(4/3\) **！

重要的實務教訓：sp.integrate 回傳 Integral 物件（而非數值）不是錯誤，而是它在說「我沒算完，但形式已經對了」。這個物件仍然可以 .doit() 強制求值、可以 sp.N(...) 數值化、也可以拿去做別的代數運算。

符號極限 sp.Limit(...).doit()#

第 2 章已經介紹過 sp.Limit。這裡看它在積分中的用法，並連帶展示 SymPy 對「沒有初等原函數」的函數如何誠實作答。

import sympy as sp

x, n, k = sp.symbols('x n k', real=True)

# (1) 一般的符號極限
print('Limit(sin(x)/x, x, 0) =', sp.Limit(sp.sin(x)/x, x, 0).doit())
print('Limit((1+x)**n, x, 0) =', sp.Limit((1 + x)**n, x, 0).doit())

# (2) 黎曼和的極限 = 積分（基本定理的極限版本）
f = x**2
delta = sp.Integer(2)/n
mid = sp.Integer(-1) + (k + sp.Rational(1,2))*delta
Riemann = sp.Sum(f.subs(x, mid)*delta, (k, 0, n-1))
print('黎曼和 =', Riemann)
print('極限 =', sp.Limit(Riemann, n, sp.oo).doit())
print('積分 =', sp.integrate(f, (x, -1, 1)))

# (3) 反常積分：把上限推到無窮
R = sp.Symbol('R', positive=True)
print('∫_0^R e^{-x^2} dx 的極限 =',
      sp.Limit(sp.integrate(sp.exp(-x**2), (x, 0, R)), R, sp.oo).doit())

# (4) 沒有初等原函數的函數：SymPy 回傳特殊函數
print('∫e^{-x^2} dx =', sp.integrate(sp.exp(-x**2), x))
print('∫sin(x)/x dx =', sp.integrate(sp.sin(x)/x, x))
print('∫_0^∞ e^{-x^2} dx =', sp.integrate(sp.exp(-x**2), (x, 0, sp.oo)))

預期輸出：

Limit(sin(x)/x, x, 0) = 1
Limit((1+x)**n, x, 0) = 1
黎曼和 = Sum(2*(-1 + 2*(k + 1/2)/n)**2/n, (k, 0, n - 1))
極限 = 2/3
積分 = 2/3
∫_0^R e^{-x^2} dx 的極限 = sqrt(pi)/2
∫e^{-x^2} dx = sqrt(pi)*erf(x)/2
∫sin(x)/x dx = Si(x)
∫_0^∞ e^{-x^2} dx = sqrt(pi)/2

第 (3) 項特別值得注意： \(\int_0^\infty e^{-x^2} dx = \frac{\sqrt{\pi}}{2}\) 是高斯積分的一半——那個著名的符號積分「奇蹟」。它的值 \(\frac{\sqrt\pi}{2}\) 不是「算出來」的，而是 SymPy 用Meijer G 函數的方法求出的。

而 \(e^{-x^2}\) 的原函數沒有初等表達式——這是 Liouville 在 1840 年代證明的事（第 12 章會談到可積函數的理論）。SymPy 的做法是：回傳 sp.erf(x/2)*sqrt(pi)/2（誤差函數 erf 是特殊函數，不是初等函數），對定積分則直接給出 \(\frac{\sqrt{\pi}}{2}\) 。Si(x) 是正弦積分 \(\int_0^x \frac{\sin t}{t} dt\) 。這是 SymPy「誠實」的表現：它不給你一個假的初等答案，而是給你一個正確命名的特殊函數。

4.3.8 SymPy 積分引擎的策略速查#

常用輔助 API 與符號 / 數值的取捨：

實務建議：先用符號積分嘗試；若回傳 Integral 物件且你只需要數值，用 sp.N(expr, 15)；若連 .doit() 都無法求值，改用數值積分方法。符號的優勢是可驗證（微分回去），數值的優勢是快且適用於任意可積函數。

習題#

習題 4.3.1（基本定理的符號驗證器） 寫一個函式

import sympy as sp

def verify(f, x):
    F = sp.integrate(f, x)
    return F, sp.simplify(sp.diff(F, x) - f) == 0

用它檢驗以下被積函數，並記錄 SymPy 回傳的原函數形式： (a) \(\frac{1}{x^2 + 4}\) ；(b) \(\frac{x}{x^2+1}\) ；(c) \(\frac{1}{\cos^2 x}\) ；(d) \(\frac{1}{x \ln x}\) ；(e) \(\frac{\ln x}{x}\) 。 對 (d)、(e) 特別說明：它們之間的關係是什麼？這與「分部積分」的哪個版本有關？

