5.2 泰勒定理與歐拉、麥克勞林、萊布尼茲（1715 年）#

學習動機#

上一節我們得到了 Lagrange 中值定理：一個關於「平均變化率」的定理。它可以反覆套用——先對 \(f\) 用一次，再對 \(f'\) 用一次，再對 \(f''\) 用一次……每一層都會冒出一個新的中值點 \(\xi_1, \xi_2, \dots, \xi_n\) ，最後把「增量」寫成一個關於高階導數的精確等式。這個結果就是 Taylor 定理，它是整個分析學的計算引擎。

但歷史的順序恰好相反：Taylor 定理先於中值定理。

• 1715 年，布魯克・泰勒（Brook Taylor, 1685–1731）在 Method of Increments 中發表了增量公式。他當時沒有嚴格的極限語言，寫的是「增量」與「零」的比較；
• 1720 年代，萊布尼茲（Leibniz, 1646–1716）的無窮小演算成為歐洲的通用語言；
• 1748 年，歐拉（Euler, 1707–1783）在 Introductio in infinitorum 中把無窮小「一致化」，把 Taylor 公式推廣成收斂級數；
• 1787 年，Lagrange 給出了中值定理，把 Taylor 公式的剩餘項標準化；
• 1821 年，柯西（Cauchy）用 \(\varepsilon\) - \(\delta\) 語言重寫整個分析學，第一次把 Taylor 定理寫成不含無窮小的嚴格命題；
• 1872 年，魏爾斯特拉斯（Weierstrass）給出算術化的極限定義，把無窮小徹底逐出（見第 2 章）。

本節要回答的核心問題是：

一個 1715 年靠「無窮小」直覺寫下的公式，是如何被改造成現代分析學的嚴格武器的？

我們會沿著這條線索走完全程，並且用 SymPy 讓「無窮小的影子」與「嚴格的極限」在螢幕上並排比較。

graph TD
    T1715["Taylor 1715<br/>Method of Increments<br/>增量公式 + 模糊剩餘項"] --> L1727["萊布尼茲 1727<br/>dx, dy, 無窮小演算"]
    L1727 --> E1748["歐拉 1748<br/>Introductio：無窮小一致化<br/>Taylor 級數"]
    E1748 --> L1787["Lagrange 1787<br/>中值定理 + Lagrange 剩餘項"]
    L1787 --> C1821["Cauchy 1821<br/>Cours d'analyse：嚴格化"]
    C1821 --> W1872["Weierstrass 1872<br/>算術化的極限（第 2 章）"]
    C1821 --> CH6["第 6 章<br/>無窮級數與收斂判別"]

5.2.1 1715：泰勒的《增量法》#

歷史背景#

1715 年，泰勒在棣莫弗（Abraham de Moivre）的 The Method of Fluxions 第二版中，以附錄形式發表了 Method of Increments（增量法）。這篇不到 30 頁的小冊子，是 18 世紀最重要卻最不受重視的數學論文之一。

泰勒的做法來自數值分析：當時天文學家需要插值——從已知資料推算未知值。牛頓（前向差分）與拉格朗日（等距節點的插值公式）都用「差分表」工作。泰勒的洞見是：差分表的高階差分，對於某些函數恰好是常數。

我們先用 SymPy 重現一張差分表，並且在同一支程式裡把它連到 Taylor 公式的骨架——看清新舊兩種語言的對應：

import sympy as sp

x, h = sp.symbols('x h', real=True)

# 等距點上的增量表（差分表）：第 i 階增量是相鄰值之差
f = lambda t: t**3 - 2*t**2 + t
vals = [f(t) for t in range(6)]
print("f 的取值:", vals)

row = list(vals)
table = [row]
while len(row) > 1:
    row = [row[i+1] - row[i] for i in range(len(row)-1)]
    table.append(row)
for i, r in enumerate(table):
    print(f"第 {i} 階增量:", r)
print("三階差分為常數:", table[3])

# 連續版本：一次增量 f(x+h)-f(x)，二次增量 f(x+2h)-2f(x+h)+f(x)
F = x**3 - 2*x**2 + x
d1 = sp.expand(F.subs(x, x + h) - F)
print("\nf(x+h) - f(x) =", d1)
print("整理成 h 的多項式 =", sp.Poly(d1, h))
d2 = sp.expand(F.subs(x, x + 2*h) - 2*F.subs(x, x + h) + F)
print("二次增量 =", sp.factor(d2))

