8.2 格林、斯托克斯與高斯積分定理#

學習動機#

8.1 節我們有三個局部的算子：梯度、散度、旋度。它們回答的是「在這一點附近，場的結構如何」。

但 19 世紀的物理學家真正想要的問題是全域的：

整個地球表面的磁通量是多少？
繞著一根導線轉一圈的電位差是多少？
一個封閉區域邊界上的總流量是多少？

這些問題的共同特徵是：它們問的是「沿著一個邊界」的量，但答案卻由「邊界內部的場」決定。 這正是積分定理的威力——它們把「彎曲的邊界上的積分」換成「平坦的內部上的積分」。

三個定理，三個版本：

本節要做三件事：

1. 各自的歷史：Green 是 1828 年靠自學成才的「磨坊主數學家」；Stokes 是 1851 年在劍橋的「史密斯獎」競賽中，在 Kelvin 的建議下做出的推廣；Gauss 是 1835 年在研究地磁時為節省「物理學家的勞動」而推出的。
2. 共同的結構：三者都是「局部算子的積分 = 邊界上的積分」，只是維度不同、算子不同。
3. 統一的視角：它們其實是同一個定理——斯托克斯定理——的三個特例或推論。

SymPy 目標：用 sp.integrate 與 sp.diff 把三個定理逐字驗證（不是驗證特例，而是驗證一般的敘述），並用數值多邊形逼近把「區域面積 \(=\oint_C x\,\mathrm{d}y\) 」這個著名的格林推論算出來。

8.2.1 格林定理（1828 / 1831）：一位自學成才者的定理#

George Green 的生平#

George Green（1793–1841）是英國諾丁漢的一個磨坊主兼棉花商。他自學數學，靠的是一整套法國的著作——其中最關鍵的是 Laplace 與 Poisson 關於位能的論文。

1828 年，Green 出版了一本自費印刷的小冊子，題為《論數學分析對電學與磁學理論的應用》（An Essay on the Application of Mathematical Analysis to the Theories of Electricity and Magnetism）。這本冊子的第二部分裡，包含後來被稱為格林定理的結果：

其中 \(C\) 是區域 \(D\) 的邊界（取逆時針方向）。

1828 年的小冊子幾乎無人問津——直到 1831 年，Green 親自帶著它去了劍橋，被重新出版在《劍橋哲學學報》上，並得到當時數學界權威 William Hopkins 的好評。Green 在 1837 年當選皇家學會會士，但一年後就因病去世，年僅 45 歲。

格林定理說了什麼？#

用最直白的話說：

沿著區域邊界繞一圈的「流動總量」，等於把區域內部每一點的「局部流動密度」加起來。

\(P\,\mathrm{d}x + Q\,\mathrm{d}y\) 的物理意義是：向量場 \(\mathbf{F} = (P, Q)\) 沿路徑做的功（或流體的流量）。右邊的 \(\partial Q/\partial x - \partial P/\partial y\) 正是二維的旋度（8.1 節說過：在二維裡旋度只有 \(z\) 分量）。

所以格林定理就是二維版的斯托克斯定理。它也立刻給出一個漂亮的推論：取 \(P = -y/2,\ Q = x/2\) ，則旋度處處為 \(1\) ，於是

而更有名的版本是取 \(P = 0,\ Q = x\) ：

這就是「用曲線積分算面積」——Green 在 1828 年就已經知道了。

我們先用 SymPy 把這兩件事都算出來。

import sympy as sp

x, y, t = sp.symbols('x y t', real=True)

# ================= 格林定理 =================
# ∮_C (P dx + Q dy) = ∬_D (Q_x - P_y) dA
P = -y / 2
Q = x / 2
print('P =', P, '   Q =', Q)
print('Q_x - P_y =', sp.simplify(sp.diff(Q, x) - sp.diff(P, y)))

# 左邊：沿單位圓 C: x = cos t, y = sin t 的循環積分
xs, ys = sp.cos(t), sp.sin(t)
dx, dy = sp.diff(xs, t), sp.diff(ys, t)
circ = sp.integrate((P * dx + Q * dy).subs({x: xs, y: ys}), (t, 0, 2 * sp.pi))
print('左邊 ∮_C (P dx + Q dy) =', sp.simplify(circ))

