1.1 古埃及測地與巴比倫數學（約西元前 1800 年）#

學習動機#

幾何學並非誕生於哲學家的書房，而是誕生在尼羅河的淤泥與美索不達米亞的泥板上。在這一節中，我們要問一個根本問題：人類為什麼需要幾何？ 答案非常務實——為了重新分配被洪水沖亂的土地、為了修建金字塔、為了公平課稅。當我們理解了幾何的「實用起源」，就能理解為什麼古代的幾何知識大多是經驗法則（像食譜一樣的步驟），而不是演繹證明。這個對比將為 1.2 節「演繹證明的誕生」鋪路。

同時，我們會用 SymPy 親手「驗證」古人的公式：哪些公式是精確正確的？哪些只是近似？近似誤差有多大？這種「用電腦檢驗歷史文獻中的數學」的做法，正是本書貫穿全書的方法論。

1.1.1 尼羅河氾濫與土地重測：幾何的第一個社會功能#

古希臘歷史學家希羅多德（Herodotus，約西元前 484–425 年）在《歷史》第二卷中記載了一個關鍵故事：

塞索斯特里斯（Sesostris）王把土地分給國民，每人都分到一塊方形（矩形）土地，並據此繳納年貢。每當尼羅河氾濫沖走部分土地，國王就派人去測量損失了多少，再依比例減稅。據說這就是幾何（geometry）一詞的來源——「地球的測量」（geo = 地，metron = 測量），後來從埃及傳入希臘。

這段記載即使有傳說成分，也精準地揭示了幾何的第一個社會功能：土地測量與稅收。尼羅河每年氾濫（約 7–10 月），河水退去後，田界消失，必須重新丈量。這催生了一個職業階層——「拉繩人」（harpedonaptai），他們手持打了結的繩子，在田間拉出直角與直線。

打結繩子如何產生直角？#

拉繩人最重要的工具是一條分成 12 等分的繩圈。取 3、4、5 三段作為三角形的三邊（ \(3+4+5=12\) ），因為

這個三角形必然有直角——這正是畢氏定理的特例（古人不知道定理本身，但知道這個「事實」）。矩形田地就是靠這種繩子定位的。

用 SymPy 驗證一下這個事實——我們可以檢查邊長為 3-4-5 的三角形，其兩條短邊的「點積」為零（向量互相垂直）：

import sympy as sp

# 3-4-5 直角三角形的頂點（直角放在原點）
A = sp.Point(0, 0)   # 直角頂點
B = sp.Point(3, 0)
C = sp.Point(0, 4)

triangle = sp.Triangle(A, B, C)
print(triangle.angles[A])            # 預期輸出: pi/2（直角）
print(sp.cos(triangle.angles[A]))    # 預期輸出: 0
print(triangle.area)                 # 預期輸出: 6
print(triangle.is_right())           # 預期輸出: True

注意 sp.Point(0, 0) 建立了「點」物件——這是 SymPy 幾何模組最基本的積木，1.3 節會系統性介紹。現在只需要知道：SymPy 可以把幾何直覺變成可以計算的物件。

矩形、三角形的土地面積#

對埃及的測量員來說，核心問題是：一塊田的面積是多少？《萊因德紙草書》（Rhind Papyrus，約西元前 1650 年，抄寫員 Ahmes 從更早的文獻抄錄）中記載了大量面積計算問題：

• 矩形田地：面積 = 長 × 寬 ✅（完全正確）
• 三角形田地：面積 = \(\dfrac{1}{2} \times\) 底 \(\times\) 高 ✅（在等腰或直角情形下正確）
• 圓形穀倉底面：面積 = \(\dfrac{8}{9} d^2\) ，其中 \(d\) 是直徑 ⚠️（近似！）

圓面積公式值得深究。埃及人相當於說「圓的面積約等於邊長為 \(\frac{8}{9}d\) 的正方形面積」。換算成今日的 \(\pi\) 記號：

所以埃及人隱含使用的 \(\pi\) 值是 \(\dfrac{32}{9} \approx 3.1605\) 。誤差只有約 0.6%，在 4000 年前無疑是了不起的成就。

用 SymPy 精確計算這個誤差：

import sympy as sp

# 埃及圓面積公式隱含的 pi 值（相當於取 pi ≈ 256/81）
egyptian_pi = sp.Rational(256, 81)
print(sp.N(egyptian_pi, 10))          # 預期輸出: 3.160493827
print(sp.N(sp.pi, 10))                # 預期輸出: 3.141592654