# 一般情形：exp 的 h^k 係數正是 f^(k)(x)/k!
print("exp(x+h) 的展開 =", sp.series(sp.exp(x + h), h, 0, 5))

預期輸出：

f 的取值: [0, 0, 2, 12, 36, 80]
第 0 階增量: [0, 0, 2, 12, 36, 80]
第 1 階增量: [0, 2, 10, 24, 44]
第 2 階增量: [2, 8, 14, 20]
第 3 階增量: [6, 6, 6]
第 4 階增量: [0, 0]
第 5 階增量: [0]
三階差分為常數: [6, 6, 6]

f(x+h) - f(x) = h**3 + 3*h**2*x - 2*h**2 + 3*h*x**2 - 4*h*x + h
整理成 h 的多項式 = Poly(h**3 + (3*x - 2)*h**2 + (3*x**2 - 4*x + 1)*h, h, domain='ZZ[x]')
二次增量 = 2*h**2*(3*h + 3*x - 2)
exp(x+h) 的展開 = exp(x) + h*exp(x) + h**2*exp(x)/2 + h**3*exp(x)/6 + h**4*exp(x)/24 + O(h**5)

三階差分是常數 \([6, 6, 6]\) ，因為 \(f\) 是三次多項式。這個「差分次數 = 多項式次數」的現象，正是 Taylor 公式的離散版本。

從增量表到微分公式#

泰勒真正的大跳躍是：把離散的差分換成連續的導數。他寫的公式現在寫成

三次多項式的一次增量是 \(h\) 的二次多項式，二次增量是 \(h\) 的線性式，三次增量是常數 \(6\) ——每多增量一次， \(h\) 的次數減一。這正是「 \(n\) 階增量對應 \(h^n\) 」的離散版本，也是整個 Taylor 公式的骨架。

泰勒的剩餘項：模糊但真實#

泰勒的公式裡有一個「餘項」（remainder），但他沒有給出現代的 Lagrange 形式。他給的是「其餘的增量項」，並且明確指出：只要函數夠光滑，餘項可以被壓到任意小。這個「餘項可任意小」的信念，是整個 19 世紀分析學的動力來源，也是它的爭議焦點。

注意歷史的尷尬處：泰勒 1715 年的公式在當時幾乎沒有人使用，甚至萊布尼茲本人也不重視它。泰勒在 1715 年後轉向醫學（他寫了《關於天花與牛痘的實驗與觀察》），1718 年因肺結核去世，享年 46 歲。他的公式要到 18 世紀末、19 世紀初才被 Euler、Maclaurin、Lagrange 重新發掘。歷史學者常說：「Taylor 提出了現代分析學最重要的定理之一，卻把它藏在了一本關於天花的小冊子的附錄裡。」

5.2.2 萊布尼茲與無窮小：微分演算的真正語言#

歷史背景#

萊布尼茲在 1670 年代發展了一套符號語言：把 \(dx\) 、 \(dy\) 當作「可以相加減乘除的無窮小」。在這套語言裡，

於是 \(\dfrac{dy}{dx} = f'(x)\) 只是把 \(dx\) 消去。整個微分學——連同鏈鎖法則、乘積法則、商法則——都是這套「形式代數」的產物。

萊布尼茲的遺稿在他 1716 年去世後散佚，完整的數學著作直到 1846–1848 年才由 Gerhardt 編為 Opera omnia。本節標題所指的 1727 年，是萊布尼茲式無窮小演算在歐洲學界完成定型並被普遍接受的時間點——那時 Johann Bernoulli 家族的教學與 Basel 的講義已把這套語言傳遍歐洲。

萊布尼茲的算術：SymPy 可以完美模擬#

萊布尼茲的關鍵直覺是：** \(dx\) 不是數，而是「差商的極限比值」的符號**。我們可以完全不動用任何極限定理，只做形式代數：

import sympy as sp

x, dx = sp.symbols('x dx', real=True)

# 萊布尼茲的記號：dy = f'(x) dx
f = sp.sin(x)
dy = sp.diff(f, x) * dx
print("f(x) =", f)
print("dy = f'(x) dx =", dy)

# 關鍵：f(x+dx) 的一階部分恰是 f(x) + f'(x) dx
delta = sp.series(f.subs(x, x + dx), dx, 0, 2)
print("f(x+dx) 的一階展開 =", delta)
print("去掉 O(dx^2) 後 =", delta.removeO())
print("等於 f(x) + f'(x)dx 嗎?", sp.simplify(delta.removeO() - (f + dy)) == 0)

