7.1 偏導數、全微分與方向導數（19 世紀）#

學習動機#

第 3 章到第 6 章，我們一直在一個變數的世界裡打轉：極限、導數、積分、級數。然而 19 世紀的物理學——尤其是拉格朗日與哈密頓的力學——立刻提出了這樣的問題：

一顆炮彈的初速 \(v_0\) 與仰角 \(\alpha\) 同時改變時，射程 \(R\) 該怎麼「變」？

這是一個兩個變數同時變動的問題。萊布尼茲在 1675 年就為此發明微分記號，但「微分 \(\mathrm{d}f\) 裡的 \(\mathrm{d}\) 到底作用在哪個變數上」這個問題，卻整整懸了一百多年。

19 世紀的答案是：把「一次只動一個變數」的想法正式化。這就是偏導數：

但這裡立刻藏著一個陷阱，也是本章最重要的故事：偏導數存在，甚至連偏導數連續，都不保證函數本身可微。 我們將在 7.1.3 節用一個具體的反例 \(f(x,y) = \dfrac{xy}{x^2+y^2}\) 把它徹底拆穿。

歷史動機之外，本節還有一個計算動機：多變量微積分的真正威力，在於它把「一個函數在兩個方向上的行為」壓縮成一個向量——梯度 \(\nabla f\) 。而方向導數 \(D_{\mathbf{u}} f = \nabla f \cdot \mathbf{u}\) 這個公式，正是第 8 章（向量分析與場論）格林定理、斯托克斯定理、高斯定理的真正源頭。

本章的 SymPy 目標是：用 sp.diff(f, x) 對多變量符號求偏導數；用差商定義 + sp.limit 檢驗偏導數的存在性而非只信任符號微分；用餘項比值 \(\dfrac{R(h,k)}{\sqrt{h^2+k^2}}\) 檢驗可微性；用方向導數的參數化 \(D_{\mathbf{u}} f(\alpha) = \nabla f \cdot (\cos\alpha, \sin\alpha)\) 做符號計算，並找出最大增長方向。

7.1.1 先驅者：Euler、d'Alembert、Lagrange 的多變量夢想#

Euler（1707–1783）與「部分微分」的誕生#

Euler 在 1750 年代處理變分法（calculus of variations）時發現了關鍵的一步：當他讓一條曲線 \(y = y(x)\) 變動時，若允許「只把某一點往上推一點，其他點不動」，變分的表達式就會出現只作用於 \(x\) 的微分，而 \(y\) 保持不變。

Euler 已經把「變分」 \(\delta f\) 與「微分」 \(\mathrm{d}f\) 區分開來，而「部分」這個概念正是從「部分地變動一條曲線」裡長出來的。更早一步的是 Euler–Lagrange 方程：

其中 \(\partial F / \partial x\) 與 \(\partial F / \partial y\) 同時出現，但「地位」不同——一個是偏導數，一個是全導數。多變量微積分的第一個真正的應用，就是這個方程。

d'Alembert（1717–1783）與「 vibrating string」的 PDE#

1747 年，Jean le Rond d’Alembert 解決了弦振動問題：弦長 \(L\) 、密度 \(\rho\) 、張力 \(T\) ，求振動方程

這是偏微分方程史上第一個真正的 PDE。它逼著數學家同時思考兩個獨立的變數 \(x\) （空間）與 \(t\) （時間），並區分「對 \(x\) 微分兩次」與「對 \(t\) 微分兩次」。

d’Alembert 的解法很有意思：他引入 \(x + ct\) 與 \(x - ct\) 兩個新變數，把 PDE 化為常微分方程。這個技巧在 7.1.5 節會以「方向導數」的形式再次出現——沿某個方向做微分，正是把多變量問題降維成單變量問題的原始想法。

Lagrange（1736–1813）與「把極值點的問題變成代數問題」#

Lagrange 的最大貢獻是 1771 年的拉格朗日乘數法：

這個式子裡已經完整地出現了梯度與偏導數：它說明在約束曲面 \(g = 0\) 上的極值點， \(f\) 的變化方向必須「投影」到約束曲面的切空間裡。但 Lagrange 時期還沒有「梯度」這個詞，也沒有把 \(\nabla f\) 看成一個整體的向量——他的寫法更接近微分形式 \(p\,\mathrm{d}x + q\,\mathrm{d}y\) ，其中 \(p, q\) 是偏導數。