# 相對誤差
err = sp.Abs(egyptian_pi - sp.pi) / sp.pi
print(sp.N(err, 6))                   # 預期輸出: 0.00601643（約 0.6%）

注意我們用了 sp.Rational(32, 9) 而不是直接寫 32/9。這是 SymPy 的重要習慣：SymPy 有自己的 有理數型別 Rational，能做精確的分數運算；若用 Python 原生的 32/9，會得到浮點數，失去精確性。本書全程使用 Rational 與 sqrt 等符號物件。

1.1.2 《萊因德紙草書》與《莫斯科紙草書》：問題集的雛形#

現存的兩份最重要埃及數學文獻：

兩份文獻的體裁非常一致：「如何做」勝過「為什麼」。以萊因德紙草書問題 50 為例，原文寫著：

「一塊圓形田地，直徑 9 khet，其面積是多少？你 subtract（減去）直徑的九分之一，即剩 8。再乘以 8 自乘，得到 64。這就是田地的面積。」

注意結構：步驟 1、步驟 2、步驟 3……得答案。沒有證明、沒有一般化的推理，只有針對特定數值的食譜。但有趣的細節是：抄寫員選了 \(d=9\) ，因為 \(\frac{8}{9} \times 9 = 8\) 是整數——作者刻意挑選讓計算順利的數字。這是數學教材史上最早的「精心設計的例題」之一，這個傳統一直延續到今天你我手中的課本！

截角金字塔：古埃及幾何的高峰#

《莫斯科紙草書》問題 14 被譽為「埃及數學最偉大的成就」：求正方截角金字塔的體積。原文的口訣翻譯成現代公式：

其中 \(h\) 是高， \(a\) 、 \(b\) 是上下底邊長。這個公式完全正確且不平凡——它相當於知道「兩個相似錐台體積之差」。埃及人如何得到它至今成謎（有學者猜測是透過邊長為整數的實例歸納，例如警械式堆疊石塊）。

用 SymPy 驗證：把截角金字塔看成「大金字塔體積減去頂端小金字塔體積」，看看是否得到同一公式。

import sympy as sp

h, a, b = sp.symbols('h a b', positive=True)

# 截角金字塔：大金字塔高 H，底 a；切掉的小金字塔高 H - h，底 b。
# 用相似比：H/h = a/(a-b) => H = h*a/(a-b)
H = h * a / (a - b)
h_small = (h * b / (a - b))

# 金字塔體積 = 底面積 × 高 / 3
V_big   = a**2 * H       / sp.Integer(3)
V_small = b**2 * h_small / sp.Integer(3)

V_frustum = sp.simplify(V_big - V_small)
print(V_frustum)   # 預期輸出: h*(a**2 + a*b + b**2)/3

最後一行輸出 h*(a**2 + a*b + b**2)/3，正是紙草書的公式 \(V = \frac{h}{3}(a^2+ab+b^2)\) 。這裡的關鍵工具是 sp.simplify——SymPy 的符號化簡引擎，能把代數式化為最簡形式。我們用現代演繹法證明了古人的經驗公式，這正是本書反覆出現的手法。

1.1.3 巴比倫泥板：代數與幾何的結合#

兩河流域（今伊拉克）的美索不達米亞文明用楔形文字在濕泥板上刻寫數學，曬乾或燒製後可以保存數千年。約西元前 1800 年（漢摩拉比時代），巴比倫數學達到高峰。

位置記數法：巴比倫的最大優勢#

巴比倫使用六十進位（base 60）位置記數法。我們今天把 1 小時分成 60 分、1 分分成 60 秒，把一圓周分成 360 度，都是巴比倫遺產。位置記數法使複雜計算變得可行，巴比倫還備有倒數表、平方表、立方表供查表使用——這是史上最早的「數學資料庫」。

為什麼選 60？因為 \(60 = 2^2 \times 3 \times 5\) 有很多因數， \(\frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{1}{4}, \frac{1}{5}, \frac{1}{6}, \dots\) 都能寫成有限的六十進位小數。用 SymPy 檢查哪些 \(n\) 使 \(\frac{1}{n}\) 在六十進位下有限：

import sympy as sp

# 1/n 在 base 60 下是有限小數，若且唯若 n 的所有質因數都是 60 的質因數（2, 3, 5）
def finite_in_base60(n):
    return set(sp.factorint(n).keys()) <= {2, 3, 5}

good = [n for n in range(2, 61) if finite_in_base60(n)]
print(good)
# 預期輸出: [2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12, 15, 16, 18, 20, 24, 25, 27, 30, 32, 36, 40, 45, 48, 50, 54, 60]