# 差商：無窮小的比值就是導數（萊布尼茲的「dy/dx」）
g = x**3
print("\ndy/dx =", sp.diff(g, x))
print("lim_{dx->0} (f(x+dx)-f(x))/dx =", sp.limit((g.subs(x, x+dx) - g)/dx, dx, 0))

預期輸出：

f(x) = sin(x)
dy = f'(x) dx = dx*cos(x)
f(x+dx) 的一階展開 = sin(x) + dx*cos(x) + O(dx**2)
去掉 O(dx^2) 後 = dx*cos(x) + sin(x)
等於 f(x) + f'(x)dx 嗎? True

dy/dx = 3*x**2
lim_{dx->0} (f(x+dx)-f(x))/dx = 3*x**2

這段程式碼是整個 18 世紀微積分的心臟：萊布尼茲會說「 \(dx\) 是無窮小， \(dy = f'(x)dx\) ，所以 \(\frac{dy}{dx} = f'(x)\) 」。SymPy 用 O(dx**2) 這個物件，把「 \(dx\) 的高次項被丟掉」這件事變成了可執行的語義。

萊布尼茲方法的致命弱點#

形式代數在 \(dx\) 上能做很多事，但它無法回答「 \(dx\) 是什麼」。三個致命的問題：

1. ** \(dx^2\) 是什麼？** 若 \(dx\) 是無窮小， \(dx^2\) 是「更小的無窮小」——這不是矛盾，但如果允許無窮小，那麼 \(dx = dx^2 \cdot (1/dx)\) ，而 \(1/dx\) 是「更大的無窮小」，於是無窮小變成了沒有零的域，違反了分配律的某些直覺。
2. 循環論證：萊布尼茲用「 \(dx\) 之比」定義導數，又用導數去說明「 \(dx\) 之比」，中間靠的是「把極限步驟省略掉」這個直覺跳躍。
3. 零的困境： \(dx \neq 0\) （否則一切歸零），但 \(dx\) 又「小到可以忽略」——這在實數裡沒有對應物。

這正是第 2 章的主題。讓我們直接用極限語言把萊布尼茲的「影子」還原：

import sympy as sp

x, h = sp.symbols('x h', real=True)

# 魏爾斯特拉斯的「影子」批判：dx 不是數，它只是「極限比值」的影子
# 1) dx 的真正內容是「極限比值」
f = x**3
print("lim_{h->0} (f(x+h)-f(x))/h =", sp.limit((f.subs(x, x+h) - f)/h, h, 0))

# 2) 無窮小的「平方」相對於一次項是可忽略的：h^2 / h -> 0
print("lim h^2/h =", sp.limit(h**2/h, h, 0))
print("lim h^2/sqrt(|h|) =", sp.limit(h**2/sp.sqrt(abs(h)), h, 0, '+'))
print("⇒ 任何比一次方更快的部分都不影響極限值")

# 3) 把「無窮小相乘」的直覺翻譯成極限論證：exp 的乘法律在極限下的樣子
n = sp.symbols('n', integer=True, positive=True)
print("\nlim (1+1/n)^n =", sp.limit((1 + sp.Rational(1,1)/n)**n, n, sp.oo))
print("lim (1+x/n)^n =", sp.limit((1 + x/n)**n, n, sp.oo))

# 4) 泰勒多項式是「無窮小算術」的精確化：誤差項是 O(h^(n+1))
g = sp.exp(x)
for n_ in [1, 2, 3]:
    T = sum(sp.diff(g, x, k).subs(x, 0) * x**k / sp.factorial(k) for k in range(n_+1))
    print(f"T_{n_} 的誤差是 O(x^{n_+1})? 極限 =", sp.limit((g - T)/x**(n_+1), x, 0))

預期輸出：

lim_{h->0} (f(x+h)-f(x))/h = 3*x**2
lim h^2/h = 0
lim h^2/sqrt(|h|) = 0
⇒ 任何比一次方更快的部分都不影響極限值

lim (1+1/n)^n = E
lim (1+x/n)^n = exp(x)
T_1 的誤差是 O(x^2)? 極限 = 1/2
T_2 的誤差是 O(x^3)? 極限 = 1/6
T_3 的誤差是 O(x^4)? 極限 = 1/24

關鍵在第 3 行：lim h^2/h = 0。這就是萊布尼茲「 \(dx^2\) 可忽略」的全部真實內容——它不是一個關於無窮小的聲明，而是一個關於極限的定理。所有「無窮小的演算」，在魏爾斯特拉斯的語言裡都變成了「極限比值」的演算。

