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5.1 拉格朗日中值定理與達朗貝爾引理（1787 年）#

學習動機#

在第 3 章我們學會了「導數」：瞬時變化率。在第 4 章我們學會了「積分」：把無限多個極小的變化加起來。但有一個問題一直懸在半空中：

我們知道 \(f\) 在 \(x = 1\) 的瞬間變化率是 \(f'(1)\) ，在 \(x = 2\) 是 \(f'(2)\) 。那麼在 \(1\) 與 \(2\) 之間，函數「平均」變化了多少？

最笨的辦法是拿端點割線的斜率 \(\dfrac{f(2)-f(1)}{2-1}\) 來代表；但若 \(f\) 在中間先衝上 \(100\) 再掉到 \(-100\) ，割線斜率顯然「平均得太離譜」。真正正確的說法是：存在某個中間點 \(\xi\) ，使得 \(f'(\xi)\) 恰好等於平均變化率。這就是拉格朗日中值定理（Joseph Louis Lagrange, 1787 年的 Théorie des fonctions analytiques）。

而它並不是憑空冒出來的：它脫胎自更古老、更有名的 Rolle 定理——「兩端等高的可微曲線，中間一定有一條水平切線」。1848 年，德國數學家 Philipp Gilbert Lichtenstein 指出：費馬在建立微積分之前就已經用過 Rolle 定理；而 Lagrange 在 1787 年把它推廣成「切線平行割線」的形式。

同一時期還有另一件大事：達朗貝爾（Jean le Rond d'Alembert, 1717–1783） 在 1750 年代證明了導數本身也具有「介值性」：即使 \(f'\) 在某處不連續， \(f'\) 在區間上依然取得到它兩個值之間的所有值——導數版本的介值定理。這就是 Darboux 引理，它是第 2 章「介值定理」與第 3 章「導數」的交叉點。

本節的三條主線：

學完本節，你會能夠：

  1. 用符號計算精確求出中值點 \(\xi\) ；
  2. 解釋為什麼導數不必連續也有介值性（Darboux）；
  3. 把 Lagrange 中值定理視為「把割線拉平成水平線」的技巧；
  4. 用中值定理給出數值誤差上界；
  5. 理解 Lagrange 餘項——它是第 5.2 節 Taylor 定理的心臟。

5.1.1 Rolle 定理：等高兩點之間必有水平切線#

定理 5.1（Rolle） 設 \(f\) 在閉區間 \([a, b]\) 上連續，在開區間 \((a, b)\) 上可微，且 \(f(a) = f(b)\) 。則存在 \(\xi \in (a, b)\) 使得

\[ f'(\xi) = 0. \]

證明的關鍵技巧：把割線拉平#

Rolle 定理最漂亮的證明（沿用 Lagrange 的思路）是引入一個「修正過的函數」。令割線斜率為

\[ m = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}, \]

並定義

\[ g(x) = f(x) - m x. \]

則 \(g(a) = g(b)\) ，而且

\[ g'(x) = f'(x) - m. \]

若我們能在 \((a, b)\) 中找到 \(\xi\) 使 \(g'(\xi) = 0\) ，就得到 \(f'(\xi) = m\) ——切線斜率等於割線斜率。這正是 Lagrange 中值定理。反過來，若 \(f(a) = f(b)\) ，則 \(m = 0\) ， \(g\) 就是原來的 \(f\) ，Rolle 定理立刻得證。

而 Rolle 定理的證明本身只需一步：連續函數在閉區間上必取到最大值與最小值（Weierstrass 極值定理）。因為 \(g(a) = g(b)\) ，最大值 \(M\) 與最小值 \(m\) 不可能只在端點同時取到（否則 \(g\) 是常數，結論更顯然）。所以某個內部點 \(\xi\) 是極值點，由 Fermat 引理（3.1 節）得 \(g'(\xi) = 0\) 。

我們用 SymPy 把整個「拉平」過程做成可檢驗的物件：

import sympy as sp

x, c = sp.symbols('x c', real=True)