60 以內有一半以上的整數都有這個性質（10 進位只有 2 和 5 因數的數）。這就是 60 進位的工程性優勢。

普林顿 322 泥板（Plimpton 322）：畢氏三元數表#

著名的 Plimpton 322 泥板（約前 1800 年，今藏哥倫比亞大學）列出了約 15 組「短邊、長邊、斜邊」的數值，例如：

這些全部滿足 \(a^2 + b^2 = c^2\) ，比畢達哥拉斯早了 1200 年。巴比倫人不會有「定理」的概念，但他們顯然掌握了產生這些三元數的方法——很可能是類似這樣的參數式：

用 SymPy 生成巴比倫風格的三元數表，並自動驗證：

import sympy as sp

# 生成 (a, b, c) = (2pq, p^2-q^2, p^2+q^2)，模仿 Plimpton 322 的結構
tab = []
for p, q in [(2,1),(3,2),(4,1),(5,2),(5,4),(6,1),(9,2),(12,5)]:
    a, b, c = 2*p*q, p**2 - q**2, p**2 + q**2
    short, long_ = min(a, b), max(a, b)
    ok = short**2 + long_**2 == c**2
    tab.append((short, c, long_, ok))

print("短邊  斜邊  長邊  滿足畢氏?")
for row in tab:
    print(row)
# 預期輸出（節錄）:
# (3, 5, 4, True)
# (5, 13, 12, True)
# (8, 17, 15, True)
# (20, 29, 21, True)
# (9, 41, 40, True)
# (12, 37, 35, True)
# (36, 85, 77, True)
# (119, 169, 120, True)

最後一列 \((119, 169, 120)\) 正是 Plimpton 322 的第一列！4000 年前的一塊泥板，與我們今天的 Python 程式輸出完全吻合。

巴比倫的 √2 近似：YBC 7289 泥板#

另一塊著名泥板 YBC 7289（耶魯大學編號 7289）上畫著一個正方形與其對角線，對角線上刻著數字：

這正是 \(\sqrt{2} = 1.41421356\ldots\) 的近似，精確到小數點後第 6 位！古人如何得到它？最合理的解釋是他們知道（並使用）這個迭代技巧：

這個公式在今日被稱為巴比倫法（也稱海倫法、牛頓法開平方的特例）：如果 \(x\) 高估了 \(\sqrt{2}\) ，那 \(\frac{2}{x}\) 就低估，兩者的平均就是更好的估計。用 SymPy 的精確分數運算重跑一次這個迭代：

import sympy as sp

# YBC 7289 泥板上的數字（六十進位）1; 24, 51, 10
bab_sqrt2 = sp.Rational(1) + sp.Rational(24, 60) + sp.Rational(51, 3600) + sp.Rational(10, 216000)
print(sp.N(bab_sqrt2, 12))     # 預期輸出: 1.41421296296
print(sp.N(sp.sqrt(2), 12))    # 預期輸出: 1.41421356237
print(abs(sp.N(bab_sqrt2, 15) - sp.sqrt(2).evalf(15)))  # 預期輸出: 5.99409e-7（誤差 < 0.000001）

# 用巴比倫法從 x0 = 7/5（即六十進位的 1;24,00）開始迭代
x = sp.Rational(7, 5)
for i in range(1, 3):
    x = (x + 2 / x) / 2
    print(f"第 {i} 步: {sp.N(x, 12)}")
# 預期輸出:
# 第 1 步: 1.41428571429（六十進位約 1;24,51,25）
# 第 2 步: 1.41421356421（六十進位約 1;24,51,10）

第 2 步結果的六十進位表示正是 \(1;24,51,10\) ——與泥板完全一致！史家推測：巴比倫書記就是用這類平均迭代（或其等價技巧）得到數值。泥板上其實同時刻著 \(\dfrac{1}{\sqrt{2}} \approx 0;42,25,35\) ，而 \((1;24,51,10) \times (0;42,25,35) = 2\) ，顯示他們熟悉「平方根與其倒數配對」的相互校正法。