5.2.3 歐拉：把無窮小一致化（1748）#

Introductio in infinitorum#

1748 年，歐拉出版《無窮小分析導論》（Introductio in infinitorum）。這部兩卷本的巨著是 18 世紀數學的百科全書：他把當時所有的分析學成果——包括 Taylor 公式——系統地整理在無窮小演算的框架裡。

歐拉做的事情，可以概括為一句話：他讓 Taylor 公式成為一個「函數的表示定理」。

原來的 Taylor 公式是一個「增量公式」：給定 \(x\) 與增量 \(h\) ， \(f(x+h)\) 等於多少？歐拉把它改寫成

——函數本身等於其 Taylor 級數。這一步是整個 19 世紀級數論的起點。

在 SymPy 裡，「 \(f\) 的 Maclaurin 係數」有一個非常乾淨的公式：

我們把它算出來，並同時看見歐拉如何從二項式定理推出這個級數：

import sympy as sp

x, n = sp.symbols('x n', integer=True, positive=True)

# Maclaurin 係數 a_k = f^(k)(0)/k!
funcs = [sp.exp(x), sp.sin(x), sp.cos(x), sp.log(1 + x), sp.atan(x)]

for f in funcs:
    coeffs = []
    for k in range(0, 6):
        c = sp.diff(f, x, k).subs(x, 0) / sp.factorial(k)
        coeffs.append(sp.simplify(c))
    print(f"{str(f):12s} 係數 = {coeffs}")

# 與 SymPy 的 series 比較
print()
print("exp(x) 的 series =", sp.series(sp.exp(x), x, 0, 6))
print("log(1+x) 的 series =", sp.series(sp.log(1 + x), x, 0, 6))

# 歐拉的極限式：e^x = lim (1 + x/n)^n
print("\nlim (1 + x/n)^n =", sp.limit((1 + x/n)**n, n, sp.oo))

# 二項式定理：(1 + x/n)^n = sum C(n,k) (x/n)^k
for N in [3, 5]:
    print(f"(1 + x/{N})^{N} =", sp.expand((1 + x/N)**N))

# 極限 n→∞ 時，每個係數 C(n,k)/n^k -> 1/k!
for k in range(0, 4):
    lim = sp.limit(sp.binomial(n, k)/n**k, n, sp.oo)
    print(f"lim C(n,{k})/n^{k} =", lim, "   而 1/{k}! =", sp.simplify(1/sp.factorial(k)))

預期輸出：

exp(x)       係數 = [1, 1, 1/2, 1/6, 1/24, 1/120]
sin(x)       係數 = [0, 1, 0, -1/6, 0, 1/120]
cos(x)       係數 = [1, 0, -1/2, 0, 1/24, 0]
log(x + 1)   係數 = [0, 1, -1/2, 1/3, -1/4, 1/5]
atan(x)      係數 = [0, 1, 0, -1/3, 0, 1/5]

exp(x) 的 series = 1 + x + x**2/2 + x**3/6 + x**4/24 + x**5/120 + O(x**6)
log(1+x) 的 series = x - x**2/2 + x**3/3 - x**4/4 + x**5/5 + O(x**6)

lim (1 + x/n)^n = exp(x)
(1 + x/3)^3 = x**3/27 + x**2/3 + x + 1
(1 + x/5)^5 = x**5/3125 + x**4/125 + 2*x**3/25 + 2*x**2/5 + x + 1
lim C(n,0)/n^0 = 1    而 1/{k}! = 1
lim C(n,1)/n^1 = 1    而 1/{k}! = 1
lim C(n,2)/n^2 = 1/2    而 1/{k}! = 1/2
lim C(n,3)/n^3 = 1/6    而 1/{k}! = 1/6

這就是歐拉的整個故事：二項式定理 \((1 + x/n)^n\) 的極限裡，每個係數 \(\binom{n}{k}/n^k\) 都趨向 \(1/k!\) ——於是 \(\sum x^k/k!\) 從二項式定理裡長出來，而不是被假定。這比「用級數定義 \(e^x\) 」更深刻： \(e^x\) 的級數是推導出來的。

歐拉的真正遺產：他不僅是「把 Taylor 公式推廣」，更是建立了「函數 = 級數」這個觀念。從此，數學家開始問：哪些函數可以用級數表示？級數在哪些點收斂？這些問題構成了第 6 章的主體。

5.2.4 麥克勞林：把展開點固定在原點#

Colin Maclaurin（1698–1746）是苏格兰數學家，1683 年出生的他比 Euler 大 24 歲，比 Taylor 大 13 歲。他在 1742 年的 A Treatise of Fluxions（第二版 1748）中，把 Taylor 公式專門用於展開點 \(x = 0\) 的情形：