# 把割線「拉平」：g(x) = f(x) - m*x，則 g(a) = g(b)
f = x**3 - 3*x
a, b = sp.Integer(0), sp.Integer(2)
m = (f.subs(x, b) - f.subs(x, a)) / (b - a)
g = sp.expand(f - m*x)

print("割線斜率 m =", m)
print("g(x) = f(x) - m*x =", g)
print("g(a) =", g.subs(x, a), "  g(b) =", g.subs(x, b))       # 兩端同高
print("g'(x) =", sp.diff(g, x))
print("g'(c) = 0 的解 =", sp.solve(sp.Eq(sp.diff(g, x).subs(x, c), 0), c))
print("f'(c) - m =", sp.simplify(sp.diff(f, x).subs(x, c) - m))  # 恰為 0 的條件

預期輸出：

割線斜率 m = 1
g(x) = f(x) - m*x = x**3 - 4*x
g(a) = 0   g(b) = 0
g'(x) = 3*x**2 - 4
g'(c) = 0 的解 = [-2*sqrt(3)/3, 2*sqrt(3)/3]
f'(c) - m = 3*c**2 - 4

注意最後一行：把 \(g'(c) = 0\) 換回 \(f'(c) = m\) ， \(m\) 自動消失——因為「切線平行割線」這件事是幾何的，與 \(f\) 的多項式次數無關。

5.1.2 Lagrange 中值定理#

定理 5.2（Lagrange） 設 \(f\) 在 \([a, b]\) 上連續、在 \((a, b)\) 上可微。則存在 \(\xi \in (a, b)\) 使得

\[ f(b) - f(a) = f'(\xi)(b - a), \]

等價地，

\[ \frac{f(b) - f(a)}{b - a} = f'(\xi). \]

這就是「割線斜率 = 某個中間點的切線斜率」。注意 \(\xi\) 通常無法用初等公式寫出，但它的存在性才是定理的實質內容。

現在用 SymPy 精確地找出 \(\xi\) ：把 \(f'(\xi) = \dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}\) 當作方程求解，並檢查每個候選根是否真的落在 \((a,b)\) 內。

import sympy as sp

x, xi = sp.symbols('x xi', real=True)
f = x**3 - 3*x
a, b = sp.Integer(0), sp.Integer(2)

slope = sp.simplify((f.subs(x, b) - f.subs(x, a)) / (b - a))
print("割線斜率 =", slope)
print("f'(x) =", sp.diff(f, x))

cands = sp.solve(sp.Eq(sp.diff(f, x).subs(x, xi), slope), xi)
print("候選點 =", cands)
for c in cands:
    print("  xi =", c, "  在 (0, 2) 內?", sp.simplify(a < c < b))

# 再驗一次：把切線方程寫出來，看它是否通過 (b, f(b))
for c in cands:
    tangent_value = sp.simplify(f.subs(x, c) + slope * (b - c))
    print("  切線在 x=b 的值 =", tangent_value, "   f(b) =", f.subs(x, b))

預期輸出：

割線斜率 = 1
f'(x) = 3*x**2 - 3
候選點 = [-2*sqrt(3)/3, 2*sqrt(3)/3]
  xi = -2*sqrt(3)/3   在 (0, 2) 內? False
  xi = 2*sqrt(3)/3   在 (0, 2) 內? True
  切線在 x=b 的值 = 2 + 16*sqrt(3)/9    f(b) = 2
  切線在 x=b 的值 = 2 - 16*sqrt(3)/9    f(b) = 2

這裡有一個值得停下來想的现象：方程有兩個根，但定理只保證一個落在區間內。 \(f'(x) = 3x^2 - 3\) 是 U 型曲線， \(f'(x) = 1\) 有兩解（ \(\pm 2/\sqrt3\) ），其中只有正的那個在 \((0,2)\) 裡。定理給的是「至少一個」，不是「唯一一個」——這與 Rolle 定理同理（ \(f = \sin x\) 在 \([0, 2\pi]\) 上有兩個水平切線點）。

而中間那兩行「切線在 \(x=b\) 的值 \(\ne f(b)\) 」正說明：只有落在區間內的那個 \(\xi\) 才給出通過割線端點的平行切線；另一個根給出的是另一條平行線，但截不到割線。

5.1.3 幾何直觀：切線與割線#

把上面那個例子畫出來，圖形的訊息非常清楚：

  • 割線（灰色虛線）連接 \((0, 0)\) 與 \((2, 2)\) ，斜率 \(1\) ；
  • 在 \(c = 2/\sqrt3 \approx 1.1547\) 處的切線（紅線）斜率恰也是 \(1\) ，平行於割線；
  • 這條切線把割線「頂」在曲線上——它是曲線與割線之間的最大距離處嗎？不，是曲線「轉向」的那個點。事實上 \(c\) 是 \(g(x) = f(x) - mx\) 的一個極值點，也就是 \(f\) 與割線的間距最大的位置。