記號的演化： \(\partial\) 的四百年流轉#

這段歷史在 7.2 節會再次出現：Jacobi 1841 年那篇處理「函數行列式」的論文，同時也正是 \(\partial\) 記號復活的時刻。

（順帶一提，Euler 在 1750 年代的著作裡已把「變分」 \(\delta f\) 與「微分」 \(\mathrm{d}f\) 區分開來，而「部分」這個概念正是從「部分地變動一條曲線」裡長出來的。）

timeline
    title 多變量微積分的四百年醞釀
    1675 : 萊布尼茲發明微分記號 d
    1747 : d'Alembert 解決弦振動，得到第一個 PDE
    1750s : Euler 在變分法中區分「部分變動」與「全變動」
    1771 : Lagrange 乘數法，梯度雛形出現
    1786 : Legendre 創造現代偏導數記號 ∂
    1841 : Jacobi 復興 ∂ 記號，並研究函數行列式
    1870s : Weierstrass 開始把「連續偏導數」提升為可微性的充分條件

7.1.2 偏導數的定義：把「動一個變數」寫成極限#

設 \(f : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}\) 。所謂 \(f\) 在點 \((a, b)\) 處對 \(x\) 的偏導數，就是把 \(y\) 固定在 \(b\) ，只讓 \(x\) 變動：

對 \(y\) 的偏導數對稱地定義：

為什麼「先極限、後符號微分」很重要？#

因為符號微分（sp.diff）永遠假設偏導數存在。如果反例函數的偏導數在某處不存在，sp.diff 要嘛給你一個錯誤的表達式，要嘛給你一堆看起來正常但其實不對的式子。

正確的做法是：先用符號微分猜答案，再用差商 + sp.limit 驗證。這正是本節所有程式碼的核心工作流程。

用 SymPy 進行多變量偏導數#

sp.diff(f, x) 的語義是「對 \(x\) 求導，其餘變數視為常數」。這與數學上的偏導數定義完全一致——SymPy 內部就是把其他符號當成 Symbol（而非函數）來對待。

import sympy as sp

x, y = sp.symbols('x y', real=True)

# 多變量偏導數：diff(f, x) 對 x 求導，其餘變數視為常數
f = x**3 - 3*x*y**2 + y**3

print('f     =', f)
print('f_x   =', sp.diff(f, x))
print('f_y   =', sp.diff(f, y))
print('f_xx  =', sp.diff(f, x, 2))
print('f_xy  =', sp.diff(f, y, x))
print('f_yx  =', sp.diff(f, x, y))
print('f_yy  =', sp.diff(f, y, 2))
print('Laplace =', sp.simplify(sp.diff(f, x, 2) + sp.diff(f, y, 2)))

# Euler 齊次函數定理：f(tx, ty) = t^n f(x,y)  =>  x f_x + y f_y = n f
h = x**2*y + 3*x*y**2
n = 3
check = sp.simplify(x*sp.diff(h, x) + y*sp.diff(h, y) - n*h)
print('Euler 恆等式殘差 =', check)

# 用 t 做代換直接驗證齊次性
t = sp.symbols('t', positive=True, real=True)
print('h(tx,ty) =', sp.expand(h.subs({x: t*x, y: t*y})))
print('t^3 h(x,y) =', sp.expand(t**3*h))
print('差 =', sp.simplify(sp.expand(h.subs({x: t*x, y: t*y}) - t**3*h)))

預期輸出：

f     = x**3 - 3*x*y**2 + y**3
f_x   = 3*x**2 - 3*y**2
f_y   = -6*x*y + 3*y**2
f_xx  = 6*x
f_xy  = -6*y
f_yx  = -6*y
f_yy  = 6*(-x + y)
Laplace = 6*y
Euler 恆等式殘差 = 0
h(tx,ty) = t**3*x**2*y + 3*t**3*x*y**2
t^3 h(x,y) = t**3*x**2*y + 3*t**3*x*y**2
差 = 0

注意 f_xy 與 f_yx 在這裡相同——因為 \(f\) 是多項式，偏導數連續。但這不是普遍成立的，我們稍後會給出反例。

順帶一提，Euler 齊次函數定理 \(f \text{ 為 } n \text{ 次齊次} \iff x \frac{\partial f}{\partial x} + y \frac{\partial f}{\partial y} = n f\) 是多變量微積分第一個真正有用的「一階算子恆等式」，證明只需一行的連鎖律：令 \(g(t) = f(tx, ty)\) ，則 \(g(t) = t^n f(x,y)\) 而 \(g'(t) = x f_x + y f_y\) 。