這個特例後來被稱為 Maclaurin 級數（"Maclaurin series" 這個名稱是 William Watson 在 1744 年的《A Treatise on the Series of Powers》里提出的）。

為什麼要特別處理 \(x = 0\) ？因為在歐拉的時代，指數函數 \(e^x\) 正是以 \(e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2} + \cdots\) 這個形式被定義的——也就是說，「 \(e^x\) 的級數」不是從 \(e^x\) 推導出來的，而是定義了 \(e^x\) 。這在 Maclaurin 時代是一個巨大的觀念躍進：一個超越數可以被一個初等級數完全決定。

今天我們用 SymPy 檢查這個觀念：Maclaurin 級數可以逐項求導、逐項積分，與原函數完全相容：

import sympy as sp

x = sp.symbols('x', real=True)

# Maclaurin 級數與原函數的「逐項運算」相容性（比較同一截斷階數的係數）
for f in [sp.exp(x), sp.sin(x), sp.cos(x), sp.log(1 + x)]:
    s = sp.series(f, x, 0, 7).removeO()
    d_s = sp.expand(sp.diff(s, x))
    d_f = sp.expand(sp.series(sp.diff(f, x), x, 0, 6).removeO())
    print(f"{str(f):10s} 逐項微分一致? {sp.simplify(d_s - d_f) == 0}")

# Maclaurin 級數可以用來「定義」超越函數
print("\nexp 的 Maclaurin 級數 =", sp.series(sp.exp(x), x, 0, 8))
print("在 x=1 處的部分和:", [sp.N(sp.series(sp.exp(x), x, 0, k).removeO().subs(x, 1)) for k in [3, 5, 8]])
print("e =", sp.E)

預期輸出：

exp(x)     逐項微分一致? True
sin(x)     逐項微分一致? True
cos(x)     逐項微分一致? True
log(x + 1) 逐項微分一致? True

exp 的 Maclaurin 級數 = 1 + x + x**2/2 + x**3/6 + x**4/24 + x**5/120 + x**6/720 + x**7/5040 + O(x**8)
在 x=1 處的部分和: [2.50000000000000, 2.70833333333333, 2.71825396825397]
e = E

部分和 \(2.5 \to 2.7083 \to 2.71825\) 逼近 \(e = 2.71828\ldots\) ——這就是「用級數定義超越函數」的可執行版本。

5.2.5 為什麼「無窮小」在 19 世紀被清算#

問題的累積#

從 1720 年代到 1800 年代末，歐洲數學家普遍使用無窮小演算。這套方法非常有效，幾乎所有能算的題目都算出來了。但它有幾個結構性缺陷，越到後來越無法迴避：

1. 零與非零的困境。 \(dx \neq 0\) （否則微分無意義），但 \(dx\) 又小到可以忽略其平方。
2. 極限論證的隱藏。萊布尼茲的每一次「約去 \(dx\) 」都藏著一個極限步驟。
3. 「零」的定義不穩。18 世紀的「零」有時被當作可以參與運算的對象（「 \(0 \cdot \infty\) 」之類的爭論），這在算術上是不允許的。
4. 1797 年 Lagrange 的接二連三：他在 Théorie des fonctions analytiques 中明確宣布要「消除無窮小」。

魏爾斯特拉斯的「影子」批判（1872）#

1872 年，魏爾斯特拉斯的演講給出了現代的極限定義（第 2 章的主題）。他的立場可以精確地表述為：

無窮小不是數，它只有「影子」（Schatten）。

萊布尼茲的 \(dx\) 沒有對應的實數對象；有意義的只是由它產生的那個極限比值。所謂「 \(dx^2\) 可忽略」，翻譯成嚴格語言就是 \(\lim_{h\to 0} h^2/h = 0\) 。

「影子」這個詞是後世對這套立場的生動概括：無窮小本身被消除了，但它的投影——那些真正攜帶資訊的極限——被完整保留了下來。我們已經在 5.2.2 裡看過這個「影子翻譯」的示範。讓我們再往前一步：整個 Taylor 公式，都可以只用極限語言重寫。

Peano 餘項：不需要無窮小，也不需中值定理#

第一個把 Taylor 定理寫成純極限形式的是 Giuseppe Peano（1858–1932）。Peano 餘項的內容是：

等價地（多寫一階）

注意：Peano 餘項**完全沒有提到 \(\xi\) **，因此也不需要 Lagrange 中值定理。我們用 SymPy 逐階驗證：

import sympy as sp

x = sp.symbols('x', real=True)