# 右邊：單位圓盤 D 上的二重積分（limits 由外而內：先 y 後 x）
dA = sp.integrate(sp.diff(Q, x) - sp.diff(P, y),
                  (y, -sp.sqrt(1 - x**2), sp.sqrt(1 - x**2)), (x, -1, 1))
print('右邊 ∬_D (Q_x - P_y) dA =', sp.simplify(dA))
print('兩邊相等？', sp.simplify(circ - dA) == 0)

print()
print('--- 面積公式（格林定理的推論）：Area(D) = ∮_C x dy = -∮_C y dx ---')
print('∮ x dy  =', sp.simplify(sp.integrate((x * dy).subs({x: xs, y: ys}), (t, 0, 2 * sp.pi))))
print('-∮ y dx =', sp.simplify(sp.integrate((-y * dx).subs({x: xs, y: ys}), (t, 0, 2 * sp.pi))))

預期輸出：

P = -y/2    Q = x/2
Q_x - P_y = 1
左邊 ∮_C (P dx + Q dy) = pi
右邊 ∬_D (Q_x - P_y) dA = pi
兩邊相等？ True

--- 面積公式（格林定理的推論）：Area(D) = ∮_C x dy = -∮_C y dx ---
∮ x dy  = pi
-∮ y dx = pi

SymPy 的一個技術細節：sp.integrate(expr, (y, ...), (x, ...)) 的 limits 順序代表「先積 y，再積 x」，也就是內層先寫。這與 7.3 節的約定一致。若寫成 (x, -1, 1), (y, -sqrt(1-x^2), ...)，SymPy 會把 \(y\) 當成外層變數，得到未求值的中間結果 4*sqrt(1 - x**2)，而不是 \(\pi\)。

格林定理的另一個重要推論：把 \(P, Q\) 換成位能相關的形式，可以得到格林第一恆等式與格林第二恆等式：

這兩條恆等式在 10.2 節（柯西積分定理）會以複變數的形式重新出現。

8.2.2 斯托克斯定理（1851）：史密斯獎競賽與 Kelvin 的建議#

一場「可以被規劃」的競賽#

1851 年，劍橋大學頒發史密斯獎（Smith's Prize）——這是當時劍橋最高的學生數學競賽。評審 William Thomson（後來的 Kelvin 勳爵，開爾文爵士）出的題目是：

把格林定理從平面推廣到空間中的曲面。

James Clerk Stokes（1819–1903，當時是劍橋的盧卡斯講席教授）把這個題目做成了他一生最重要的定理，並在 1851 年發表於《劍橋與都柏林數學雜誌》。後人便把它稱為 Stokes 定理。

定理的內容是：若 \(C\) 是曲面 \(S\) 的邊界（取與法向量 \(\mathbf{n\) 右手相應的方向），\(S\) 上的向量場 \(\mathbf{F}\) 連續可微，則

左邊：沿著閉合曲線 \(\mathbf{F}\) 做的總功（循環量）。 右邊：曲面上每點的「局部渦度」乘上法向分量後加總。

用一句話說：「繞一圈的總循環量」等於「面內所有局部渦度之和」。

物理意義：Faraday 感應定律#

Stokes 定理在電磁學裡最重要的應用，是把它和 Faraday 感應定律放在一起：

而由斯托克斯定理，

兩式合併，得到

這是 Maxwell 方程組的第二條，也是「變化的磁場產生電場」的數學表達。於是 Maxwell 能夠說：「只要在空間中放一個導線線圈，裡面就會有電流——因為穿過線圈的磁通量在變化。」

一個關鍵的方法論：不必真的去算曲面積分#

用 SymPy 驗證斯托克斯定理時，有一個非常漂亮的策略：故意選一個難以積分的曲面（例如半球面），但選一個容易積分的邊界（圓），然後比較兩邊。如果定理成立，兩邊必然相等——而且我們只算了簡單的那一邊。

import sympy as sp

x, y, z, t = sp.symbols('x y z t', real=True)
u, v = sp.symbols('u v', real=True)