7.1.3 陷阱：偏導數存在 \(\nRightarrow\) 連續 \(\nRightarrow\) 可微#

這是本章的核心議題。讓我們把三個性質排成一條線：

但後面兩個箭頭都不能反過來。我們用兩個反例說明。

反例一：偏導數存在，但函數不連續#

沿 \(x\) 軸（ \(y=0\) ）與 \(y\) 軸（ \(x=0\) ），函數恆為 \(0\) ，所以兩個偏導數在原點都存在且等於 \(0\) 。但沿著斜線 \(y = kx\) 逼近原點：

這是一個與 \(x\) 無關的常數！取 \(k = 1\) 得 \(\tfrac12\) ，取 \(k = 2\) 得 \(\tfrac25\) ，取 \(k = -1\) 得 \(-\tfrac12\) 。極限不存在，所以 \(f\) 在原點不連續，當然也不可微。

這是一個極其漂亮的反例：偏導數存在（因為它們只「看見」座標軸），但函數的行為在斜線方向完全失控。

import sympy as sp
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

x, y, h = sp.symbols('x y h', real=True)

# 反例一：f(x,y) = xy/(x^2+y^2)，f(0,0)=0
# 偏導數在原點存在，但函數在原點不連續，因此不可微
g = x*y/(x**2 + y**2)
print('g_x =', sp.diff(g, x))
print('g_y =', sp.diff(g, y))

# 用差商定義算原點的偏導數（不信任 sp.diff 的結果）
print('f_x(0,0) =', sp.limit((g.subs({x: h, y: 0}) - 0)/h, h, 0))
print('f_y(0,0) =', sp.limit((g.subs({x: 0, y: h}) - 0)/h, h, 0))

# 但沿不同直線逼近原點，函數值趨近不同數
print('沿 y=x   的極限 =', sp.limit(g.subs({y: x}), x, 0))
print('沿 y=2x  的極限 =', sp.limit(g.subs({y: 2*x}), x, 0))
print('沿 y=-x  的極限 =', sp.limit(g.subs({y: -x}), x, 0))

# 反例二：p(x,y) = x^3/(x^2+y^2)，p(0,0)=0
# 連續，但不可微：偏導數存在，卻無法用線性式逼近
p = x**3/(x**2 + y**2)
print('p_x(0,0) =', sp.limit((p.subs({x: h, y: 0}) - 0)/h, h, 0))
print('p_y(0,0) =', sp.limit((p.subs({x: 0, y: h}) - 0)/h, h, 0))
print('p(h,0)/|h| =', sp.simplify(sp.limit(p.subs({x: h, y: 0})/sp.Abs(h), h, 0, dir='+')))
print('p(0,h)/|h| =', sp.simplify(sp.limit(p.subs({x: 0, y: h})/sp.Abs(h), h, 0, dir='+')))

# 反例 f(x,y) = xy/(x^2+y^2)：等高線在原點「打結」
x = np.linspace(-2, 2, 601)
y = np.linspace(-2, 2, 601)
X, Y = np.meshgrid(x, y)
den = X**2 + Y**2
with np.errstate(invalid='ignore', divide='ignore'):
    Z = np.where(den > 1e-12, X*Y/den, np.nan)

fig, ax = plt.subplots(figsize=(5.2, 5.0))
cs = ax.contourf(X, Y, Z, levels=40, cmap='RdBu_r')
ax.contour(X, Y, Z, levels=40, colors='k', linewidths=0.4)
ax.axhline(0, color='k', lw=0.8)
ax.axvline(0, color='k', lw=0.8)
ax.set_title('level curves of f(x,y) = xy/(x^2+y^2)')
ax.set_xlabel('x')
ax.set_ylabel('y')
fig.colorbar(cs, ax=ax)
fig.tight_layout()
plt.show()

# 沿不同直線逼近原點：極限各不相同
t = np.linspace(-2, 2, 2001)
fig, ax = plt.subplots(figsize=(5.6, 4.0))
for k, style in ((1.0, '-'), (2.0, '--'), (3.0, ':')):
    yy = k*t
    denom = t**2 + yy**2
    with np.errstate(invalid='ignore', divide='ignore'):
        val = np.where(denom > 1e-12, t*yy/denom, np.nan)
    ax.plot(t, val, style, label='y = %g x  (limit %s)' % (k, {1.0: '1/2', 2.0: '2/5', 3.0: '3/10'}[k]))

ax.axhline(0, color='k', lw=0.8)
ax.set_xlabel('x')
ax.set_ylabel('f(x, kx)')
ax.set_title('approaching the origin along different lines')
ax.legend()
fig.tight_layout()
plt.show()

print('f(x, x) -> 1/2, f(x, 2x) -> 2/5, f(x, 3x) -> 3/10 : the limit at (0,0) does not exist')
print('but f_x(0,0) = 0 and f_y(0,0) = 0 do exist')

