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2.4 圓與角：SymPy 的圓幾何#

學習動機#

圓是古希臘幾何學家的「完美圖形」：同一條閉曲線上每一點到圓心等距，這個定義簡單到可以用一條公設式的語句說清楚，卻蘊含了極其豐富的定理。柏拉圖甚至認為天體的軌道必須是圓（或圓的組合）才配得上宇宙的完美；《幾何原本》用整整兩卷（第 III、IV 卷）處理圓：圓周角、弦、切線、內接與外切圖形。

為什麼「圓與角」值得單獨一章節？因為圓是歐幾里得公理系統中第一個非平凡曲線——直線的所有性質都寫在公設裡，而圓的性質必須證明出來。第 III 卷的圓周角定理（III.20–III.21）、切線性質（III.16–III.19）與後世整理的圓冪定理（III.35–III.36 的推廣），構成了一條環環相扣的推理鏈；這條鏈後來延伸到托勒密的弦表（三角學的源頭）、克卜勒的行星軌道（第 4 章），甚至現代電腦圖學中的圓與球的相交測試。讀完本節，你將能：

  1. 敘述並證明圓周角定理：圓周角等於同弧圓心角的一半；
  2. 推出它的系例：半圓上的圓周角是直角（泰勒斯定理，見 1.2 節）；
  3. 理解切線的三大性質與「切線垂直於過切點半徑」的證明；
  4. 認識圓冪（power of a point）：交弦積、切割線段的統一公式；
  5. 用 SymPy 的 Circle、tangent_lines、intersection 在座標平面上機器驗證以上所有定理。

1. 《幾何原本》第三卷：圓的公理化#

歐幾里得把圓的定義放在第 I 卷（定義 15：「圓是由一條線圍成的平面圖形，線上一點到圖形內某點的距離都相等」），但把圓的定理集中在第 III 卷（37 個命題）與第 IV 卷（16 個命題，處理內接、外切多邊形）。

第 III 卷的邏輯結構值得細看，因為它示範了公理化方法的「堆疊」特性：

這張依賴圖就是第 2.2 節講的「證明樹」的具體實例：每一個命題只依賴前面已證的命題與公設。托勒密在西元 150 年建立弦表時，用到的正是 III.20–III.21 這一組定理；兩千年後，計算機圖學判斷「射線是否擊中球」時，用的卻是 III.35–III.36 的代數化身。同一條推理鏈，服務了天文台與顯示卡。

2. 圓周角定理（III.20 / III.21）#

定理（圓周角定理，Euclid III.20）：在圓中，一條弦在圓周上張出的角（圓周角）等於它在圓心張出的角（圓心角）的一半。

系（III.21）：同弧上的所有圓周角相等。

證明（歐幾里得的情形分析）#

設 \(O\) 為圓心， \(B\) 為圓周上一點，弦為 \(AC\) 。連 \(OB\) 並延長交圓於 \(D\) 。分三種情形：

情形一：圓心 \(O\) 在圓周角內部（即 \(D\) 落在角 \(ABC\) 內部）。

因為 \(OA = OB\) （都是半徑），三角形 \(OAB\) 是等腰的，故

\[ \angle OAB = \angle OBA. \]

由三角形外角定理（I.32），

\[ \angle AOD = \angle OAB + \angle OBA = 2\,\angle OAB. \]

同理 \(\angle COD = 2\,\angle OBC\) 。相加得

\[ \angle AOC = 2\,\angle ABC. \qquad\blacksquare \]

情形二：圓心在外部——把上面的式子相減即可。 情形三： \(OB\) 與角的一邊重合——只用一半的論證。

注意歐幾里得的嚴謹習慣：他並不假設「圖形看起來怎樣」，而是逐一檢查所有情形。這正是 2.2 節所說「證明必須對所有情形成立」的古典示範。現代定理證明器（如 Coq、Lean）在做幾何題時同樣必須窮舉情形——這是自動化幾何證明最繁瑣的部分。

圓周角定理的兩個著名系：

  1. 同弧圓周角相等（III.21）：這就是「泰勒斯在船上量金字塔用不到、但航海定位用得到」的定理——見 1.2 節。
  2. 半圓上的圓周角是直角（III.31，即泰勒斯定理）：圓心角是平角 \(\pi\) ，故圓周角為 \(\pi/2\) 。