用 matplotlib 畫出來：

import sympy as sp
import numpy as np
import matplotlib
matplotlib.use("Agg")
import matplotlib.pyplot as plt

x = sp.symbols('x', real=True)
f = x**3 - 3*x
a, b = 0.0, 2.0
slope = float((f.subs(x, b) - f.subs(x, a)) / (b - a))
c = float(2*sp.sqrt(3)/3)

xs = np.linspace(-0.6, 2.6, 500)
ys = np.array([float(f.subs(x, v)) for v in xs])

fig, ax = plt.subplots(figsize=(7.5, 5.2))
ax.plot(xs, ys, linewidth=2, label="f(x) = x^3 - 3x")
ax.plot([a, b], [float(f.subs(x, a)), float(f.subs(x, b))],
        "o--", color="gray", label="secant (割線)")
fc = float(f.subs(x, c))
ax.plot([c], [fc], "ro", label="tangent point c")
ax.plot(xs, [fc + slope*(v - c) for v in xs], color="red",
        label="tangent at c (∥ 割線)")
ax.set_xlabel("x"); ax.set_ylabel("y")
ax.legend(); ax.grid(True, alpha=0.3)
plt.tight_layout()
plt.savefig("/tmp/mvt_tangent.png", dpi=120)

print("slope =", slope, "  c =", c)
print("saved /tmp/mvt_tangent.png")

預期輸出：

slope = 1.0   c = 1.1547005383792515
saved /tmp/mvt_tangent.png

中值定理的「積分版」 中值定理還有另一個面孔：若 \(f'\) 連續，則 \(\int_a^b f'(x)\,dx = f'(\xi)(b-a)\) ，即 \(\int_a^b f' = f(b)-f(a)\) ——這正是第 4.2 節的牛頓–萊布尼茲定理。反過來說， \(\dfrac{1}{b-a}\int_a^b f'(x)dx\) 就像 \(f'\) 在區間上的「平均值」，而 Lagrange 定理說： \(\xi\) 使得 \(f'(\xi)\) 等於這個平均值。

5.1.4 Darboux 引理：導數自己也有介值性#

現在來到本節最精采的部分。

第 2 章的介值定理說：連續函數取得到它兩個值之間的所有值。但導數 \(f'\) 可能不連續——我們在 3.3 節已看過 \(x^2\sin(1/x)\) 的導數在 \(0\) 處劇烈振盪。那麼 \(f'\) 還會有介值性嗎？

定理 5.3（Darboux 引理，1841 年 Darboux 給出；其實 Lagrange 已在 1787 年隱含用到） 若 \(f\) 在 \([a,b]\) 上可微，則 \(f'\) 具備介值性（ Darboux 性質）：對任何 \(y\) 介於 \(f'(a)\) 與 \(f'(b)\) 之間的數值，存在 \(\xi \in (a,b)\) 使得 \(f'(\xi) = y\) 。

也就是說：

連續性不是介值定理的必要條件；導數天生就有介值性。

為什麼 Darboux 引理成立#

證明路線非常漂亮，和 Lagrange 中值定理是同一套裝備。假設 \(f'\) 在 \([a,b]\) 上取不到中介值 \(y\) ，即 \(f'(x) - y\) 永遠不為零。由 Darboux 引理自身的對偶命題（若 \(f'\) 取不到 \(y\) ，則 \(f' - y\) 在區間上定號）——這裡用反證法配合 IVT 會繞圈，正確的做法是：

令

\[ F(x) = f(x) - yx. \]

則 \(F'(x) = f'(x) - y\) 永遠不等於 \(0\) 。若 \(F' > 0\) 恆成立（或 \(< 0\) ），則 \(F\) 嚴格單調，於是 \(F(b) - F(a) = F'(\xi)(b-a)\) 對某 \(\xi\) 成立（Lagrange），即 \(F'(\xi) \ne 0\) ——矛盾。所以 \(F'\) 必須在某處變號，而變號本身又要求 \(F'\) 取到 \(0\) ，即 \(f'(\xi) = y\) 。

