3.2 向量與內積：從費馬到格拉斯曼（1844 年）#

學習動機#

座標幾何（3.1 節）把點變成數，但平面上還有一類極有用處的物件被擱在一旁：從一點指向另一點的位移。位移這種東西不只有「長度」，還有「方向」——把 $(0,0)$ 平移到 $(3,4)$ ，與把 $(3,4)$ 平移到 $(3,4)$ 的起點不同但位移相同。這種「有方向的可計算量」就是向量（vector）。向量要能運算（相加、伸縮、度量長度與角度），才成為真正的代數物件；這條從費馬的位移術語、經 19 世紀力學與四元數之爭、到格拉斯曼 1844 年《延量論》（Ausdehnungslehre）中提出一般向量空間與內積的道路，正是本章的故事。學完之後，你將理解為什麼幾何學家說「向量空間是笛卡兒座標的現代成熟形態」。

一、向量觀念的前史#

1.1 笛卡兒座標裡已經埋下的種子#

3.1 節的參數化

\[ P(t) = A + t\,(B - A) \]

其實已經把「向量」推到檯面上但沒有命名：記號 $B - A$ 恰是「從 $A$ 指向 $B$ 的位移」， $t\,(B - A)$ 是「長度 $t$ 倍的位移」（ $0 \le t \le 1$ ），而 $A + u$ 是「把位移 $u$ 加到點 $A$ 上」。早期解析幾何學家就用這種直白的方式談位移，卻沒有把它形式化。

1.2 力學的推動：平行四邊形法則#

18 世紀，物理學的需求（合力、速度合成、力矩）催生了一套正式的「有向量操作法則」：

\[ \vec{u} + \vec{v} = \text{對角線} \qquad (\text{平行四邊形法則}) \]

這在座標語言下就是分量相加： $\vec{u} = (u_1, u_2)$ 、 $\vec{v} = (v_1, v_2)$ ，則 $\vec{u} + \vec{v} = (u_1 + v_1,\ u_2 + v_2)$ 。物理量的合成第一次變成了率的加法。

1.3 哈密頓的四元數的中介角色#

1843 年，哈密頓（William Rowan Hamilton）發明四元數（quaternion）：一個數搭配三個虛單位 $i, j, k$ ，以乘法 $i^2 = j^2 = k^2 = ijk = -1$ 運算。他把四元數的「向量部分」當成一種推廣複數的技巧。四元數乘積裡埋著兩種量：

純量部分（scalar part）：與現代點積（內積）密切相關；
向量部分（vector part）：與現代叉積（外積）密切相關。

重要的是：內積與外積，最早是從四元數乘法中「拆」出來的。吉布斯（Josiah Willard Gibbs）與亥維賽（Oliver Heaviside）在 1880 年代推銷的概念——把「純量積」與「向量積」從四元數獨立出來——奠定了今天的向量分析。這場「四元數之爭」是向量概念史的關鍵一幕。

1.4 格拉斯曼 1844：先知而無人聞問#

故事主角其實是更早也更深遠的：格拉斯曼（Hermann Grassmann）。1844 年他出版《延量論》（Die lineale Ausdehnungslehre），提出了一般化的代數體系：

任意「長的 $n$ 」個獨立單位，構成一個 $n$ 維空間（他叫它 n-stelliges Grösse，即 $n$ 位量）；
「加、減、乘」（他叫「延量」運算）服從特定公理；
點積二則（我們叫內積）與他研究的「乘積」結構共存。

格拉斯曼是把向量空間當公理化的代數結構來研究的第一人，比「向量空間」這個詞早了幾十年。可惜他的書難讀、畢業於德國角落的小學校長，終其一生幾乎無人理會；直到 20 世紀，皮亞諾於 1888 年才將向量空間的公理以現代形式提出，而格拉斯曼的名譽才被追封。這是數學史上「超前時代而 Describe 湮沒」的著名例案，與阿波羅尼奧斯某程度上相似。

二、向量的形式理論#

2.1 向量的本質#

一個向量 $\vec{v} = (v_1, v_2)$ 有兩個幾何資訊：

大小（長度、模）： $|\vec{v}| = \sqrt{v_1^2 + v_2^2}$
方向

在形式上，向量服從「向量空間」的公理（加法交換結合、純量乘法分配等）。我們不在此展開全部公理——但仍列出內積的核心公理：

若 $\langle \cdot, \cdot \rangle$ 是一個內積，則它滿足：

$\langle u, v \rangle = \langle v, u \rangle$ （對稱性）
$\langle au + bw, v \rangle = a\langle u, v \rangle + b\langle w, v \rangle$ （第一參數線性）
$\langle v, v \rangle \ge 0$ 且 $\langle v, v \rangle = 0 \iff v = 0$ （正定性）