預期輸出：

g_x = -2*x**2*y/(x**2 + y**2)**2 + y/(x**2 + y**2)
g_y = -2*x*y**2/(x**2 + y**2)**2 + x/(x**2 + y**2)
f_x(0,0) = 0
f_y(0,0) = 0
沿 y=x   的極限 = 1/2
沿 y=2x  的極限 = 2/5
沿 y=-x  的極限 = -1/2
p_x(0,0) = 1
p_y(0,0) = 0
p(h,0)/|h| = 1
p(0,h)/|h| = 0
f(x, x) -> 1/2, f(x, 2x) -> 2/5, f(x, 3x) -> 3/10 : the limit at (0,0) does not exist
but f_x(0,0) = 0 and f_y(0,0) = 0 do exist

反例二的意義： \(p(x,y) = \dfrac{x^3}{x^2+y^2}\) 在原點連續（因為 \(|p(x,y)| = \dfrac{|x|^3}{x^2+y^2} \le |x| \to 0\) ），偏導數也存在，但 \(p\) 在原點不可微。為什麼？

可微要求：存在同一個線性函數 \(L(h,k) = ah + bk\) 使得 \(\dfrac{p(h,k) - p(0,0) - L(h,k)}{\sqrt{h^2+k^2}} \to 0\) 。而偏導數只告訴我們： \(L(h,0) = ah = p(h,0)\) ， \(L(0,k) = bk = p(0,k)\) ，也就是沿座標軸的逼近是對的。斜方向的行為，偏導數完全沒有能力預測。這正是為什麼下一節要引入全微分——它要求逼近在所有方向同時成立。

把反例畫出來：等高線圖能直觀顯示 \(f(x,y) = \dfrac{xy}{x^2+y^2}\) 在原點附近如何「打結」：極座標下 \(f = \tfrac12 \sin 2\theta\) ，也就是說 ** \(f\) 只依賴角度，不依賴半徑**！所以每一條通過原點的直線上， \(f\) 是一個常數——這解釋了為什麼沿不同直線會得到不同的極限。

f(x, x) -> 1/2, f(x, 2x) -> 2/5, f(x, 3x) -> 3/10 : the limit at (0,0) does not exist but f_x(0,0) = 0 and f_y(0,0) = 0 do exist ```

（圖形由 matplotlib 顯示於螢幕；若在無 GUI 環境執行，請改用 plt.savefig('out.png') 。）

充分條件：連續偏導數 \(\Rightarrow\) 可微#

Weierstrass 時代（1870 年代）最重要的貢獻之一，是把「可微」的充分條件明確化：

定理（ \(C^1\) 充分條件） 若 \(f_x\) 與 \(f_y\) 在點 \((a,b)\) 的某個鄰域內存在且連續，則 \(f\) 在 \((a,b)\) 可微，且 \(f_x(a,b), f_y(a,b)\) 就是全微分的係數。

證明思路（把中值定理用兩次）：寫 \(f(a+h, b+k) - f(a,b)\) 為 \(\underbrace{[f(a+h, b+k) - f(a, b+k)]}_{\text{對 } x \text{ 用 MVT}} + \underbrace{[f(a, b+k) - f(a, b)]}_{\text{對 } y \text{ 用 MVT}}\) ，兩項分別 \(= f_x(a + \theta h, b+k)\, h\) 與 \(= f_y(a, b + \eta k)\, k\) ，其中 \(\theta, \eta \in (0,1)\) 。

因為 \(f_x, f_y\) 連續，當 \((h,k) \to (0,0)\) 時 \(f_x(a+\theta h, b+k) \to f_x(a,b)\) 、 \(f_y(a, b+\eta k) \to f_y(a,b)\) ，所以餘項 \(R(h,k) = o(\sqrt{h^2+k^2})\) —— 這正是可微性的定義。

關鍵洞見：偏導數沿著特定路徑（座標軸）逼近時是準的；連續性讓我們能把它推廣到所有路徑。

7.1.4 全微分與可微性：一個可以完全用符號驗證的定義#

定義#

設 \(f : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}\) ， \(f\) 在 \((a,b)\) 可微，若存在 \(A, B \in \mathbb{R}\) 使得