這個證明裡藏著一個深刻的訊息：Darboux 引理幾乎是中值定理的同義反覆——兩者都是「把割線拉平」的技巧在不同函數上的應用。

SymPy 實證：振盪函數的導數仍然有介值性#

取 \(f(x) = x^2\sin(1/x)\) （ \(x \ne 0\) ）， \(f(0) = 0\) 。它的導數是

\[ f'(x) = 2x\sin(1/x) - \cos(1/x) \quad (x \ne 0), \qquad f'(0) = 0, \]

顯然在 \(0\) 附近來回振盪、不連續。但 Darboux 保證： \(f'(0) = 0\) 與 \(f'(1/\pi) = 1\) 之間， \(f'\) 必須取到 \(1/2\) 。我們用二分法找出這個 \(\xi\) ：

import sympy as sp

x = sp.symbols('x', real=True)

# f 在 x=0 處定義為 0；導數須手動指定（SymPy 無法直接微分 x=0 的分式）
f = sp.Piecewise((x**2 * sp.sin(1/x), sp.Ne(x, 0)), (0, True))
fp = sp.Piecewise((2*x*sp.sin(1/x) - sp.cos(1/x), sp.Ne(x, 0)), (0, True))

print("f =", f)
print("f' =", fp)

# f' 在 0 不連續，但取值在 {-1, 1} 之間振盪
for k in [1, 2, 3, 4]:
    xk = sp.S.One/(k*sp.pi)
    print(f"  x = 1/({k}*pi) = {float(xk):.6f}   f'(x) = {sp.simplify(fp.subs(x, xk))}")

# Darboux：f'(1/(2pi)) = -1, f'(1/pi) = 1 ⇒ 必存在 xi 使 f'(xi) = 1/2
def F(v):
    return float(sp.N(2*v*sp.sin(1/v) - sp.cos(1/v)))

lo, hi = sp.S.One/(2*sp.pi), sp.S.One/sp.pi
print("端點: f'(1/(2pi)) =", F(lo), "  f'(1/pi) =", F(hi))

target = 0.5
for _ in range(200):
    mid = (lo + hi) / 2
    if (F(lo) - target) * (F(mid) - target) <= 0:
        hi = mid
    else:
        lo = mid
xi_val = float((lo + hi) / 2)
print("二分法找到 xi =", xi_val)
print("代入檢查 f'(xi) =", sp.N(fp.subs(x, xi_val), 12))
print("落在 (0, 1/pi) 內?", 0 < xi_val < float(1/sp.pi))
print("對照: f'(0) =", fp.subs(x, 0), "（不連續！）")

預期輸出：

f = Piecewise((x**2*sin(1/x), Ne(x, 0)), (0, True))
f' = Piecewise((2*x*sin(1/x) - cos(1/x), Ne(x, 0)), (0, True))
  x = 1/(1*pi) = 0.318310   f'(x) = 1
  x = 1/(2*pi) = 0.159155   f'(x) = -1
  x = 1/(3*pi) = 0.106103   f'(x) = 1
  x = 1/(4*pi) = 0.079577   f'(x) = -1
端點: f'(1/(2pi)) = -1.0   f'(1/pi) = 1.0
二分法找到 xi = 0.2654703516755185
代入檢查 f'(xi) = 0.500000000000
落在 (0, 1/pi) 內? True
對照: f'(0) = 0 （不連續！）

這是本節最重要的實驗： \(f'\) 是一個不連續的函數，但它依然精確地取到了 \(1/2\) ——如果它只是「跳躍」，這是不可能的。Darboux 引理告訴我們：導數不可能有「第一類間斷點（可去/跳躍）」那樣的斷點。導數的間斷點一定是第二類間斷點（振盪型），如上例的 \(0\) 。

推論（連續性的還原） 既然導數有 Darboux 性質，那麼若 \(f\) 可微且 \(f'\) 有界，則 \(f'\) 在區間上連續？不對—— \(f'\) 仍可能不連續（如上例）。但我們得到一個更實際的結論：一個函數若有介值性質且只有第一類間斷點，它就必連續；因此 Darboux 性質是比連續性更強或更弱？Darboux 性質比連續性弱（連續 ⇒ Darboux，但反之不然），但它排除了跳躍型間斷。