# ================= 斯托克斯定理 =================
# ∮_C F·dr = ∬_S (curl F)·n dS
# 取 S 為上半球面 z = sqrt(1-x^2-y^2)，邊界 C 為單位圓（逆時針，位於 z = 0）

F = sp.Matrix([-y, x, 0])
curlF = sp.Matrix([
    sp.diff(F[2], y) - sp.diff(F[1], z),
    sp.diff(F[0], z) - sp.diff(F[2], x),
    sp.diff(F[1], x) - sp.diff(F[0], y),
])
print('F =', F.T)
print('curl F =', curlF.T)

# 邊界循環積分：r(t) = (cos t, sin t, 0)
r = sp.Matrix([sp.cos(t), sp.sin(t), 0])
dr = r.diff(t)
circ = sp.integrate((F.T * dr)[0].subs({x: sp.cos(t), y: sp.sin(t), z: 0}), (t, 0, 2 * sp.pi))
print()
print('邊界循環積分 ∮_C F·dr =', sp.simplify(circ))

# 曲面積分：參數化 r(u,v) = (u, v, sqrt(1-u^2-v^2))，法向量取 ru × rv（指向 +z）
z_surf = sp.sqrt(1 - u**2 - v**2)
ru = sp.Matrix([1, 0, sp.diff(z_surf, u)])
rv = sp.Matrix([0, 1, sp.diff(z_surf, v)])
n = ru.cross(rv)
print('ru × rv =', n.T)
integrand = (curlF.T * n)[0]
surface = sp.integrate(integrand.subs({x: u, y: v, z: z_surf}),
                        (v, -sp.sqrt(1 - u**2), sp.sqrt(1 - u**2)), (u, -1, 1))
print('曲面積分 ∬_S (curl F)·n dS =', sp.simplify(surface))
print('兩者相等？', sp.simplify(circ - surface) == 0)

預期輸出：

F = Matrix([[-y, x, 0]])
curl F = Matrix([[0, 0, 2]])

邊界循環積分 ∮_C F·dr = 2*pi
ru × rv = Matrix([[u/sqrt(-u**2 - v**2 + 1), v/sqrt(-u**2 - v**2 + 1), 1]])
曲面積分 ∬_S (curl F)·n dS = 2*pi
兩者相等？ True

技術要點：曲面的法向量怎麼算？ 我們把曲面參數化為 \(\mathbf{r}(u, v)\)，然後取偏導向量的叉積：

這是「向量面積元素」的公式。方向由叉積的順序決定：若要外法向量，就讓參數化保持右手定向。這一點在 Stokes 定理裡是生死攸關的——方向弄反，兩邊會差一個負號。

順帶注意 ru × rv 的 \(z\) 分量恆為 \(1\)：因為曲面是「圖形」\(z = f(x,y)\)，參數化 \(\mathbf{r}(u,v) = (u, v, f(u,v))\) 的兩個切向量都與 \(z\) 軸無關，所以叉積的 \(z\) 分量就是 \(1\)，法向量的水平分量則由曲面的斜率給出。

8.2.3 高斯積分定理（1835）：為了省下「物理學家的勞動」#

Gauss 的磁學計畫#

1835 年，Gauss 完成了他稱為「磁學的理論與觀測」的大部分，發表了著名的〈論以距離平方的反比作用之吸引與排斥力的一般定理〉（Allgemeine Lehrsätze in Beziehung auf die im verkehrten Verhältnisse des Quadrats der Entfernung wirkenden Anziehungs- und Abstossungskräfte）。在這篇（以及他相關的通訊）裡，Gauss 把「磁場」正式定義成一個向量場 \(\mathbf{B}\)，並且證明了：

這就是高斯積分定理（散度定理）。

Gauss 自己的動機非常實際。他當時在做的是地磁測量：要在全球範圍內測出磁場的各個分量，然後推算地球內部的「磁荷」分布。他發現，若要從零散的測量資料算出地球表面的磁通量，物理學家必須付出「極其可觀的勞動」（這是 Gauss 原文的語氣）。有了散度定理，這項工作就變成了一件局部化的事：只要知道內部的磁荷密度，通量就是它們的總和。這是積分定理的第一個「實用」版本，也是 Gauss 把它當成「省力工具」而非「定理」來對待的典型例子。