3. 切線：III.16–III.19#

定義：與圓恰交於一點的直線稱為切線，該點稱為切點。

歐幾里得用三個命題建立了切線理論：

  • III.16：過切點的任何直線（除了切線本身）都會切進圓內部——切線與圓「沒有一點能塞進中間」。歐幾里得在此給出歷史上第一個「極限式」的論述，因此這命題被稱為「角的和諧」（corollary of the linen），十七世紀微積分的先驅者們喜歡引用它。
  • III.18：切線垂直於過切點的半徑。
  • III.19：反之，過半徑端點且垂直於半徑的直線是切線。

III.18 的證明（歸謬法）#

設直線 \(DE\) 與圓切於 \(C\) ， \(F\) 為圓心。若 \(FC\) 不垂直於 \(DE\) ，則自 \(F\) 作 \(FG \perp DE\) 交 \(DE\) 於 \(G \neq C\) 。因為 \(\angle FGC\) 是直角而 \(\angle FCG\) 是銳角，故 \(FC > FG\) 。但 \(G\) 在圓內（因為 \(FG\) 垂足在切線上且 \(FG < FC =\) 半徑），這與 \(DE\) 是切線、圓內不能有切線上的點矛盾。 \(\blacksquare\)

切線的三個實用性質#

性質 內容
垂直性 切線 \(\perp\) 過切點半徑
等長性 從圓外一點引兩條切線，兩切線段等長，且該點與圓心連線平分兩切線的夾角
唯一性 過圓上一點恰有一條切線；過圓外一點恰有兩條

等長性是判定「三角形的內切圓」的關鍵：三角形三頂點到內切圓的切線段長分別是 \(s-a\) 、 \(s-b\) 、 \(s-c\) （ \(s\) 為半周長）——這個事實讓我們能純用切線性質算出內切圓半徑。

4. 圓冪：交弦與切割線的統一#

歐幾里得 III.35–III.36 證明了兩個看似不同的定理，後人（十八世紀起）發現它們是同一件事的兩面：

  • 交弦定理（III.35）：兩弦 \(AB\) 、 \(CD\) 交於圓內點 \(P\) ，則 \(PA \cdot PB = PC \cdot PD\) 。
  • 切割線定理（III.36）： \(P\) 在圓外，割線交圓於 \(A\) 、 \(B\) ，切線切圓於 \(T\) ，則 \(PA \cdot PB = PT^2\) 。

統一觀點（圓冪）：對定圓 \(\Gamma\) 與任意點 \(P\) ，數值

\[ \mathrm{Pow}_\Gamma(P) = OP^2 - r^2 \]

（ \(O\) 為圓心、 \(r\) 為半徑）是一個只依賴 \(P\) 的量，稱為 \(P\) 對 \(\Gamma\) 的圓冪。可以證明：過 \(P\) 的任意割線交圓於 \(X\) 、 \(Y\) 時（有向長度），恆有

\[ \overline{PX} \cdot \overline{PY} = \mathrm{Pow}_\Gamma(P). \]
  • \(P\) 在圓內：圓冪為負（兩段弦反向）；
  • \(P\) 在圓上：圓冪為 \(0\) ；
  • \(P\) 在圓外：圓冪為正，等於切線長的平方（ \(PT^2 = OP^2 - r^2\) ，正是 III.36 + 畢氏定理）。

在座標幾何（第 3 章）問世後，這件事變得幾乎透明：把圓寫成方程

\[ x^2 + y^2 - 2ax - 2by + c = 0, \]

則點 \(P = (p, q)\) 的圓冪就是把座標代入左式的值

\[ p^2 + q^2 - 2ap - 2bq + c, \]

而這正是 SymPy 中 Circle.equation() 在 \(P\) 的取值。一個古典定理，在代數語言裡是一行代入。 兩圓的「根軸」（圓冪相等的點的軌跡）就是兩圓方程相減所得的直線——這也是兩圓交點（若存在）所在的那條直線。