5.1.5 為什麼中值定理是「導數版的介值定理」#

把 5.1.2 與 5.1.4 並排看，兩者的邏輯骨架完全同構：

介值定理（第 2 章） Lagrange 中值定理 Darboux 引理
作用對象 連續函數 \(g\) 可微函數 \(f\) 導數 \(f'\)
結論 \(g\) 取到端點值之間的一切值 \(f'\) 取到平均變化率 \(m\) \(f'\) 取到端點導數值之間的一切值
核心道具 極值定理 極值定理 + 拉平 中值定理（反證）
「存在一個 \(\xi\) 」的意義 值落在中間 切線斜率 = 割線斜率 值落在中間

最關鍵的類比是：介值定理是「連續函數」世界裡的中值定理；Darboux 引理是把它搬到「導數」世界；而 Lagrange 中值定理則是把中值定理的結論用「切線 vs 割線」重新包裝。

更漂亮的是它們的證明統一性：

三者共用同一台引擎：極值定理 + 拉平。這也是為什麼 Lagrange 定理幾乎是整個微分學的中樞——第 5.2 節的 Taylor 定理就是把它反覆使用 \(n+1\) 次的結果。

5.1.6 Cauchy 中值定理：把兩個函數綁在一起#

定理 5.4（Cauchy 中值定理，1821 年 Cauchy） 設 \(f, g\) 在 \([a,b]\) 上連續、在 \((a,b)\) 上可微，且 \(g'(x) \ne 0\) 。則存在 \(\xi \in (a,b)\) 使得

\[ \frac{f(b) - f(a)}{g(b) - g(a)} = \frac{f'(\xi)}{g'(\xi)}, \]

等價於

\[ \big(f(b)-f(a)\big)g'(\xi) = \big(g(b)-g(a)\big)f'(\xi). \]

證明：令

\[ H(x) = \big(f(b)-f(a)\big)g(x) - \big(g(b)-g(a)\big)f(x). \]

直接計算得 \(H(a) = H(b) = 0\) ，所以由 Rolle 定理存在 \(\xi\) 使 \(H'(\xi) = 0\) ，即

\[ \big(f(b)-f(a)\big)g'(\xi) - \big(g(b)-g(a)\big)f'(\xi) = 0. \]

一望而知，取 \(g(x) = x\) 就退化成 Lagrange 中值定理。用 SymPy 驗證：

import sympy as sp

x, xi = sp.symbols('x xi', real=True)
f = x**2
g = x**3
a, b = sp.Integer(1), sp.Integer(2)

lhs = (f.subs(x, b) - f.subs(x, a)) * sp.diff(g, x).subs(x, xi)
rhs = (g.subs(x, b) - g.subs(x, a)) * sp.diff(f, x).subs(x, xi)

print("Cauchy 等式 =", sp.Eq(sp.expand(lhs), sp.expand(rhs)))
sol = sp.solve(sp.Eq(sp.expand(lhs - rhs), 0), xi)
print("解 xi =", sol)
for c in sol:
    print("  xi =", c, " 在 [1,2] 內?", sp.simplify((a <= c) & (c <= b)))

# 退化：取 g(x) = x 應回到 Lagrange
g2 = x
lhs2 = (f.subs(x, b) - f.subs(x, a)) * sp.diff(g2, x).subs(x, xi)
rhs2 = (g2.subs(x, b) - g2.subs(x, a)) * sp.diff(f, x).subs(x, xi)
print("退化後的差 =", sp.simplify(lhs2 - rhs2), " → 解 xi =", sp.solve(sp.Eq(lhs2 - rhs2, 0), xi))

預期輸出：

Cauchy 等式 = Eq(9*xi**2, 14*xi)
解 xi = [0, 14/9]
  xi = 0  在 [1,2] 內? False
  xi = 14/9  在 [1,2] 內? True
退化後的差 = 3 - 2*xi  → 解 xi = [3/2]

退化情形值得注意： \(f(x)=x^2\) 在 \([1,2]\) 上的 Lagrange 中值點是 \(\xi = 3/2\) （因為 \(f'(\xi) = 2\xi\) 須等於平均變化率 \(\frac{4-1}{1} = 3\) ，故 \(\xi = 3/2\) ），而 Cauchy 版本給出 \(\xi = 14/9 \approx 1.556\) 。兩者不同——因為 Cauchy 中值定理給的是「把 \(g\) 也算進去」的加權版本，不是 Lagrange 的特例的同一個 \(\xi\) ；只有在 \(g(x)=x\) 且兩式同時成立時才會重合。