# Peano 餘項：(f(x) - T_n(x)) / (x-a)^(n+1) -> f^(n+1)(a)/(n+1)!
f = sp.exp(x)
a = sp.Integer(0)
for n in range(0, 4):
    T = sum(sp.diff(f, x, k).subs(x, a) * (x - a)**k / sp.factorial(k) for k in range(n + 1))
    lim = sp.limit((f - T) / (x - a)**(n + 1), x, a)
    want = sp.diff(f, x, n+1).subs(x, a) / sp.factorial(n+1)
    print(f"n = {n}: T_{n}(x) = {sp.expand(T)}   極限 = {lim}   應為 {want}   一致? {lim == want}")

預期輸出：

n = 0: T_0(x) = 1   極限 = 1   應為 1   一致? True
n = 1: T_1(x) = x + 1   極限 = 1/2   應為 1/2   一致? True
n = 2: T_2(x) = x**2/2 + x + 1   極限 = 1/6   應為 1/6   一致? True
n = 3: T_3(x) = x**3/6 + x**2/2 + x + 1   極限 = 1/24   應為 1/24   一致? True

這段程式碼是本節的哲學高潮：Taylor 公式在沒有任何無窮小、沒有任何中值定理的情況下，被完全確認了。剩下的只是一個關於極限的、可證明的斷言。

呼應第 2 章：第 2 章講述了柯西（1821）與魏爾斯特拉斯（1872）如何把極限寫成 \(\varepsilon\) - \(\delta\) 不等式。Peano 餘項正是那次清算的最後一塊拼圖：它證明 Taylor 定理不需要「無窮小」這個幽靈，只需要一個可以反覆套用的極限。

5.2.6 柯西的嚴格化與剩餘項的標準化（1821）#

柯西的《分析教程》#

1821 年，柯西出版 Cours d'analyse，這是第一部完全建立在極限語言上的微積分教科書。在這本書裡：

• Taylor 定理被寫成不含任何無窮小的命題；
• 柯西給出了剩餘項的 Cauchy 形式；
• 柯西也討論了 Taylor 級數的收斂半徑，並給出了著名的 Cauchy–Hadamard 公式 \(R = 1/\limsup |a_n|^{1/n}\) （第 6 章）。

柯西的剩餘項形式是：

注意它與 Lagrange 形式的差異：

讓我們用 SymPy 實際比較 Cauchy 形式與 Lagrange 形式——它們給出的是**不同的 \(\xi\) **，但都精確地等於同一個餘項：

import sympy as sp

x, xi = sp.symbols('x xi', real=True)

# 兩種餘項形式
#   Lagrange: R_n = f^(n+1)(xi)/(n+1)! * (x-a)^(n+1)
#   Cauchy:   R_n = f^(n+1)(xi)/n!     * (x-a)^n * (x-xi)

f = x**3
a, b = sp.Integer(0), sp.Integer(1)
n = 1

T = sum(sp.diff(f, x, k).subs(x, a) * (x - a)**k / sp.factorial(k) for k in range(n + 1))
R = sp.simplify(f.subs(x, b) - T.subs(x, b))
print("T_n =", T, "  R_n =", R)

exprC = sp.diff(f, x, n+1).subs(x, xi) / sp.factorial(n) * (b - a)**n * (b - xi)
solC = sp.solve(sp.Eq(exprC, R), xi)
print("Cauchy 形式的解 =", solC)
for s in solC:
    if a < s < b:
        print("  xi =", s, " 在 (a,b) 內 ✔  代入得", sp.simplify(exprC.subs(xi, s)))

exprL = sp.diff(f, x, n+1).subs(x, xi) / sp.factorial(n+1) * (b - a)**(n+1)
solL = sp.solve(sp.Eq(exprL, R), xi)
print("Lagrange 形式的解 =", solL)
for s in solL:
    if a < s < b:
        print("  xi =", s, " 在 (a,b) 內 ✔  代入得", sp.simplify(exprL.subs(xi, s)))

# 換一個 f = e^x，把 Lagrange 形式的 xi 解出來（解析解）
g = sp.exp(x)
R2 = sp.simplify(g.subs(x, b) - sp.series(g, x, 0, n+1).removeO().subs(x, b))
print("\ne^x 的 R_n =", R2)
sol2 = sp.solve(sp.Eq(sp.diff(g, x, n+1).subs(x, xi) / sp.factorial(n+1) * (b-a)**(n+1), R2), xi)
print("解 xi =", sol2)
for s in sol2:
    print("  xi =", s, " 在 (a,b) 內?", sp.simplify(a < s < b))