2.2 標準內積與畢氏定理的重新發明#

在座標平面，標準（歐氏）內積定義為

\[ \langle u, v \rangle = u_1 v_1 + u_2 v_2 \]

根據這個定義，向量長度成為內積的特例：

\[ |\vec{v}| = \sqrt{\langle \vec{v},\, \vec{v} \rangle} \]

這就是畢氏定理的向量形式：幾何的度量，現在完全由內積來編碼。換句話說：

一個空間的幾何，由它的內積決定。改內積，就改幾何。

這一思路後來直接通達 6.2 節的黎曼幾何：黎曼的度量張量，就是「每個點可變化的內積」。

2.3 內積的兩大幾何定理#

定理 3.2.1（內積與長度）　$|\vec{v}| = \sqrt{\langle \vec{v}, \vec{v} \rangle}$ 。

定理 3.2.2（柯西–舒瓦茲不等式）　$|\langle u, v \rangle| \le |u|\,|v|$ ，等號成立當且僅當 $u, v$ 線性相關。

有了柯西–舒瓦茲，我們就能用內積定義角度。設 $\theta$ 為 $\vec{u}, \vec{v}$ 在座標意義下的夾角，則：

\[ \cos\theta = \frac{\langle u, v \rangle}{|u|\,|v|} \]

由柯西–舒瓦茲可證右端必在 $[-1, 1]$ 之間，這保證了 $\theta$ 的存在。角度——這個純幾何概念——第一次純代數化。

2.4 垂直：內積的零集合#

有了角度，垂直就被化為一個代數條件：

\[ u \perp v \iff \langle u, v \rangle = 0 \]

這個「零內積即垂直」是解析幾何最有力的翻譯之一：所有「垂直族群」的問題（垂直平分線、法線、投影），都化為解方程 $\langle u, v \rangle = 0$ 。你會在下節 3.3 的 SymPy 程式裡看到大量這種做法。

2.5 正交投影：向量幾何的解剖刀#

給定不垂直的 $\vec{u}, \vec{v}$ ， $u$ 在 $v$ 方向的正交投影為：

\[ \mathrm{proj}_{\vec{v}}\vec{u} = \frac{\langle u, v \rangle}{\langle v, v \rangle}\,\vec{v} \]

其幾何意義：「 $u$ 沿 $v$ 方向的分向量」。投影的殘差 $\vec{u} - \mathrm{proj}_{\vec{v}}\vec{u}$ 必垂直於 $\vec{v}$ ——這是「最短距離」的初步象徵。這個概念將把 3.3 節的「點到直線最短距離公式」從「套公式」進化為「能推導」。

三、外積與幾何的「面積」#

3.1 外積定義與性質#

對平面向量 $(u_1, u_2)$ 、 $(v_1, v_2)$ ，定義其外積的純量值（即 $z$ 分量，也稱二維叉積或 $2\times 2$ 行列式）：

\[ u \times v = u_1 v_2 - u_2 v_1 = \begin{vmatrix} u_1 & u_2 \\ v_1 & v_2 \end{vmatrix} \]

核心幾何事實：

\[ |u \times v| = |u|\,|v|\,\sin\theta = \text{平行四邊形 } ABCD\text{ 的面積} \]

也就是說：外積是「面積的代數」。3.1 節的鞋帶公式 $\frac{1}{2}|x_A(y_B - y_C) + \cdots|$ ，本質就是半個外積。而在三維， $u \times v$ 本身是向量，方向由右手定則決定、同時垂直於 $u, v$ ；其大小恰是平行四邊形面積。這是 3.4 節線性變換面積理論的先導。

3.2 面積是有方向的量（給格拉斯曼的訊息）#

注意： $u \times v = - v \times u$ ——外積是反交換的。這意味着「面積」本身可能是有符號的：以 $\vec{u}$ 為第一邊、 $\vec{v}$ 為第二邊（右手系），面積為正；反過來為負。這就是格拉斯曼「延量」思想的核心洞見：幾何量可以帶方向——有向線段、有向面積、乃至高維的「有向體積」。今天的計算幾何（第 8 章）裡判斷點在線的哪一側、曲線的定向等，都是用這個「有符號面積」。

四、SymPy 的向量計算#

SymPy 本身沒有專屬的 Vector 幾何類型（帶運算的向量分析另有 sympy.diffgeom 等），但 Matrix 完全勝任微小的向量代數：

from sympy import Matrix, sqrt

u = Matrix([3, 4])
v = Matrix([1, 7])