Cauchy 中值定理的一個重要推論是 L'Hôpital 法則（這將在第 6 章級數部分正式出現）：在 \(0/0\) 或 \(\infty/\infty\) 型極限中，

\[ \lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x\to a}\frac{f'(x)}{g'(x)} \]

（需 \(g' \ne 0\) 、極限存在等附加條件）。

5.1.7 Lagrange 餘項：用中值定理估計誤差#

中值定理最大的實用價值在於誤差估計。把 Lagrange 定理用在 \([a, b]\) 上，並再對 \(f'\) 用一次：

\[ f(b) = f(a) + f'(\xi)(b-a). \]

再對 \(f'(\xi)\) 展開一階：

\[ f'(\xi) = f'(a) + f''(\eta)(\xi - a) \]

導致 \(f(b) = f(a) + f'(a)(b-a) + f''(\eta)(\xi-a)(b-a)\) 。若在區間上 \(|f''| \le M\) ，則

\[ \left| f(b) - f(a) - f'(a)(b-a) \right| \le M (b-a)^2. \]

這正是一階泰勒公式的誤差界——它是第 5.2 節 Lagrange 餘項 \(R_n = \dfrac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}h^{n+1}\) 的原型。讓我們用 SymPy 檢查這條界的可靠性，並展示一個「用中值定理證明不等式」的經典應用：

import sympy as sp

x = sp.symbols('x', real=True)

# (1) 用中值定理證 e^x >= 1 + x：令 g = e^x - 1 - x
g = sp.exp(x) - 1 - x
print("g' =", sp.diff(g, x))
print("g'' =", sp.diff(g, x, 2), " 恆正嗎?", sp.diff(g, x, 2).is_positive)
print("臨界點 =", sp.solve(sp.Eq(sp.diff(g, x), 0), x), "  g(0) =", g.subs(x, 0))

# (2) 誤差上界 |f(b)-f(a)-f'(a)(b-a)| <= M (b-a)^2 / 2，其中 M = max|f''|
f = sp.sin(x)
a, b = sp.Integer(0), sp.pi/2
M = max(abs(float(sp.N(sp.diff(f, x, 2).subs(x, t)))) for t in [0, sp.pi/4, sp.pi/2])
print("M = max|f''| =", M)
print("一階誤差上界 =", M*float(b-a)**2/2)

# (3) 對任意區間求出中值點 c：f'(c) = 平均變化率
f2 = x**3 - x
for (p, q) in [(0, 1), (1, 3), (-2, sp.Rational(1, 2))]:
    s = (f2.subs(x, q) - f2.subs(x, p)) / (q - p)
    roots = sp.solve(sp.Eq(sp.diff(f2, x), s), x)
    good = [r for r in roots if p < r < q]
    print(f"區間 [{p}, {q}] 平均變化率 = {s},  區間內的中值點 = {good}")

預期輸出：

g' = exp(x) - 1
g'' = exp(x)  恆正嗎? True
臨界點 = [0]   g(0) = 0
M = max|f''| = 1.0
一階誤差上界 = 1.2337005501361697
區間 [0, 1] 平均變化率 = 0,  區間內的中值點 = [sqrt(3)/3]
區間 [1, 3] 平均變化率 = 12,  區間內的中值點 = [sqrt(39)/3]
區間 [-2, 1/2] 平均變化率 = 9/4,  區間內的中值點 = [-sqrt(39)/6]

第 (1) 段就是教科書裡「 \(e^x \ge 1+x\) 」的標準證明： \(g'' > 0\) 表示 \(g\) 凸且 \(g'\) 遞增， \(g'(0)=0\) 表示 \(g\) 在 \(0\) 取最小值，而 \(g(0)=0\) ，故 \(g \ge 0\) 。注意這裡用的正是「 \(g'\) 變號」的單調性判別——而 \(g'\) 變號的合法性，正是中值定理給的。