兩個數學史上的插曲#

• Ostrogradsky（1835） 也獨立導出了同一個定理（在俄羅斯），所以俄國教材至今仍稱它為 Ostrogradsky–Gauss 定理。
• 高斯在世時並未以現在的形式完整發表這個定理；它是在他 1867 年去世後，由《全集》（Werke）整理出版時才廣為人知。

一個更深的統一：高斯定理與「通量守恆」#

回到 8.1.3 節：散度在 \(\mathbf{p}\) 的值是「小立方體的淨流出率除以體積」。現在把很多小立方體拼成一個大區域 \(V\)，內部的小立方體彼此的通量互相抵消（相鄰面通量相反），只剩外面殼層 \(\partial V\) 上的通量：

這就是散度定理的物理直覺：把「局部源密度」加總，等於「整個邊界上的淨流出」。沒有源的場（\(\nabla \cdot \mathbf{F} = 0\)）在閉曲面上的總通量為零——磁場線沒有起點也沒有終點，它們必須閉合。

我們用 SymPy 把它算出來，並且順便驗證「無源場通量為零」這個推論。

import sympy as sp

x, y, z, t = sp.symbols('x y z t', real=True)

# ================= 高斯（散度）定理 =================
# ∯_S F·n dS = ∭_V (div F) dV
# 取 V 為半徑 R 的球，邊界 S 為球面

R = sp.symbols('R', positive=True)
F = sp.Matrix([x, y, z])
divF = sp.diff(F[0], x) + sp.diff(F[1], y) + sp.diff(F[2], z)
print('F =', F.T, '   div F =', divF)

# 表面積分：參數化球面 r(theta, phi) = R(sin th cos ph, sin th sin ph, cos th)
th, ph = sp.symbols('theta phi', real=True)
rt = sp.Matrix([R * sp.sin(th) * sp.cos(ph), R * sp.sin(th) * sp.sin(ph), R * sp.cos(th)])
n = rt.diff(th).cross(rt.diff(ph))
print('|n| =', sp.simplify(sp.sqrt(n.dot(n))))
Fsub = F.subs({x: rt[0], y: rt[1], z: rt[2]})
flux = sp.integrate((Fsub.T * n)[0], (ph, 0, 2 * sp.pi), (th, 0, sp.pi))
print('表面通量 ∯ F·n dS =', sp.simplify(flux))

# 體積積分：球座標
rho, psi = sp.symbols('rho psi', real=True)
vol = sp.integrate(divF.subs({x: rho * sp.sin(psi) * sp.cos(th),
                               y: rho * sp.sin(psi) * sp.sin(th),
                               z: rho * sp.cos(psi)}) * rho**2 * sp.sin(psi),
                    (th, 0, 2 * sp.pi), (psi, 0, sp.pi), (rho, 0, R))
print('體積積分 ∭ div F dV =', sp.simplify(vol))
print('兩者相等？', sp.simplify(flux - vol) == 0)
print()

# --- 再驗一個「無源場」：散度為零 ⇒ 閉曲面上的通量為零 ---
G = sp.Matrix([-y, x, 0])
divG = sp.simplify(sp.diff(G[0], x) + sp.diff(G[1], y) + sp.diff(G[2], z))
print('G =', G.T, '   div G =', divG)
Gsub = G.subs({x: rt[0], y: rt[1], z: rt[2]})
fluxG = sp.integrate((Gsub.T * n)[0], (ph, 0, 2 * sp.pi), (th, 0, sp.pi))
print('G 在球面上的通量 =', sp.simplify(fluxG))

預期輸出：

F = Matrix([[x, y, z]])    div F = 3
|n| = R**2*Abs(sin(theta))
表面通量 ∯ F·n dS = 4*pi*R**3
體積積分 ∭ div F dV = 4*pi*R**3
兩者相等？ True

G = Matrix([[-y, x, 0]])    div G = 0
G 在球面上的通量 = 0

解讀：\(\mathbf{F} = (x, y, z)\) 是「從原點向外輻射」的場。散度是常數 \(3\)，意思是每一單位體積都有三個單位的「源」。球面的通量是 \(4\pi R^3\)，體積積分也是 \(4\pi R^3\)。兩邊相等——定理成立。