5. 用 SymPy 驗證圓周角定理#

SymPy 的幾何物件是符號精確的：角度用 acos 的精確表達式表示，比較時用 simplify。我們選一個便於精確計算的例子：圓 \(x^2+y^2=25\) ，取 \(A=(3,4)\) 、 \(B=(-5,0)\) 、 \(P=(5,0)\) 。

from sympy import *
from sympy.geometry import *

def angle_at(V, A, B):
    """在頂點 V 處、由 VA 與 VB 張出的角（0 到 pi）。"""
    v1 = Matrix([A.x - V.x, A.y - V.y])
    v2 = Matrix([B.x - V.x, B.y - V.y])
    return acos(simplify(v1.dot(v2) / (v1.norm() * v2.norm)))

O, A, B, P = Point(0, 0), Point(3, 4), Point(-5, 0), Point(5, 0)

inscribed = angle_at(P, A, B)      # 圓周角 ∠APB
central  = angle_at(O, A, B)       # 圓心角 ∠AOB

print(inscribed)                   # acos(sqrt(5)/5)
print(central)                     # acos(-3/5)
print(float(inscribed), float(central))
# 1.1071487177940904 2.214297435588181
print(float(2 * inscribed), float(central))
# 2.214297435588181 2.214297435588181

兩個角都是 acos 的精確表達式；要驗證「圓心角 = 2 × 圓周角」，最乾淨的方法是比較餘弦（利用二倍角公式 \(\cos 2\theta = 2\cos^2\theta - 1\) ）：

c_ins, c_cen = cos(inscribed), cos(central)
print(c_ins)                       # sqrt(5)/5
print(simplify(2 * c_ins**2 - 1))  # -3/5
print(simplify(c_cen - (2 * c_ins**2 - 1)))  # 0

0 就是機器給出的證明： \(\cos(\angle AOB) = 2\cos^2(\angle APB) - 1\) 精確成立。

泰勒斯定理的驗證#

直徑兩端取 \(B=(-5,0)\) 、 \(C=(5,0)\) ，圓周上任取 \(A=(3,4)\) ：

C = Point(5, 0)
print(simplify(angle_at(A, B, C)))         # pi/2
print(N(angle_at(A, B, C)))                # 1.57079632679490

半圓上的圓周角恆為 \(\pi/2\) ——你也可以把 A 換成 (0, 5)、(-3, 4) 逐一測試，SymPy 都會回傳 \(\pi/2\) 。

同弧圓周角相等（III.21）#

在圓 \(x^2+y^2=1\) 上取定弦的兩端 \(A=(1,0)\) 、 \(B=(0,1)\) ，再取兩個不同的圓周點 \(P=(\tfrac{3}{5}, -\tfrac{4}{5})\) 、 \(Q=(-\tfrac{3}{5}, \tfrac{4}{5})\) ：

u = Circle(Point(0, 0), 1)
A, B = Point(1, 0), Point(0, 1)
P = Point(Rational(3, 5), Rational(-4, 5))
Q = Point(Rational(-3, 5), Rational(4, 5))

print(simplify(angle_at(P, A, B)))   # pi/4
print(simplify(angle_at(Q, A, B)))   # 3*pi/4
# P 與 Q 在弦 AB 的異側，故一角為 3*pi/4 的補角：
print(simplify(pi - angle_at(Q, A, B)))  # pi/4

同側的圓周角相等；異側的兩角互補——這正是 III.22「圓內接四邊形對角互補」的內容。 SymPy 精確回傳 \(\pi/4\) 與 \(3\pi/4\) ， \(\pi/4 + 3\pi/4 = \pi\) 。

6. 用 SymPy 操作切線#

6.1 tangent_lines：從外點引切線#

from sympy import *
from sympy.geometry import *

c = Circle(Point(0, 0), 1)
P = Point(2, 0)                    # 圓外一點

tls = c.tangent_lines(P)
print(tls)
# [Line2D(Point2D(2, 0), Point2D(1/2, -sqrt(3)/2)),
#  Line2D(Point2D(2, 0), Point2D(1/2, sqrt(3)/2))]
print(len(tls))                    # 2  ← 過圓外一點恰有兩條切線
print(tls[0].slope, tls[1].slope)  # -sqrt(3)/3 sqrt(3)/3

注意切點被 SymPy 直接算出來了：Line2D(Point2D(2,0), Point2D(1/2, ±sqrt(3)/2)) 的第二個參數就是切點座標。

6.2 驗證「切線 ⊥ 過切點半徑」（III.18）#

Q = tls[0].intersection(c)[0]
print(Q)                           # Point2D(1/2, -sqrt(3)/2)

radius = Line(Point(0, 0), Q)
tangent = tls[0]
print(simplify(radius.slope * tangent.slope + 1))  # 0