此時必有 \(A = f_x(a,b)\) 、 \(B = f_y(a,b)\) （因為令 \(k = 0\) 再令 \(h = 0\) 即可看出）。

全微分就是那個線性部分：

它是「函數在該點的一階線性近似」。這正是 19 世紀 Lagrange 所想的「微分形式」 \(p\,\mathrm{d}x + q\,\mathrm{d}y\) ，而 \(p = f_x\) 、 \(q = f_y\) 。

用 SymPy 逐字驗證可微性#

這個檢查流程值得記成模板：① 算出 \(f\) 、 \(f_x\) 、 \(f_y\) ；② 在 \((a,b)\) 代入得 \(A = f_x(a,b)\) 、 \(B = f_y(a,b)\) ；③ 構造餘項 \(R(h,k) = f(a+h,b+k) - [f(a,b) + Ah + Bk]\) ；④ 檢查 \(R / \sqrt{h^2+k^2} \to 0\) （沿多條路徑驗證，因為單一路徑不足為憑）。

import sympy as sp

x, y, h, k = sp.symbols('x y h k', real=True)
a, b = sp.Integer(1), sp.Integer(2)

f = x**2*y + sp.sin(x*y)

fx = sp.diff(f, x)
fy = sp.diff(f, y)
print('f_x =', fx)
print('f_y =', fy)

f0 = f.subs({x: a, y: b})
fx0 = fx.subs({x: a, y: b})
fy0 = fy.subs({x: a, y: b})
print('f(1,2)   =', f0)
print('f_x(1,2) =', fx0)
print('f_y(1,2) =', fy0)

# 全微分 df = f_x dx + f_y dy
df = fx0*h + fy0*k
print('df =', df)

# 餘項 R(h,k) = f(a+h,b+k) - f(a,b) - df
R = sp.simplify(sp.expand(f.subs({x: a+h, y: b+k}) - (f0 + df)))
print('R =', R)

# 可微判準：R / ||(h,k)|| -> 0（沿任意路徑）
ratio = sp.simplify(R/sp.sqrt(h**2 + k**2))
print('R/||.|| (k = h) 極限 =', sp.limit(sp.simplify(ratio.subs({k: h})), h, 0, dir='+'))
print('R/||.|| (k = 2h) 極限 =', sp.limit(sp.simplify(ratio.subs({k: 2*h})), h, 0, dir='+'))

# 餘項的一次項為零：R 在原點的梯度為 0
print('R 對 h 的偏導在原點 =', sp.diff(R, h).subs({h: 0, k: 0}))
print('R 對 k 的偏導在原點 =', sp.diff(R, k).subs({h: 0, k: 0}))

預期輸出：

f_x = 2*x*y + y*cos(x*y)
f_y = x**2 + x*cos(x*y)
f(1,2)   = sin(2) + 2
f_x(1,2) = 2*cos(2) + 4
f_y(1,2) = cos(2) + 1
df = h*(2*cos(2) + 4) + k*(cos(2) + 1)
R = h**2*k + 2*h**2 + 2*h*k - 2*h*cos(2) - k*cos(2) + sin(h*k + 2*h + k + 2) - sin(2)
R/||.|| (k = h) 極限 = 0
R/||.|| (k = 2h) 極限 = 0
R 對 h 的偏導在原點 = 0
R 對 k 的偏導在原點 = 0

注意最後兩行：餘項 \(R\) 在原點的梯度為零，這正好印證了「可微 \(\Rightarrow\) 偏導數存在且等於全微分的係數」。

全微分的可加性#

若 \(f\) 在 \((a,b)\) 可微，則

這與單變數情形完全一致——因為全微分就是「一階的線性部分」，而線性部分的運算規則只依賴 Leibniz 法則。

7.1.5 方向導數與梯度：把兩個偏導數壓成一個向量#

方向導數與梯度#

定義：設 \(\mathbf{u}\) 是一個單位向量， \(f\) 在 \(\mathbf{p}\) 處沿 \(\mathbf{u}\) 的方向導數為

定理：若 \(f\) 在 \(\mathbf{p}\) 可微，則 \(D_{\mathbf{u}} f(\mathbf{p}) = \nabla f(\mathbf{p}) \cdot \mathbf{u}\) ，其中 \(\nabla f(x,y) = \left( \frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y} \right)\) 是梯度。