第二個例子 \(\mathbf{G} = (-y, x, 0)\) 是繞 \(z\) 軸的剛體旋轉場，散度為零（無源、無匯），因此在任何閉曲面上的通量都是零——連球面也不例外。注意它不是保守場（\(\nabla \times \mathbf{G} = (0,0,2) \neq \mathbf{0}\)），所以它有渦但沒有源。這正是 8.1.3 節那個「無源場」推論的精確內容。

高斯定理與 Maxwell 方程#

把高斯定理用於靜電學：\(\mathbf{E}\) 是電場，\(V\) 是充滿電荷的區域，則

這就是「高斯定律」。用它來解問題的做法是：選一個高對稱性的封閉曲面（球、柱、球殼），讓通量積分簡化。這個技巧在 9.2 節（拉普拉斯方程與勢論）會大量出現。

8.2.4 三個定理的共同結構#

把三個定理並排放在一起，結構立刻清楚：

共同的骨架是：

這個骨架在微分形式的語言裡就是一句話：

其中 \(\omega\) 是 1-形式，\(\mathrm{d}\omega\) 是它的外微分：

外微分滿足 \(\mathrm{d}^2 = 0\)，這正好對應 8.1.2 節的恆等式 \(\nabla \times (\nabla f) = 0\)（位能的 1-形式是恰式的，\(\mathrm{d}\) 兩次得零）。

而「\(n\) 維版本的斯托克斯定理」——在 \(n\) 維流形上對 \((n-1)\)-形式做積分——是微分幾何的基本工具，也是 20 世紀-forms 的源頭。第 12.2 節的黎曼–羅朗定理會以「函數空間」的形式重新出現類似的對偶結構。

8.2.5 統一視角：斯托克斯定理是唯一的母定理#

現在做那個最漂亮的重組。如果我們把格林定理與高斯定理都看成斯托克斯定理的特例（或退化），會怎樣？

格林定理 = 平面上的斯托克斯定理#

在 \(\mathbb{R}^2\) 中取曲面 \(S\) 為平面區域 \(D\) 本身，法向量固定為 \(\mathbf{k}\)（\(\mathbf{z}\) 方向）。此時「曲面上的旋度」就是

「向量面積元素」\(\mathbf{n}\,\mathrm{d}S = \mathbf{k}\,\mathrm{d}A\)，而邊界 \(C = \partial D\)。於是斯托克斯定理逐字變成格林定理——格林定理不是另一個定理，它是斯托克斯定理在 \(n = 2\) 時的樣子。

高斯定理 = 斯托克斯定理作用於閉曲面#

對高斯定理的兩邊做一個「對偶」操作：把 3 維空間裡的向量場 \(\mathbf{F}\) 換成它的旋度 \(\nabla \times \mathbf{F}\)，然後套用斯托克斯定理到閉曲面 \(S = \partial V\)：

但 \(\partial S = \partial(\partial V) = \emptyset\)（閉曲面的邊界是空集），所以右邊是零：

這是「旋度場的散度為零」的積分版本。再取 \(\mathbf{F}\) 為某個向量場 \(\mathbf{G}\) 的「反旋度」，就得到高斯定理。

更乾淨的說法：高斯定理是斯托克斯定理在「\(3 - 1 = 2\) 維」的對偶版本——它把「\(n\) 維區域上的 \((n-1)\)-形式」換成「\((n-1)\) 維區域上的 \(n\)-形式」。

三個定理其實是同一條公式 \(\int_{\partial\Omega}\omega = \int_{\Omega}\mathrm{d}\omega\) 在不同維度的投影。

物理上的統一#

用同一句話說三個定理：「邊界上的總量」＝「內部每點局部量的總和」。

• 格林：邊界上的總流量 = 內部每點的局部渦度之和（2 維）。
• 斯托克斯：邊界上的總循環量 = 曲面上每點的局部渦度之和（3 維中的 2 維曲面）。
• 高斯：閉曲面上的總通量 = 立體內每點的局部源密度之和。