兩斜率乘積為 \(-1\) （乘積加 1 為 0），即垂直。這個驗證用了精確有理數與根號，不是浮點近似——SymPy 符號運算的好處正在於此。

6.3 驗證「兩切線段等長」#

Q1 = tls[0].intersection(c)[0]
Q2 = tls[1].intersection(c)[0]
print(simplify(P.distance(Q1) - P.distance(Q2)))   # 0
print(simplify(P.distance(Q1)**2))                 # 3
# 檢查圓冪公式：OP^2 - r^2 = 4 - 1 = 3 ✓

6.4 過圓上一點的切線#

tangent_lines 也接受圓上的點，此時回傳唯一一條切線：

c0 = Circle(Point(0, 0), 1)
P = Point(Rational(3, 5), Rational(4, 5))
t = c0.tangent_lines(P)
print(len(t))                      # 1
print(t[0].equation())             # 3*x/5 + 4*y/5 - 1

切線方程 \(3x + 4y = 5\) ——請對照 2.3 節：這就是「點在圓上時，切線方程把 \(x^2, y^2\) 換成 \(x_0 x, y_0 y\) 」的極坐標式極化恆等式在座標上的體現。

6.5 內切圓：切線性質的應用#

三角形三邊都與內切圓相切。SymPy 的 Triangle 直接提供 incircle：

T = Triangle(Point(0, 0), Point(6, 0), Point(0, 8))
I, r = T.incircle.center, T.incircle.radius
print(I, r)                        # Point2D(2, 2) 2

# 驗證：內心到三邊的距離都等於半徑
print(T.sides[0].distance(I))      # 2
print(T.sides[1].distance(I))      # 2
print(T.sides[2].distance(I))      # 2

# 直角三角形內切圓半徑公式：r = (a + b - c) / 2
print(simplify((6 + 8 - 10) / 2))  # 2

\(6\) - \(8\) - \(10\) 直角三角形的內切圓半徑為 \(r = \dfrac{a+b-c}{2} = \dfrac{6+8-10}{2} = 2\) ，與 incircle 的結果一致。

7. 圓冪與根軸的 SymPy 實作#

7.1 交弦定理（III.35）#

圓 \(x^2+y^2=25\) ，兩弦： \(x\) 軸與直線 \(y = \tfrac{4}{3}(x-1)\) ，交點 \(P=(1,0)\) 。

from sympy import *
from sympy.geometry import *

c = Circle(Point(0, 0), 5)
P = Point(1, 0)

# 弦一：x 軸交圓於 (-5,0) 與 (5,0)
A, B = Point(-5, 0), Point(5, 0)
# 弦二：過 P 的直線 y = 4(x-1)/3 交圓於兩點
L = Line(P, Point(4, 4))
C1, C2 = L.intersection(c)
print(C1, C2)
# Point2D(-7/5, -32/15) Point2D(13/5, 32/15)

s1 = P.distance(A) * P.distance(B)
s2 = P.distance(C1) * P.distance(C2)
print(simplify(s1))                # 24
print(simplify(s2))                # 24
print(simplify(s1 - s2))           # 0

\(PA \cdot PB = 6 \times 4 = 24\) ，另一弦的乘積也精確等於 \(24\) 。而且 \(24 = OP^2 - r^2 = 1 - 25 = -24\) 的絕對值——點在圓內時有向乘積為負、長度乘積為正，兩種約定在這裡交會。

7.2 切割線定理（III.36）#

P = Point(8, 0)                    # 圓外一點
# 割線：x 軸交圓於 (-5,0), (5,0)
d1, d2 = P.distance(Point(-5, 0)), P.distance(Point(5, 0))
print(d1 * d2)                     # 39

# 切線長
tls = c.tangent_lines(P)
Q = tls[0].intersection(c)[0]
print(simplify(P.distance(Q)**2))  # 39

# 圓冪：把 P 代入圓方程
x, y = symbols('x y')
print(c.equation(x, y).subs({x: 8, y: 0}))  # 39

三個數完全一致：割線兩段乘積 \(13 \times 3 = 39\) 、切線長平方 \(39\) 、圓冪 \(8^2 - 5^2 = 39\) 。圓冪定理統一了 III.35 與 III.36。