證明（一步）：由可微性， \(f(\mathbf{p} + t\mathbf{u}) = f(\mathbf{p}) + \nabla f(\mathbf{p}) \cdot (t\mathbf{u}) + o(t)\) ；兩邊減 \(f(\mathbf{p})\) 再除以 \(t\) 並令 \(t \to 0\) ，得 \(D_{\mathbf{u}} f = \nabla f \cdot \mathbf{u}\) 。這個證明的漂亮之處在於：方向導數是「一階近似」的直接推論，不需要任何額外假設。

定理（梯度的意義）：設 \(\nabla f(\mathbf{p}) \neq \mathbf{0}\) 。則

1. 最大增長方向是 \(\mathbf{u} = \dfrac{\nabla f}{|\nabla f|}\) ，此時 \(D_{\mathbf{u}} f = |\nabla f|\) （由 Cauchy–Schwarz 不等式）；
2. 最大下降方向是 \(-\dfrac{\nabla f}{|\nabla f|}\) ，此時 \(D_{\mathbf{u}} f = -|\nabla f|\) ；
3. 切線方向（等高線的切向量） \((-f_y, f_x)\) 的方向導數為 \(0\) —— 因為 \(\nabla f \cdot (-f_y, f_x) = -f_x f_y + f_y f_x = 0\) 。

第 3 條是幾何上的樞紐：梯度永遠垂直於等高線。

方向導數的符號計算#

我們把方向 \(\mathbf{u} = (\cos\alpha, \sin\alpha)\) 參數化，於是方向導數變成 \(\alpha\) 的一個函數：

這是一個「正弦型」函數，可以用 sp.solve 找出它為零的角度（切線方向）、或用 sp.diff 求極值。下面這個「方向導數計算器」能回答：沿任意方向的速率是多少？哪些方向增加、哪些減少、哪些持平？最大上升速率是多少？

import sympy as sp

x, y = sp.symbols('x y', real=True)
t = sp.symbols('t', real=True)
alpha = sp.symbols('alpha', real=True)

f = x**2 + 3*x*y - y**2
P = {x: 1, y: 2}

print('f(1,2) =', f.subs(P))
gx = sp.diff(f, x).subs(P)
gy = sp.diff(f, y).subs(P)
print('f_x(1,2) =', gx, ' f_y(1,2) =', gy)
print('梯度長度 =', sp.sqrt(gx**2 + gy**2))

# 方向導數的一般公式（單位方向）
ux, uy = sp.cos(alpha), sp.sin(alpha)
D = sp.diff(f.subs({x: x + t*ux, y: y + t*uy}), t).subs(t, 0)
Dalpha = sp.simplify(sp.expand_trig(D.subs(P)))
print('D_u f(1,2) =', Dalpha)

# 符號分析：方向導數為 0 的角度（等高線切線方向）
print('為 0 的角度 =', sp.solve(sp.Eq(Dalpha, 0), alpha))
print('為正的區間（試探 alpha=0.2）= ', sp.N(Dalpha.subs(alpha, 0.2)))
print('為負的區間（試探 alpha=3.0）= ', sp.N(Dalpha.subs(alpha, 3.0)))

# 最大 / 最小方向導數
print('最大值 =', sp.simplify(sp.sqrt(gx**2 + gy**2)))
print('最小值 =', sp.simplify(-sp.sqrt(gx**2 + gy**2)))

# 最大方向所對應的角度：與梯度同向
print('梯度角度 =', sp.atan2(gy, gx))
print('對角 alpha = atan2(-1, 8) =', sp.N(sp.atan2(gy, gx)))

# 梯度垂直於等高線：等高線切線方向 (-f_y, f_x) 的方向導數為 0
print('等高線切線方向 =', (-gy, gx))
print('沿切線方向的方向導數 =', sp.simplify(gx*(-gy) + gy*gx))

# 非單位方向：方向導數會被長度放大
L = sp.Symbol('L', positive=True, real=True)
u = L*sp.cos(alpha)
v = L*sp.sin(alpha)
Dnon = sp.diff(f.subs({x: x + t*u, y: y + t*v}), t).subs(t, 0)
print('非單位方向的方向導數 =', sp.simplify(sp.expand_trig(Dnon.subs(P))))
print('（= L * D_unit，方向導數隨方向向量長度線性放大）')

預期輸出：

f(1,2) = 3
f_x(1,2) = 8  f_y(1,2) = -1
梯度長度 = sqrt(65)
D_u f(1,2) = -sin(alpha) + 8*cos(alpha)
為 0 的角度 = [atan(8)]
為正的區間（試探 alpha=0.2）=  7.64186329193487
為負的區間（試探 alpha=3.0）=  -8.06105998086343
最大值 = sqrt(65)
最小值 = -sqrt(65)
梯度角度 = -atan(1/8)
對角 alpha = atan2(-1, 8) = -0.124354994546761
等高線切線方向 = (1, 8)
沿切線方向的方向導數 = 0
非單位方向的方向導數 = L*(-sin(alpha) + 8*cos(alpha))
（= L * D_unit，方向導數隨方向向量長度線性放大）