這就是「局部 ↔ 全域」的轉換，也是第 9 章偏微分方程（用局部方程推出全域守恆律）的思想核心。

8.2.6 這些定理怎麼被用：兩個實例#

流體力學：Kelvin 循環定理#

1869 年，Kelvin 證明：若流體無黏、無外力、密度隨壓力變化，則任一隨流體運動的閉合曲線上的循環量守恆：

推導只有兩行：把循環量寫成 \(\iint_S (\nabla\times\mathbf{v})\cdot\mathbf{n}\,\mathrm{d}S\)（Stokes 定理），再用運動學公式 \(\frac{\mathrm{D}}{\mathrm{D}t}(\nabla \times \mathbf{v}) = (\nabla \times \mathbf{v})\cdot\nabla\,\mathbf{v}\) 證明 \(\nabla\times\mathbf{v}\) 隨流體運動守恆——這需要「\(\nabla\times\mathbf{v}\) 滿足一個齊次的運輸方程」，而這正是 8.1.2 節恆等式 \(\nabla\cdot(\nabla\times\mathbf{F}) = 0\) 的流體版本。

一句話：Helmholtz 的渦旋定理與 Kelvin 的循環定理是同一件事的兩種說法，而它們的證明都依賴 Stokes 定理。

電磁學：Maxwell 方程組的積分形式#

回到 Faraday：

用 Stokes 定理把左邊換成面積分，得到微分形式 \(\nabla\times\mathbf{E} = -\partial\mathbf{B}/\partial t\)。

關鍵的方法論：在 Maxwell 的時代，人們知道的是「積分形式」（Faraday 的實驗給出的是迴路上的量）。微分形式是從積分形式「借」來的——而「借」的過程正是 Stokes 定理。反過來說，Maxwell 方程組的積分形式與微分形式的等價性，完全依賴 Stokes 定理與高斯定理。

這是一個深刻的循環：

1. 實驗給出積分形式；
2. Stokes / Gauss 定理把積分形式「微分」成局部方程；
3. 局部方程更容易求解（例如用分離變數法、9.1 節）；
4. 解完再「積分」回去，與實驗對照。

8.2.7 用數值多邊形逼近驗證「面積 = \(\oint_C x\,\mathrm{d}y\)」#

最後，我們回到 8.2.1 節那個著名的推論，用數值的方法把它驗證一遍。思路是：

1. 用一個 \(N\) 邊的正多邊形逼近單位圓；
2. 用離散的「梯形公式」計算 \(\oint_C x\,\mathrm{d}y\)；
3. 比較它與 \(\pi\)。

因為格林定理保證 \(\oint_C x\,\mathrm{d}y = \mathrm{Area}(D)\)，而多邊形的面積趨近 \(\pi\)，所以這個數值積分也必須趨近 \(\pi\)。

我們順便對一個非圓形的區域（拋物線區域）做同樣的事，並且做精確的符號計算作為對照。

import numpy as np
import sympy as sp

x, y, t = sp.symbols('x y t', real=True)

# --- 格林定理的數值驗證：Area(D) = ∮_C x dy（逆時針）---

# (1) 單位圓盤：解析值 pi
N = 2000
th = np.linspace(0, 2 * np.pi, N + 1)
xs, ys = np.cos(th), np.sin(th)
I = float(np.sum(0.5 * (xs[:-1] + xs[1:]) * np.diff(ys)))
print('單位圓盤（%d 邊多邊形）' % N)
print('  數值 ∮ x dy =', I)
print('  pi           =', np.pi)
print('  誤差         =', abs(I - np.pi))
print()

# (2) 拋物線區域 D = { (x,y) : -1 <= x <= 1, 0 <= y <= 1 - x^2 }
#     逆時針邊界：先沿 x 軸 (-1,0)->(1,0)，再沿拋物線 (1,0)->(-1,0)
rx1 = -1 + 2 * t
ry1 = sp.Integer(0)
I1 = sp.integrate(sp.simplify((x * sp.diff(ry1, t)).subs(x, rx1)), (t, 0, 1))
rx2 = 1 - 2 * t
ry2 = 1 - rx2**2
I2 = sp.integrate(sp.simplify((x * sp.diff(ry2, t)).subs(x, rx2)), (t, 0, 1))
area = sp.integrate(1 - x**2, (x, -1, 1))
print('拋物線區域 D')
print('  段 1（x 軸）∫ x dy =', sp.simplify(I1))
print('  段 2（拋物線）∫ x dy =', sp.simplify(I2))
print('  ∮_C x dy        =', sp.simplify(I1 + I2))
print('  區域面積 ∬_D dA =', area)
print('  Area = ∮ x dy ？', sp.simplify(I1 + I2 - area) == 0)
print()