7.3 兩圓的根軸#

x, y = symbols('x y')
c1 = Circle(Point(0, 0), 5)        # x^2 + y^2 = 25
c2 = Circle(Point(8, 0), 3)        # (x-8)^2 + y^2 = 9

# 兩圓方程相減 = 根軸（圓冪相等的點集合）
diff = c1.equation(x, y) - c2.equation(x, y)
print(expand(diff))                # 16*x - 80
print(solve(diff, x))              # [5]

# 這兩圓外切（圓心距 8 = 5 + 3），切點恰在根軸上
print(c1.intersection(c2))         # [Point2D(5, 0)]

根軸 \(x = 5\) 正好通過兩圓的切點 \((5,0)\) 。若兩圓相交，根軸就是公共弦所在直線；若兩圓相離，根軸仍存在（與兩圓等冪的直線），但不再碰到任何一個圓。

8. 公理化 → 座標化 → 機器驗證#

回顧本節的驗證方式，其實經歷了三個歷史階段的壓縮：

  1. 歐幾里得（前 300 年）：用公設與已證命題做綜合推理（等腰三角形 + 外角定理 → 圓周角定理）。
  2. 笛卡兒（1637 年）：把圓變成方程 \(x^2+y^2=r^2\) ，把點代入得圓冪，把定理變成恆等式。
  3. SymPy（今天）：把第 2 步的代數操作交給計算機，用精確符號運算「執行」證明的計算部分。

要誠實地說：simplify 回傳 0 不替代歐幾里得的證明——它驗證的是「這個定理在這個（符號參數化的）例子上成立」。但當我們像 2.3 節那樣用符號變數 \(u, v\) 參數化一般情況時，一次 simplify 的成功就等價於對整個參數族的證明。這正是二十世紀計算機代數系統（CAS）進入數學的方式，也是吳文俊幾何定理機器證明（1977 年）的核心思想：把幾何命題化成多項式恆等式，交給代數去判定。SymPy 就是一台可以隨身攜帶的小型證明輔助機。

歷史插曲：牛頓在《Principia》中刻意模仿歐幾里得——先寫「定義」與「公理（運動三定律）」，再一條條推出「命題」。書中處理行星軌道時最核心的引理，正是用「圓的切線與極限」的語言寫的。歐幾里得第 III 卷的切線理論，就這樣成為微積分與天體力學的共同祖先。

習題#

  1. 圓周角定理的另一例：在圓 \(x^2+y^2=169\) 上取 \(A=(5,12)\) 、 \(B=(-12,5)\) 、 \(P=(13,0)\) 。仿 5.1 節驗證圓心角等於兩倍圓周角（比較餘弦，simplify 回傳 0）。

  2. 切線長公式：對圓 \(x^2+y^2=r^2\) 與圓外點 \(P=(d,0)\) （ \(d > r\) ），用 tangent_lines 求切點座標（以 \(r, d\) 的符號表達），並驗證切線長 \(= \sqrt{d^2 - r^2}\) （提示：sqrt(d**2 - r**2) 與 simplify）。

  3. 圓內接四邊形（III.22）：在圓 \(x^2+y^2=25\) 上取四點 \(A=(3,4)\) 、 \(B=(5,0)\) 、 \(C=(3,-4)\) 、 \(D=(-5,0)\) ，驗證 \(\angle A + \angle C = \pi\) 、 \(\angle B + \angle D = \pi\) （用 angle_at 函式）。

  4. 兩圓的公共弦：取相交兩圓 \(x^2+y^2=25\) 與 \((x-6)^2+y^2=13\) 。用 intersection 求兩交點，再驗證：兩交點連線的方程，恰等於兩圓方程相減所得直線（根軸 = 公共弦）。

  5. 費馬點的前奏——等長切線的應用：三角形頂點 \((0,0)\) 、 \((7,0)\) 、 \((1,5)\) 。用 incircle 求內心與半徑，再用切線長性質驗證：三頂點沿兩邊到切點的切線段長分別為 \(s-a\) 、 \(s-b\) 、 \(s-c\) （ \(s\) 為半周長， \(a,b,c\) 為對邊長）。