符號解讀：在 \((1,2)\) 處， \(\nabla f = (8, -1)\) 。方向 \((\cos\alpha, \sin\alpha)\) 的方向導數是 \(8\cos\alpha - \sin\alpha\) ；令其為零得 \(\alpha = \arctan 8\) ，這是等高線 \(f = 3\) 的切線方向；沿 \((8,-1)/|\nabla f|\) 方向上升最快，速率為 \(\sqrt{65} \approx 8.062\) ；沿 \((-8,1)/|\nabla f|\) 方向下降最快。

注意 \(\sqrt{65} > 8\) —— 因為斜著走比正對著走更快。這正是梯度不是「座標軸方向」的最好證據。

重要慣例：許多教科書定義方向導數時要求 \(\mathbf{u}\) 是單位向量；若不要求，則 \(D_{\mathbf{u}} f\) 會隨 \(|\mathbf{u}|\) 線性放大。兩種定義都對，但必須說清楚用的是哪一種——否則「最大方向導數 = \(|\nabla f|\) 」這個說法就只在單位方向約定下成立。

一個重要的歷史對照：d'Alembert 的降維法#

回頭看 1747 年 d'Alembert 的弦振動解法：他引入 \(u = x + ct\) 、 \(v = x - ct\) 兩個新座標，把 PDE 變成 \(\partial^2 w / \partial u \partial v = 0\) ，再積分兩次解出 \(\varphi(u) + \psi(v)\) 。

用今天的語言說，他做的是座標變換，而座標變換對偏導數的作用由連鎖律給出：

這正是下一節與 7.2 節的主題。

7.1.6 用 SymPy 做符號計算：三個必備技巧#

技巧一：用「差商 + 極限」檢驗偏導數的存在性#

sp.diff 假設偏導數存在。要檢驗它，用定義重算。順便也演示 sp.hessian 與 jacobian——後者是全書的瑞士刀：偏導數矩陣、座標變換的雅可比行列式、隱函數定理的判別式，全部出自同一個方法。（SymPy 沒有 sp.gradient 這個頂層函式（1.14 版），但 sp.Matrix([f]).jacobian([x, y]).T 就是梯度；sp.hessian 則已內建。）

import sympy as sp

x, y, h = sp.symbols('x y h', real=True)

# 一般公式：f_x(a,b) = limit (f(a+h,b) - f(a,b))/h
def partial_x(f, a, b, var=h):
    return sp.limit((f.subs({x: a + var, y: b}) - f.subs({x: a, y: b}))/var, var, 0)

def partial_y(f, a, b, var=h):
    return sp.limit((f.subs({x: a, y: b + var}) - f.subs({x: a, y: b}))/var, var, 0)

f = x**3*y + sp.sin(x*y)
print('f_x(0,0) =', partial_x(f, 0, 0))
print('f_y(0,0) =', partial_y(f, 0, 0))
print('符號微分 f_x(0,0) =', sp.diff(f, x).subs({x: 0, y: 0}))

# 梯度：把 f 放進 1 x 1 矩陣，取 Jacobian 再轉置
f = x**2*y - x*sp.sin(y) + sp.exp(x*y)
grad = sp.Matrix([f]).jacobian([x, y]).T
print('gradient =')
print(grad)

# Hessian：二階偏導數矩陣（恆為對稱，Clairaut 定理的矩陣版本）
H = sp.hessian(f, (x, y))
print('hessian =')
print(H)
print('H - H^T =')
print(H - H.T)

# Hessian 的特徵值：決定函數在該點的凹凸與極值型態
q = x**2 + 2*x*y + 3*y**2
Hq = sp.hessian(q, (x, y))
print('二次函數的 Hessian =')
print(Hq)
print('特徵值 =', Hq.eigenvals())
print('det =', Hq.det())