第 (3) 段的「區間內的中值點」每一個都滿足 \(f'(c) = s\) ，可以用一行驗證：

import sympy as sp

x = sp.symbols('x', real=True)
f2 = x**3 - x
p, q, c = sp.Integer(1), sp.Integer(3), sp.sqrt(39)/3
s = (f2.subs(x, q) - f2.subs(x, p)) / (q - p)
print("平均變化率 =", s)
print("f'(c) =", sp.simplify(sp.diff(f2, x).subs(x, c)), "  等於平均變化率?", sp.simplify(sp.diff(f2, x).subs(x, c) - s) == 0)

預期輸出：

平均變化率 = 12
f'(c) = 12   等於平均變化率? True

5.1.8 定理的邊界：不可微、端點、無窮區間#

中值定理的每個條件都是必要的。SymPy 讓我們能「看見」哪個條件被拿掉之後結論崩潰：

import sympy as sp

x, h = sp.symbols('x h', real=True)

# 不可微的經典反例：|x| 連續但左右導數不同
f = sp.Abs(x)
print("f =", f, "  f'(x) =", sp.diff(f, x))
print("f'(0-) =", sp.limit(sp.diff(f, x), x, 0, "-"),
      "  f'(0+) =", sp.limit(sp.diff(f, x), x, 0, "+"))

# 可微但導數不連續（Darboux 世界的樣板）：x^2 sin(1/x)
g = sp.Piecewise((x**2*sp.sin(1/x), sp.Ne(x, 0)), (0, True))
gp = sp.Piecewise((2*x*sp.sin(1/x) - sp.cos(1/x), sp.Ne(x, 0)), (0, True))
print("g' 在 1/(k*pi) 的取值:", [sp.simplify(gp.subs(x, sp.S.One/(k*sp.pi))) for k in [1, 2, 3]])
print("⇒ g' 的極限不存在，但它仍有介值性（Darboux）")

# 端點導數為無窮（開區間可微、閉區間連續仍成立，但誤差界需另作處理）
q = sp.sqrt(x)
print("q'(x) =", sp.diff(q, x), "  q'(0+) =", sp.limit(sp.diff(q, x), x, 0, "+"))

預期輸出：

f = Abs(x)   f'(x) = sign(x)
f'(0-) = -1   f'(0+) = 1
g' 在 1/(k*pi) 的取值: [1, -1, 1]
⇒ g' 的極限不存在，但它仍有介值性（Darboux）
q'(x) = 1/(2*sqrt(x))   q'(0+) = oo

（|x| 在 \(0\) 的左右導數分別是 \(-1\) 與 \(1\) ，所以不可微；而 \(x^2\sin(1/x)\) 的導數在 \(0\) 附近跳動成 \([1,-1,1,\dots]\) ，極限不存在，卻仍有 Darboux 性質——這正是 5.1.4 的世界觀。）

5.1.9 一條貫串全書的暗線#

到這裡為止，我們已經攢齊了 Taylor 定理所需的全部零件：

  1. Lagrange 中值定理（5.1.2）： \(f(b) - f(a) = f'(\xi)(b-a)\) ——一次「一階」增量公式；
  2. 反覆套用：把區間 \([a, a+h]\) 反覆二分，得到 \(f(a+h) = f(a) + f'(a)h + \dots\) ——這正是 Taylor 的 Method of Increments（1715）；
  3. Darboux 引理（5.1.4）：保證在尋找 \(\xi\) 的過程中不會遇到「跳躍」——這是 Taylor 餘項「 \(f^{(n+1)}(\xi)\) 中某個 \(\xi\) 」能成立的技術基礎；
  4. 誤差界（5.1.7）： \(|f(b) - f(a) - f'(a)(b-a)| \le M(b-a)^2\) ——「 \(n\) 要多大才夠準」的原型。

下一節，我們把這些零件組裝成 Taylor 定理，並回到 1715 年，看布魯克・泰勒（Brook Taylor, 1685–1731）當年究竟寫了什麼，以及為什麼他的公式在 19 世紀因為「無窮小」而必須被柯西、魏爾斯特拉斯徹底重建。

習題#

習題 5.1.1（找出中值點） 對下列每一組 \(f, [a,b]\) ，用 SymPy 解出所有滿足 \(f'(\xi) = \dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}\) 的 \(\xi\) ，並指出哪些落在開區間 \((a,b)\) 內： (a) \(f(x) = x^2 - 4x\) 、 \([0, 5]\) ；(b) \(f(x) = e^{x}\) 、 \([0, \ln 3]\) ；(c) \(f(x) = \sin x\) 、 \([0, \pi]\) ；(d) \(f(x) = \arctan x\) 、 \([0, 1]\) 。