# (3) 同一區域的多邊形逼近：數值 ∮ x dy 趨近 4/3
N = 20000
u = np.linspace(-1, 1, N + 1)
xb = u[::-1]          # 拋物線由右到左：(1,0) -> (-1,0)
yb = 1 - xb**2
# 逆時針：先沿 x 軸 (-1,0)->(1,0)（dy = 0，貢獻 0），再沿拋物線 (1,0)->(-1,0)
circ = float(np.sum(0.5 * (xb[:-1] + xb[1:]) * np.diff(yb)))
print('拋物線區域（%d 段折線逼近）' % N)
print('  數值 ∮ x dy =', circ)
print('  4/3          =', 4 / 3)
print('  誤差         =', abs(circ - 4 / 3))

預期輸出：

單位圓盤（2000 邊多邊形）
  數值 ∮ x dy = 3.141587485879563
  pi           = 3.141592653589793
  誤差         = 5.167710229958544e-06

拋物線區域 D
  段 1（x 軸）∫ x dy = 0
  段 2（拋物線）∫ x dy = 4/3
  ∮_C x dy        = 4/3
  區域面積 ∬_D dA = 4/3
  Area = ∮ x dy ？ True

拋物線區域（20000 段折線逼近）
  數值 ∮ x dy = 1.3333333299999999
  4/3          = 1.3333333333333333
  誤差         = 3.333333387089965e-09

如何解讀這些數字：

• 圓盤的誤差 \(5.17\times10^{-6}\) ，正多邊形面積的誤差是 \(O(N^{-2})\) ：內接正 \(N\) 邊形面積是 \(\frac{N}{2}\sin\frac{2\pi}{N}\) ，展開後誤差 \(\approx \frac{2\pi^3}{3N^2}\) ，在 \(N = 2000\) 時約 \(5.17\times10^{-6}\) 。完全吻合。
• 拋物線區域的誤差 \(3.33\times10^{-9}\) ：折線逼近一條光滑曲線，梯形公式的誤差是 \(O(h^2)\) ， \(h = 2/20000 = 10^{-4}\) ， \(h^2 = 10^{-8}\) ，與觀察到的 \(3.3\times10^{-9}\) 同量級。

這就是格林定理的「工程意義」：你不需要知道區域的解析描述，只要知道它的邊界，就能算出面積。反過來，格林定理也給了「用邊界積分檢驗區域描述是否正確」的能力。

習題#

習題 8.2.1（格林定理的直接應用） 設 \(D\) 是由曲線 \(y = x^2\) 、 \(y = 0\) 、 \(x = 1\) 圍成的區域， \(C\) 取逆時針方向。 (a) 用格林定理計算 \(\oint_C \left( -y\,\mathrm{d}x + x\,\mathrm{d}y \right)\) ，並用直接參數化驗證； (b) 用格林定理的面積公式計算 \(\mathrm{Area}(D)\) ，並與直接二重積分對照； (c) 用格林定理計算 \(\oint_C \left( x^2\,\mathrm{d}y - 2xy\,\mathrm{d}x \right)\) 。

習題 8.2.2（斯托克斯定理的三個方向） 取 \(\mathbf{F} = (-y, x, 0)\) ， \(S\) 為單位球的上半球， \(C\) 為赤道圓（逆時針）。 (a) 計算 \(\oint_C \mathbf{F}\cdot\mathrm{d}\mathbf{r}\) 與 \(\iint_S (\nabla\times\mathbf{F})\cdot\mathbf{n}\,\mathrm{d}S\) ； (b) 把 \(S\) 換成半圓形圓盤（在同一半球內），驗證兩邊仍相等，並解釋為什麼定理的值不依賴曲面的選擇； (c) 把 \(S\) 換成一個更彎曲的曲面（提示：可用 \(\mathbf{r}(u,v) = (u, v, \sqrt{1-u^2-v^2})\) 的一般化，例如 \(z = h(x,y)\) 加上半球帽），說明「曲面可以變形但邊界不變 → 積分值不變」。