預期輸出：

f_x(0,0) = 0
f_y(0,0) = 0
符號微分 f_x(0,0) = 0
gradient =
Matrix([[2*x*y + y*exp(x*y) - sin(y)], [x**2 + x*exp(x*y) - x*cos(y)]])
hessian =
Matrix([[y**2*exp(x*y) + 2*y, x*y*exp(x*y) + 2*x + exp(x*y) - cos(y)], [x*y*exp(x*y) + 2*x + exp(x*y) - cos(y), x**2*exp(x*y) + x*sin(y)]])
H - H^T =
Matrix([[0, 0], [0, 0]])
二次函數的 Hessian =
Matrix([[2, 2], [2, 6]])
特徵值 = {4 - 2*sqrt(2): 1, 2*sqrt(2) + 4: 1}
det = 8

讀法：對 \(q = x^2 + 2xy + 3y^2\) ，Hessian 的特徵值 \(4 \pm 2\sqrt2\) 都為正，所以 \(q\) 在所有點都是嚴格凸函數； \(\det H = 8 > 0\) 也印證了這點（對 \(2 \times 2\) 對稱矩陣，正定 \(\iff\) 首領元為正且行列式為正）。

習題#

習題 7.1.1（偏導數的符號計算） 用 sp.diff 計算 \(f(x,y) = x^2 y \sin(xy) + e^{xy}\) 的 \(f_x\) 、 \(f_y\) 、 \(f_{xx}\) 、 \(f_{xy}\) 、 \(f_{yy}\) 。 (a) 驗證 Hessian 矩陣對稱； (b) 用「差商 + sp.limit」在 \((1,1)\) 重新算出 \(f_x\) 、 \(f_y\) ，確認與符號微分一致； (c) 用 Euler 齊次定理的思路，檢查 \(f\) 中每一項的齊次次數，並驗證 \(\frac{\partial f}{\partial x} + \frac{\partial f}{\partial y}\) 在 \(x = y\) 時等於什麼。

習題 7.1.2（找出反例） 構造 \(f : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}\) 使得 (a) \(f_x(0,0)\) 與 \(f_y(0,0)\) 都存在；(b) \(f\) 在原點不連續。 提示： \(f(x,y) = \dfrac{xy}{x^2+y^2}\) 是標準答案，請用 SymPy 驗證 (a) 與 (b) ，並解釋為什麼沿 \(y = kx\) 的極限是 \(\dfrac{k}{1+k^2}\) 。

習題 7.1.3（可微性的符號檢驗） 令 \(f(x,y) = \dfrac{x^2 y}{x^2+y^2}\) （ \(f(0,0) = 0\) ）。 (a) 用 SymPy 求 \(f_x\) 與 \(f_y\) 的一般式，並求出它們在 \((0,0)\) 的值（用差商定義）； (b) 判斷 \(f\) 在原點是否連續； (c) 判斷 \(f\) 在原點是否可微，並用餘項比值 \(R/\sqrt{h^2+k^2}\) 沿至少兩條路徑驗證你的結論； (d) 對照 7.1.3 節的兩個反例，說明 \(f\) 屬於哪一類。

習題 7.1.4（方向導數與梯度） 對 \(f(x,y) = x^2 y + 3xy^2 - y\) ： (a) 求 \(\nabla f\) 與 \(|\nabla f|\) ； (b) 在點 \((2,1)\) 處，求沿方向 \(\mathbf{u} = (3,4)/5\) 的方向導數； (c) 求在 \((2,1)\) 處使方向導數為零的所有方向（等高線切線方向）； (d) 求上升最快的方向與上升速率，並用 sp.simplify 驗證 \(D_{\nabla f/|\nabla f|} f = |\nabla f|\) 。

習題 7.1.5（偏導數的連續性與 Schwarz 定理） (a) 用 SymPy 計算 \(g(x,y) = \dfrac{xy(x^2-y^2)}{x^2+y^2}\) 的 \(g_{xy}(0,0)\) 與 \(g_{yx}(0,0)\) （用差商定義），並說明為什麼它們不相等； (b) 說明 \(g_x\) 與 \(g_y\) 在原點是否連續，並解釋這與 (a) 的關係； (c) 對照多項式 \(p(x,y) = x^3 y - x y^3 + e^{xy}\) ，用 SymPy 驗證 \(p_{xy} = p_{yx}\) 恆成立，並解釋為什麼多項式一定滿足 Clairaut 定理。

小結#

下一節的問題：我們已經會處理「在一個點上、一個方向上」的變化率了。但物理與幾何真正關心的，往往是整個區域上的累積——「這張曲面下的體積是多少？」、「這個固體的質量是多少？」要回答這類問題，我們需要二重積分，以及一把能把複雜區域「拉平」的工具：雅可比變換。7.2 節就從 Cavalieri 的窮竭法講起，一路走到 Jacobi 1841 年的函數行列式。