習題 5.1.2（Rolle 的「拉平」構造） 證明（或用 SymPy 逐步驗證）以下推論：若 \(f\) 在 \([a,b]\) 上連續、 \((a,b)\) 上可微，則令 \(g(x) = f(x) - \dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}x\) 後， \(g(a) = g(b)\) ，且 \(\xi\) 是 \(g\) 的一個內部極值點。用 \(f(x) = x^3 - 3x\) 、 \([0,2]\) 找出 \(g\) 的極值點，並說明它與切線平行於割線的關係。

習題 5.1.3（Darboux 引理的數值驗證） 取 \(f(x) = x^2\sin(1/x^2)\) （ \(f(0)=0\) ）。此時 \(f'\) 無界。請用二分法分別找出 \(f'(\xi) = 0.5\) 、 \(f'(\xi) = -0.5\) 、 \(f'(\xi) = 3\) 的解（注意： \(f'\) 無界，所以最後一個解可能落在很大的 \(|x|\) 處）。並解釋：Darboux 引理為什麼不能推論出「 \(f'\) 有界」？

習題 5.1.4（Cauchy 中值定理的應用） 設 \(f(x) = x^2\) 、 \(g(x) = x^3\) ，在區間 \([1, 2]\) 上驗證 Cauchy 中值定理，找出所有滿足 \((f(2)-f(1))g'(\xi) = (g(2)-g(1))f'(\xi)\) 的 \(\xi\) 。再取 \(g(x) = x + 1\) 重做一次，解釋為什麼「 \(g\) 不同， \(\xi\) 不同」。

習題 5.1.5（誤差界與「 \(n\) 要多大」） 對 \(f(x) = \ln(1+x)\) 在 \(x = 0\) 處，用 Lagrange 餘項公式 \(R_1 = \dfrac{f''(\xi)}{2!}x^2\) 給出 \(|R_1|\) 的上界（ \(x>0\) ， \(\xi \in (0,x)\) ，注意 \(|f''(t)| = \dfrac{1}{(1+t)^2} \le 1\) ）。然後回答：要讓 \(|R_1| \le 10^{-6}\) ， \(x\) 必須小於多少？用 SymPy 求解並驗證。

習題 5.1.6（導數的不連續性圖繪） 用 matplotlib 畫出 \(f(x) = x^2\sin(1/x)\) （ \(f(0)=0\) ）及其導數 \(f'\) 在 \([-1, 1]\) 上的圖形，並用不同顏色標出 \(f'\) 不連續的那一點 \(0\) 。用這張圖說明：導數可以不連續，但它不能有跳躍型間斷。

小結#

定理 條件 結論 本書位置
Rolle \(f\) 連續、 \(f(a)=f(b)\) \(\exists\xi: f'(\xi)=0\) 5.1.1
Lagrange 中值定理 \(f\) 連續可微 \(\exists\xi: f'(\xi) = \dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}\) 5.1.2
Darboux 引理 \(f\) 可微 \(f'\) 有介值性 5.1.4
Cauchy 中值定理 \(f,g\) 連續可微 \(\dfrac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)} = \dfrac{f'(\xi)}{g'(\xi)}\) 5.1.6
  • 共同引擎：「極值定理 + 把割線拉平」。三個定理都由這套裝備推出，第 5.2 節的 Taylor 定理則是把它反覆使用。
  • 中值定理是導數版的介值定理：連續函數遵守介值定理（ \(g\) ），導數也遵守（Darboux），而 Lagrange 定理把介值結論包裝成「切線平行割線」——這是第 3 章幾何語言與第 2 章分析語言的接吻處。
  • 實用價值：誤差上界 \(|f(b)-f(a)-f'(a)(b-a)| \le M(b-a)^2\) 是數值分析誤差理論的原型，並且直接通往第 5.3 節的「 \(n\) 要多大才夠準」。
  • 下一節預告：Lagrange 餘項 \(R_n = \dfrac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}h^{n+1}\) 正是 5.1.7 的反覆應用；我們將把它放回 1715 年 Taylor 的 Method of Increments 裡，看它如何從「增量公式」長成現代的 Taylor 定理，並追蹤「無窮小」在 19 世紀如何被清算。