習題 4.3.2（部分分式的完整流程） 對 \(\displaystyle \frac{x^3 + 2x^2 - 1}{x^3 - x^2 - x + 1}\) ： (a) 用 sp.apart 做部分分式分解； (b) 逐項積分，把結果相加； (c) 用 sp.diff 驗證總和的微分等於原被積函數； (d) 比較「逐項積分之和」與 sp.integrate(f, x) 的直接結果，解釋它們的差異（提示：對數的分支）。

習題 4.3.3（三角代換的完整推導） 對 \(\displaystyle \int \frac{dx}{\sqrt{4 - x^2}}\) ： (a) 令 \(x = 2\sin\theta\) ，用 SymPy 逐步驗證 \(dx = 2\cos\theta\,d\theta\) 、 \(\sqrt{4-x^2} = 2\cos\theta\) （在 \(0 \le \theta \le \frac{\pi}{2}\) ），最後得到原函數； (b) 用 sp.diff 驗證你的答案； (c) 算出 \(\int_{-2}^{2}\frac{dx}{\sqrt{4-x^2}}\) 的精確值（應該是 \(\pi\) ）； (d) 解釋幾何意義：這是單位圓的哪一部分？

習題 4.3.4（分段與 Max/Min） (a) 求 \(y = x^2\) 與 \(y = 8 - 2x\) 的交點，用 sp.solve； (b) 用 sp.Max/sp.Min 或手動分段，求兩曲線間封閉區域的面積； (c) 用「 \(\int \mathrm{Max} - \int \mathrm{Min}\) 」與「先分段再相加」兩種方法各做一次，比較結果； (d) 把 (b) 的答案與「弓形面積 \(4/3\) 倍」這個 4.1 節的事實聯繫起來（提示：適當平移與縮放後， \(y = x^2\) 與某條直線所圍的區域是否就是拋物線弓形？）。

習題 4.3.5（反常積分、誠實失敗與符號極限） (a) 用 sp.integrate(sp.exp(-x**2), (x, -sp.oo, sp.oo)) 算出高斯積分； (b) 用極限版本重做：先算 \(\int_0^R e^{-x^2}dx\) ，再對 \(R \to \infty\) 取極限； (c) 解釋為什麼高斯積分不能靠「初等代術」算出來（提示：想辦法用極座標把 \(\iint e^{-(x^2+y^2)}dxdy\) 寫成兩種形式）； (d) 對 \(\displaystyle \int \frac{\sin x}{x}dx\) 與 \(\displaystyle \int \frac{1}{\ln x}dx\) ，記錄 SymPy 的回傳值。解釋為什麼 Si(x) 是「正確的失敗」； (e) 找一個 \(f\) 使得 sp.integrate(f, x) 回傳未求值的 Integral 物件，並說明怎麼用 .doit() 與 sp.N 取得結果； (f) 用 sp.Limit 求 \(\displaystyle \lim_{n \to \infty} n\left(1 - \left(1 - \frac{1}{n}\right)^n\right)\) ，並說明它與 \(e\) 的關係（這是第 6 章的主題）。

小結#

把三節串起來：

• 4.1 節用窮竭法和卡瓦列里截面法算出拋物線弓形面積，得到係數 \(\frac{4}{3}\) ；
• 4.2 節說明這個「求面積」與「求導數」是互逆的，並給出嚴格的極限定理版本；
• 4.3 節把這個互逆性變成可執行的符號驗證，並展示 SymPy 的四種積分策略。

於是那個從公元前 250 年貫穿到 21 世紀的 \(\frac{4}{3}\) ，在 4.3.3 節的最後一次出現（ \(y = x^2\) 與 \(y = 2x\) 之間的面積）時，已經有了完整的現代解釋：它就是「微分與積分互逆」這件事的第一個實例。

下一章（第 5 章）我們要處理基本定理的加強版：中值定理與泰勒級數。有了基本定理，才能把「函數在某點的值」推廣成「函數在鄰域的完整描述」——這是牛頓計算 \(\pi\) 的方法、萊布尼茲求 \(\pi\) 的無窮級數（ \(\frac{\pi}{4} = 1 - \frac13 + \frac15 - \cdots\) ）的共同基礎。