預期輸出：

T_n = 0   R_n = 1
Cauchy 形式的解 = [1/2 - sqrt(3)/6, sqrt(3)/6 + 1/2]
  xi = 1/2 - sqrt(3)/6  在 (a,b) 內 ✔  代入得 1
  xi = sqrt(3)/6 + 1/2  在 (a,b) 內 ✔  代入得 1
Lagrange 形式的解 = [1/3]
  xi = 1/3  在 (a,b) 內 ✔  代入得 1

e^x 的 R_n = -2 + E
解 xi = [log(-4 + 2*E)]
  xi = log(-4 + 2*E)  在 (a,b) 內? True

兩個 \(\xi\) 都不一樣，但都給出 \(R_n = 1\) 。這說明了一個重要事實： \(\xi\) 不是唯一的，它是「餘項取到的那個點」；定理的實質是「餘項等於某個高階導數值乘上一個因子」，而不是「這個點是誰」。對 \(e^x\) （取 \(n = 1\) ，即只用一次項 \(1+x\) ），Lagrange 形式的 \(\xi = \log(2e-4) \approx 0.362\) ，落在 \((0,1)\) 內——定理所承諾的 \(\xi\) 確實存在。

5.2.7 現代的 Taylor 定理#

把所有歷史層次剝掉，現代的 Taylor 定理是這樣的：

定理 5.5（Taylor 定理，Lagrange 餘項形式） 設 \(f\) 在 \([a, x]\) 上有 \(n+1\) 階連續導數，則

其中

若再假設 \(f\) 在 \(a\) 處有 \(n+1\) 階導數（不必連續），則有 Peano 形式的餘項：

證明的骨架：反覆套用中值定理#

把 5.1 節的中值定理套用 \(n+1\) 次，就得到 Taylor 公式。核心是對輔助函數

使用 Rolle 定理： \(F(x) = 0\) ，且可驗證 \(F'(x) = 0\) ，所以存在 \(\xi\) 使 \(F'(\xi) = 0\) ，從而解出餘項。

SymPy 可以把「 \(F(x) = 0\) 與 \(F'(x) = 0\) 」這兩個關鍵等式直接算出來。我們用一個具體的 \(f\) 示範整個機制：

import sympy as sp

x, t = sp.symbols('x t', real=True)

# 輔助函數 F(t) = f(x) - sum_{k=0}^{n} f^(k)(t)/k! * (x-t)^k
f = sp.exp(t)
n = 2
F = sp.expand(f.subs(t, x) - sum(sp.diff(f, t, k).subs(t, t) * (x - t)**k / sp.factorial(k)
                                 for k in range(n + 1)))
print("F(t) =", sp.collect(F, t))
print("F(x) =", sp.simplify(F.subs(t, x)))

# 關鍵：F'(x) = 0（這是 Rolle 定理的前提）
dF = sp.diff(F, t)
print("F'(x) =", sp.simplify(dF.subs(t, x)))
print("F'(t) =", sp.simplify(dF))

預期輸出：

F(t) = -t**2*exp(t)/2 + t*(x*exp(t) + exp(t)) - x**2*exp(t)/2 - x*exp(t) - exp(t) + exp(x)
F(x) = 0
F'(x) = 0
F'(t) = (-t**2 + 2*t*x - x**2)*exp(t)/2

F(x) = 0 與 F'(x) = 0 都被 SymPy 自動確認了——這就是 Rolle 定理能應用的完整前提。而

正是「餘項等於 \(\frac{f^{(n+1)}(t)}{(n+1)!}(x-t)^{n+1}\) 」的影子；再對 \(F\) 用一次 Rolle 定理（ \(F(\xi) = 0\) ），就得到 \(\xi\) 與 Lagrange 餘項。剩下的 \(\xi\) 的存在性由定理保證。

Taylor 多項式的逼近能力#

Taylor 多項式的誤差隨 \(n\) 下降得非常快：對 \(\sin x\) 的 Maclaurin 多項式，在 \([-2, 2]\) 上的最大誤差從 \(n=1\) 的 \(1.09\) 降到 \(n=7\) 的 \(1.36\times10^{-3}\) ——每增加兩階就改善一個數量級。但「改善得多快」取決於 \(|x|\) 與半徑的關係，這正是第 5.3 節要系統化處理的問題：「** \(n\) 要多大才夠準？收斂半徑又是什麼？**」