習題 8.2.3（高斯定理的應用） 設球體 \(x^2+y^2+z^2 \le R^2\) 內部有均勻電荷密度 \(\rho_0\) 。 (a) 用高斯定理求出球面上的電場（先猜對稱性： \(\mathbf{E} = E(r)\hat{\mathbf{r}}\) ，把通量積分化簡）； (b) 用三重積分直接算，驗證結果相同； (c) 證明若電荷分布是 \(\rho = \rho_0 (1 - r/R)\) ，則球面上的電場為零，並解釋為什麼（提示：算總電荷與「內部各殼層的貢獻」）。

習題 8.2.4（格林恆等式） 用格林定理導出格林第二恆等式：

（提示：對 \(\nabla^2\) 乘上 \(f\,g\) 分別取兩種方式展開，再用格林定理把面積分換成邊界積分。）然後用它證明：**若 \(f\) 在 \(D\) 上滿足 \(\nabla^2 f = 0\) （諧函數），則 \(\oint_C \frac{\partial f}{\partial n}\,\mathrm{d}s = 0\) **（提示：在恆等式中取 \(g \equiv 1\) ，則 \(\nabla^2 g = 0\) 且 \(\frac{\partial g}{\partial n} = 0\) ）。 挑戰題：證明兩個調和函數 \(f, g\) 在 \(D\) 上滿足 \(\iint_D \left( f \nabla^2 g - g \nabla^2 f \right)\mathrm{d}A = 0\) 的同時，若 \(f = g\) 則邊界上的「Dirichlet 能量差」 \(\oint_C \left( f \frac{\partial f}{\partial n} \right)\mathrm{d}s\) 必須另行處理——用一個具体的例子說明為什麼。

習題 8.2.5（統一視角的實踐） 用 8.2.5 節的觀點回答： (a) 格林定理是 \(n\) 維斯托克斯定理在 \(n = 2\) 的樣子。請把它寫成「 \(1\) -形式 + 外微分」的形式，並驗證 \(\mathrm{d}\omega\) 的公式確實給出 \(\partial Q/\partial x - \partial P/\partial y\) 。 (b) 證明高斯定理可以由斯托克斯定理推出：取 \(\mathbf{G}\) 使得 \(\nabla \times \mathbf{G} = \mathbf{F}\) （在適當條件下可行），則 \(\oiint_{\partial V}\mathbf{F}\cdot\mathbf{n}\,\mathrm{d}S = \oiint_{\partial V}(\nabla\times\mathbf{G})\cdot\mathbf{n}\,\mathrm{d}S = \oint_{\partial(\partial V)}\mathbf{G}\cdot\mathrm{d}\mathbf{r} = 0\) ——這裡出了什麼問題？（提示：想想 \(\partial(\partial V)\) 真的是空集嗎？以及「 \(\nabla\times\mathbf{G} = \mathbf{F}\) 有解」需要什麼條件。） (c) 解釋：為什麼「斯托克斯定理是母定理」的說法，在微分形式的語言裡比在向量微積分的語言裡更乾淨？

小結#

共同骨架： \(\int_{\partial\Omega}\omega = \int_{\Omega}\mathrm{d}\omega\) （微分形式的外微分版本）。

統一視角：格林 = 平面上的斯托克斯；高斯 = 斯托克斯在「低一維」上的對偶。三者的物理意義都是「邊界上的總量 = 內部局部量的總和」。

方法論：積分定理是把「實驗給的積分形式」轉成「可解的微分形式」的橋樑——這正是 Maxwell 從 Faraday 的實驗走到 Maxwell 方程組的路徑，也是 9.1 節（熱方程與波方程）的策略。

下一節的問題：我們已經有定理了，但每次要驗證一個場是否保守，都得手寫三行偏導數。SymPy 能幫上什麼忙？8.3 節要回答：怎麼用 sp.Matrix 手寫三個算子、怎麼用 sympy.vector 讓電腦幫你做座標無關的散度與旋度、怎麼自動判定一個場是否保守（以及那個著名的「curl = 0 但仍不是保守場」的陷阱）。