# 1. 向量加法與純量乘
print(u + v)
# Matrix([[4], [11]])

# 2. 向量長度
print(sqrt(u.dot(u)))
# 5

# 3. 內積
print(u.dot(v))
# 31

# 4. 夾角（用 acos；結果保留符號形式）
theta = acos(u.dot(v) / (u.norm() * v.norm()))
print(theta)             # acos(31/(5*sqrt(50)))
print(simplify(theta))   # acos(31*sqrt(2)/50)

# 5. 垂直判斷：零內積
print(u.dot(Matrix([4, -3])))   # 0  → (3,4) 與 (4,-3) 互相垂直

學習提示：把上述每一個單元自己鍵入 REPL 執行，觀察輸出，比「看懂」更有效。

4.1 投影的 SymPy 實作#

from sympy import Matrix, simplify

u = Matrix([2, 3])
v = Matrix([5, 1])

# proj_v(u) = <u,v>/<v,v> * v
proj = Matrix(u.dot(v) / v.dot(v) * v)
print(simplify(proj))
# Matrix([[5/2], [1/2]])

# 殘差必垂直於 v
residual = u - proj
print(simplify(residual))                 # Matrix([[-1/2], [5/2]])
print(residual.dot(v))                    # 0   → 驗證正交

4.2 面積與有向面積#

二維情形下 SymPy 的 cross 需要 $3$ 元向量，所以對 2D（平面）向量，通常直接用行列式（或把向量補上 $z = 0$ 再做 cross）：

from sympy import Matrix, Abs, simplify

u = Matrix([4, -1])
v = Matrix([1, 6])

# 2D 叉積（帶符號面積）
det = u[0]*v[1] - u[1]*v[0]
print(det)
# 23

# 或者用 Matrix.det()
print((Matrix([[u[0], u[1]], [v[0], v[1]]])).det())
# 23

# 平行四邊形面積 23 ；三角形面積 23/2

你看到 23，它是帶符號的：若把 $u, v$ 交換順序，會得 $-23$ 。這就是格拉斯曼式「有向面積」在 SymPy 中的自然呈現。

五、向量如何改寫幾何學#

5.1 一個範式轉移的例證#

用向量語言重述一些「老題目」，體會其經濟性。

例 1：三角形中線交於一點（重心定理）

設三角 A, B, C，取中點 $M_{BC}$ 、 $M_{CA}$ ，證明中線共點。向量證法：設重心為

\[ G = \frac{1}{3}(A + B + C) \]

則 $G$ 顯然在三條中線上（可各自參數化驗證）。這純粹是座標與分數——從希臘「延長兩倍即顯三點共線」的巧妙構造，到一次加法與三分之一。向量證法將「構造」轉為「代數式」。

from sympy import Matrix, Rational, solve
from sympy import symbols

A = Matrix([0, 0]); B = Matrix([6, 0]); C = Matrix([2, 6])
s = symbols('s', real=True)

# 重心
G = (A + B + C) / 3
print(G)
# Matrix([[8/3], [2]])

# 檢查 G 在中線 A→M_BC 上：M_BC = (B + C)/2
M_bc = (B + C) / 2
# A + s*(M_bc - A) = G 解得 s
alpha = symbols('alpha', real=True)
print(solve(Matrix(A + (M_bc - A) * alpha - G), alpha))
# {alpha: 2/3}    G 在中線上，且 AG:GM = 2:1 → 中線共點驗證成功

例 2：垂直平分線

到 $A$ 、 $B$ 距離相等的點 $P$ 滿足 $|P - A|^2 = |P - B|^2$ ，用內積展開：

\[ \langle P, P \rangle - 2\langle P, A \rangle + \langle A, A \rangle = \langle P, P \rangle - 2\langle P, B \rangle + \langle B, B \rangle \]

即

\[ \langle P,\, A - B \rangle = \frac{\langle A, A \rangle - \langle B, B \rangle}{2} \]

這是一條直線的向量方程，其法向量恰為 $A - B$ ——就是 3.4 節「法線式」的前譜。

5.2 格拉斯曼之後：為什麼「向量空間」是幾何的終點站？#

理想上，3.1 節的座標平原經過本章，已升級為一個公理結構：向量空間 + 內積。其最終形態有兩層意義：

公理化了幾何物件：點、向量不再依賴直觀，站得住的全是公理與定義。
開啟了內在幾何：曲面的幾何不依賴於外圍空間——只要你有一個內積（相等於度量張量），你就有幾何。這正是 6.2 節黎曼幾何與第 9 章微分幾何的底層。
矩陣呼之欲出：向量自被定義為「可離開座標、隨時可進入座標」的物件，那麼「把向量送到向量」的操作自然是「矩陣」——這是 3.4 節的主題。