習題#

習題 5.2.1（增量表與 Taylor 公式） (a) 對 \(f(x) = x^4 - 3x^2 + 1\) ，構造 \(x = 0, 1, 2, 3, 4\) 上的增量表，觀察幾階差分變成常數。 (b) 對同一個 \(f\) ，用 SymPy 驗證： \(f(x+h) - f(x)\) 作為 \(h\) 的多項式，其 \(h^k\) 係數恰為 \(\frac{f^{(k)}(x)}{k!}\) （ \(k = 1, 2, 3, 4\) ）。

習題 5.2.2（萊布尼茲的形式演算） 用 SymPy 完成下列「萊布尼茲式」推導，並說明每一步其實對應什麼嚴格命題： (a) 對 \(f(x) = x^2 e^x\) ，寫出 \(dy = f'(x)dx\) ，並驗證 \(f(x+dx)\) 的一階部分確實等於 \(f(x) + f'(x)dx\) ； (b) 對 \(f(x) = \sin(g(x))\) ，用萊布尼茲的「 \(dg = g'(x)dx\) 」推出 \(\frac{df}{dg} = \frac{f'(g(x))g'(x)}{g'(x)}\) ，並解釋這裡「約去 \(dx\) 」對應的嚴格步驟（提示：极限比值）。

習題 5.2.3（Peano 餘項的驗證） 對 \(f(x) = \cos x\) 、 \(f(x) = \ln(1+x)\) 、 \(f(x) = \arctan x\) ，分別計算 \(\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{f(x)-T_n(x)}{x^{n+1}}\) （ \(n = 0, 1, 2\) ），並與 \(\frac{f^{(n+1)}(0)}{(n+1)!}\) 對照。再對 \(f(x) = e^{-1/x^2}\) （ \(x\ne 0\) ）， \(f(0)=0\) ，計算 \(\lim_{x\to0}\frac{f(x)}{x^n}\) 對所有 \(n\) 的值，並解釋為什麼這是「光滑但非解析」函數的標準例子。

習題 5.2.4（兩種餘項形式的比較） 取 \(f(x) = e^x\) 、 \(a = 0\) 、 \(x = 1\) 、 \(n = 2\) ： (a) 用 SymPy 解出 Cauchy 形式的 \(\xi\) 與 Lagrange 形式的 \(\xi\) ； (b) 解釋為什麼 Cauchy 形式的方程可能有多個實根，而 Lagrange 形式恰好一個； (c) 驗證兩個餘項值都等於 \(e - \tfrac52\) 。

習題 5.2.5（無窮小的「影子」翻譯） 把下列每一條萊布尼茲式的直覺翻譯成 \(\varepsilon\) - \(\delta\) 或極限語言的嚴格命題，並用 SymPy 的 limit 驗證： (a) 「 \(dx\) 與 \(dx^2\) 之比趨於 \(0\) 」； (b) 「 \(\frac{d}{dx}\ln x = \frac{1}{x}\) 」（提示： \(\ln(x+h) - \ln x = \ln(1+h/x)\) ）； (c) 「 \(dx^3\) 對 \(dx^2\) 的比值趨於 \(0\) 」。

習題 5.2.6（Maclaurin 級數的應用） (a) 用 Maclaurin 級數求 \(\arctan(1/2)\) 的近似值（取 \(n = 4\) 項），並與 sp.N(sp.atan(Rational(1,2))) 比較誤差。 (b) 用 \(\sin x\) 的 Maclaurin 級數證明 \(\lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x} = 1\) 。 (c) 用 \(e^x\) 的 Maclaurin 級數證明 \(e^{x+y} = e^xe^y\) （比較兩邊的係數）。

小結#

• Taylor 定理的兩個靈魂：增量公式（1715 的直覺核心）與 Lagrange 餘項（1787 的精確核心）。中間夾著萊布尼茲與歐拉的無窮小演算，最後由柯西與 Peano 洗掉所有幽靈。
• 無窮小的「影子」：無窮小本身沒有對應物，但它產生的極限比值有。 \(\lim h^2/h = 0\) 這個極限，就是「 \(dx^2\) 可忽略」的全部真實內容。
• 兩種餘項的分工：Peano 餘項（純極限、不需中值定理）適合局部分析；Lagrange 餘項（含 \(\xi\) ）適合誤差估計與數值控制——後者正是第 5.3 節的主題。
• 下一節預告：我們將用 sp.series 與 sp.nseries 把 Taylor 展開變成可執行的物件，用 Order 物件讀出「 \(O(x^n)\) 」的精確含義，並系統回答：要達到小於 \(10^{-6}\) 的精度， \(n\) 至少要取多少？收斂半徑又是什麼？