兩個驚人的結論： 1. 巴比倫泥板的 \(\sqrt{2}\) 精確到約 \(6 \times 10^{-7}\) ，比埃及的 \(\pi \approx 3.16\) 還高一個量級的精度。 2. 巴比倫法這個迭代的誤差平方級收斂——每一步正確位數大約翻倍。用 SymPy 的精確分數繼續迭代，幾步之內誤差就小於 \(10^{-12}\) 。 3. SymPy 的 Rational 讓我們全程保持精確分數，隨時可以與 \(\sqrt{2}\) 的精確值比較——這正是符號計算相對於浮點計算的威力，也是本書選 SymPy 而非 NumPy 做驗證的原因。

1.1.4 對比與總結：經驗幾何 v.s. 演繹幾何#

把古埃及與巴比倫的數學做一個整理：

共同點：兩者都是「如果問題長這樣，就照這樣的步驟算」——知識是單例的，每換一個數字就得重抄一遍。沒有「一般命題」的意識，更沒有「這命題為何為真」的需求。

用一個 mermaid 時間軸總結本章與下一步的歷史發展：

timeline
    title 幾何學的起源
    約前1800 : 巴比倫泥板 : Plimpton 322 畢氏三元數
            : YBC 7289 的 sqrt(2) 近似
    約前1650 : 萊因德紙草書 : 圓面積 = (8d/9)^2
            : 截角金字塔體積
    約前600 : 泰勒斯 : 影子測金字塔
            : 第一批「證明」
    約前300 : 歐幾里得 : 《幾何原本》公理化

SymPy 練習：古法今證

練習 1.1.1（埃及圓面積） 用 SymPy 以 Rational 計算：直徑 \(d=9\) 的圓，用埃及公式與真公式分別求面積，求出相對誤差的精確分數並估成小數。 （提示：埃及面積 \(\frac{8}{9}d^2 = 64\) ；真面積為 \(\frac{81\pi}{4}\) ；誤差應約 \(0.6\%\) 。）

練習 1.1.2（3-4-5 繩圈） 用 sp.Triangle 建立邊長 \((5, 12, 13)\) 的三角形，驗證它是直角三角形、計算三個內角、檢查內角和為 \(\pi\) 。（對照 1.2 節的泰勒斯定理，這裡先練習用物件導向的方式思考三角形。）

練習 1.1.3（巴比倫開平方） 寫一個函數 babylonian_sqrt(N, steps=4)，用巴比倫法（初始值取 \(x_0 = N/2\) 或任一合理值）計算 \(\sqrt{N}\) 的精確分數近似，並與 sp.sqrt(N) 比較誤差。用 \(N=3, 5, 6, 7\) 測試，觀察每步誤差的位數成長。

練習 1.1.4（六十進位換算） 把 \(\sqrt{2} = 1.414213\ldots\) 的前 4 位有效數字轉成巴比倫的「 \(1;\ a, b, c\) 」六十進位表示（用SymPy 的 Rational 與 floor 手動換算），然後計算這個表示與 \(\sqrt{2}\) 的誤差，比對 YBC 7289 泥板。

練習 1.1.5（Plimpton 322 產生器） 用參數式 \((2pq,\ p^2-q^2,\ p^2+q^2)\) ，挑選 \(p, q\) 使短邊遞增且斜邊 \(\le 200\) ，印出你自己的「泥板」。共有多少列？與 Plimpton 322 的 15 列比較。

小結#

• 幾何起源於實用：尼羅河氾濫後的土地重測（「geometry = 測地」的字源）與美索不達米亞的工程與貿易計算。
• 古埃及給出正確的矩形/三角形面積、驚人地準確（ \(\approx 3.16\) ）的圓面積、以及完全正確的截角金字塔體積——但都以食譜形式呈現。
• 巴比倫以六十進位與查表文化，掌握了畢氏三元數（Plimpton 322）與高效開平方法（YBC 7289 的 \(\sqrt{2}\) 精確到 \(10^{-6}\) ）。
• 兩個文明都沒有證明的概念：知識是「這樣算就行」，而不是「這樣必然為真」。
• 我們示範了本書的基本工作流：歷史公式 → SymPy 符號驗證 → 誤差分析。

下一節（1.2）我們跟著泰勒斯跨越愛琴海，看人類如何第一次說出「我證明給你看」。

本節 SymPy 新工具清單#