六、SymPy 綜合習例#

6.1 一個稍微完整的題目#

題目：四邊形 $P_1(0,0), P_2(4,0), P_3(6,3), P_4(1,3)$ 。問它是什麼形？（數據可能提示平行四邊形或等腰——用向量驗證。）

from sympy import Matrix

P1 = Matrix([0, 0]); P2 = Matrix([4, 0])
P3 = Matrix([6, 3]); P4 = Matrix([1, 3])

e1 = P2 - P1     # 邊 1
e2 = P3 - P2     # 邊 2
e3 = P4 - P3     # 邊 3
e4 = P1 - P4     # 邊 4
# 平形測試（用叉積：叉積為 0 表示邊向量平行）
print(e1[0]*e3[1] - e1[1]*e3[0])      # 0 → e1 // e3（水平一組對邊平行）
print(e2[0]*e4[1] - e2[1]*e4[0])      # -3 ≠ 0 → e2、e4 不平行

一組對邊平行、另一組不平行——這是梯形，而非平行四邊形。用了向量，這類判斷從「畫圖猜測」降為「一次叉積」。再進一步，一個好用的凸四邊形面積公式：

\[ [\,四邊形\,] = \tfrac{1}{2}\, |d_1 \times d_2| \]

其中 $d_1, d_2$ 是兩條對角線向量（外積即二維叉積／有向面積）。

from sympy import Matrix, Abs

d1 = P3 - P1        # 對角線 1
d2 = P4 - P2        # 對角線 2
print(d1.norm(), d2.norm())
# 3*sqrt(5) 3*sqrt(2)

cross2d = d1[0]*d2[1] - d1[1]*d2[0]
print(Abs(cross2d) / 2)
# 27/2

與鞋帶公式 $\frac{1}{2}|30 - 3| = \frac{27}{2}$ 完全一致。向量把四邊形面積化成一句叉積——這是格拉斯曼思想的實用紅利。

6.2 三維外積的完整事例#

from sympy import Matrix, simplify

u = Matrix([1, 2, 3])
v = Matrix([4, 5, 6])

w = u.cross(v)
print(w)
# Matrix([[-3], [6], [-3]])

# 1. 垂直於兩者
print(u.dot(w), v.dot(w))
# 0 0

# 2. 大小 = 平行四邊形面積
print(w.norm())
# 3*sqrt(6)

七、小結#

觀念	一句話
向量	有方向、可運算的量；「點的差」
內積	把長度與角度變成代數： $
正交	平行於「零內積」，整類幾何條件方程化
外積	面積（與方向）的代數， $\det$ 之前身
格拉斯曼	超前時代的向量空間公理化，內在幾何的先聲
四元數	內積/外積在歷史上是從四元數乘法中被「拆分」

習題#

習題 3.2-1（基礎運算）　設 $\vec{u} = (2, -1)$ 、 $\vec{v} = (-3, 5)$ 。用 SymPy 計算：(1) $|u|$ 、 $|v|$ ；(2) $u \cdot v$ ；(3) $u, v$ 的夾角（化為最簡形式）；(4) 判斷 $2u - v$ 是否為單位向量。

習題 3.2-2（投影）　以 $\vec{u} = (5, 4)$ 、 $\vec{v} = (3, 1)$ ：(1) 求 $\mathrm{proj}_{\vec{v}}\vec{u}$ ；(2) 驗證殘差與 $v$ 正交；(3) 求 $u$ 到「直線 $y = x/3$ 」的最短距離，並觀察它等於殘差的長度。

習題 3.2-3（有向面積）　用二維叉積（行列式）計算三角形 $A(0,0), B(7,1), C(2,5)$ 的面積；交換 $B, C$ 順序再算一次，指出符號意義。並用 Polygon(A,B,C).area 驗證數值一致。

習題 3.2-4（重心的一般證明）　以符號 $A = (a_1,a_2),\ B = (b_1,b_2),\ C = (c_1,c_2)$ ，用 SymPy 證明 $G = \frac{A+B+C}{3}$ 滿足：沿中線 $A \to \frac{B+C}{2}$ 的 $\alpha$ 參數等於 $\frac{2}{3}$ （即 $AG:GM = 2:1$ ），對 $B, C$ 兩條中線重複證明。

習題 3.2-5（柯西–舒瓦茲的 SymPy 觀察）　定義 $n$ 維符號向量 $u = (a_1, \dots, a_4)$ 、 $v = (b_1, \dots, b_4)$ ，計算 $Q = (\langle u, v \rangle)^2 - \langle u, u \rangle \langle v, v \rangle$ 的展開式；進一步在 SymPy 中證明： $Q$ 等於 $\sum_{i<j} (a_i b_j - a_j b_i)^2$ 的負號。這是柯西–舒瓦茲最深刻的代數證明之一。

下一節：3.3 用 SymPy 做解析幾何：直線、距離、交點