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5.2 射影變換與齊次座標（彭賽列，1822 年）#

學習動機#

上一節我們看到 1639 年的笛沙格提出「平行線交於無窮遠點」，把透視畫家的直覺變成純幾何。但整個 17 世紀，這門新幾何只有幾件孤立的定理，主流仍是歐氏與解析幾何（第 3 章）。射影幾何真正變成一門有方法的學科，靠的是一個教科書史上最戲劇化的場景之一：法國軍官彭賽列在俄國戰俘營裡沒有書、沒有紙筆工具箱，靠記憶與演算，在 1812–1814 年間孕育出把中心射影當成方法來用的一整套思想，於 1822 年出版《圖形的射影性質分析》（Traité des propriétés projectives des figures）。

同時期，齊次座標（homogeneous coordinates）由莫比烏斯（1827 年）與彭賽列、熱爾岡（Gergonne）、普呂克（Plücker）等人逐步發展成熟，把「無窮遠點」「射影變換」「交比」從幾何敘述變成了可計算的座標代數——這正是本節的主題。而一百多年後，正是齊次座標的「能一次表達平移、旋轉、投影」的特性，使它被電腦圖學（1970 年代的 Sutherland、Newell 等）採納為整個三維繪圖管線的標準語言（10.1 節詳細談）。可以說：1822 年戰俘營裡的一支筆，最終寫進了你的顯示卡。

本節目標：

  1. 理解彭賽列「射影性質」的定義與連續性原理；
  2. 定義射影變換與它的不變量，證明交比是唯一的不變量（在共線圖形意義下）；
  3. 齊次座標：把射影平面變成向量空間的商空間，把射影變換變成 \(3\times 3\) 矩陣；
  4. 建立「齊次座標 ⟺ 透視投影」的本質聯繫。

與本章下一節的分工：本節是理論，5.3 節是SymPy 實作。

5.2.1 彭賽列與 1822 年《圖形的射影性質分析》#

戰俘營裡的構想#

彭賽列（Jean-Victor Poncelet, 1788–1867）隨拿破崙大軍攻俄，1812 年 11 月在克拉斯諾伊之戰被俘、又隨敗軍徒步走過俄國寒冬，最後被拘於薩拉托夫（Saratov）戰俘營約兩年。在營中他沒有教科書，靠回憶蒙日的描述幾何與伽希雄的學問，發展出一套新方法——他把在瓦西里耶夫營房裡的筆記題名為 Analyse des ...（後人稱「薩拉托夫筆記」）。1814 年回法國後，他花八年整理成 1822 年的《圖形的射影性質分析》。

他的核心口號可以這樣總結：

有些圖形性質在中心射影下不改變（射影性質）；因此要證明某性質，可以先把圖形射影到最方便的位置，在「像」上證明，再反推回原圖。

這就是"method of projection"（射影法）。它的效力來自一件事：中心射影破壞了長度、角度、平行，卻保留共線、共點、以及曲線的「類型」（圓錐曲線還是圓錐曲線，但圓可能變成橢圓）。所以與長度/角度無關的定理（例如有關切線、交比、圓錐曲線上的交點配置）常常可以移到最方便的位置證明。

連續性原理（Principle of Continuity）#

彭賽列還主張一條後來被批評過、但歷史影響極大的「連續性原理」：若一性質對圖形的某一般位置成立，則當圖形退化到極限位置（例如交點移到無窮遠、兩點重合、兩線平行）時，性質「以極限形式」仍成立。這是射影幾何允許「虛點」「無窮遠點」「複數點」自由進出的方法論基礎。嚴格化要到 19 世紀末拓撲與代數方法成熟後（凱萊、克萊因、希爾伯特），但思想是彭賽列種下的。

5.2.2 射影變換與交比：唯一的不變量#

定義#

一個射影變換（homography）是在射影平面 \(\mathbb{P}^2\) 上保持「點映點、線映線、共線性」的變換 \(H\) ；用齊次座標說，它是由一個 \(3 \times 3\) 可逆矩陣 \(M\) 給出的

\[ [X : Y : Z] \;\longmapsto\; [aX + bY + cZ \; : \; dX + eY + fZ \; : \; gX + hY + iZ], \]

並且兩個矩陣差一個常數倍 \(M\) 與 \(\lambda M\) 給出同一變換（所以自由度是 \(9 - 1 = 8\) ，四個一般位置的點對就足以唯一決定 \(H\) ）。

為何「距離」不可救，而「交比」可救？#

在中心射影下，直線上的點 \(A,B,C,D\) 的單純比例 \(\dfrac{AB}{BC}\) 都會被扭曲——畫家沿著道路逐段等間距的路緣石，畫布上間距會越來越密。但有一個複合量奇蹟般存留。取共線四點 \(A, B, C, D\) ，定義交比（cross-ratio）：

\[ (A,B;C,D) \;=\; \frac{\dfrac{CA}{CB}}{\dfrac{DA}{DB}} \;=\; \frac{(c-a)(d-b)}{(c-b)(d-a)} \quad (\text{實座標代數形式}) \]

定理：交比在任意射影變換下不變。

直覺：把共線四點看作被兩條過 \(P\) 點的線「切」，交比就是切片的『不變指紋』。它是射影意義下唯一的不變量：若兩組共線四點的交比相等，必存在一個射影變換把一組送到另一組。所以：

量 在射影變換下
距離、比例長、角度 不保
平行性 不保（被送到交於一射影點）
三點共線、三線共點 保
交比 保（唯一基本不變量）
圓錐曲線之「圓錐性」（二次曲線） 保（圓可變橢圓等）

交比的 SymPy 驗證#

中心射影在兩條直線之間的限制，用參數 \(t\) 寫出來正是一個 Möbius 型分式線性映射 \(t \mapsto \dfrac{\alpha t + \beta}{\gamma t + \delta}\) （這也就是「一次射影 = 一次齊次矩陣」在一維上的樣子）。所以「交比不變」可以一步到 algebra：計算

\[ \bigl( t_0, t_1; t_2, t_3 \bigr) \mapsto \frac{(f(t_2)-f(t_0))\,(f(t_3)-f(t_1))}{(f(t_2)-f(t_1))\,(f(t_3)-f(t_0))} \]

後化簡，看它是否與原交比相等：

from sympy import symbols, cancel, simplify, Rational

alpha, beta, gamma, delta = symbols('alpha beta gamma delta')
t0, t1, t2, t3 = symbols('t0 t1 t2 t3')
f = lambda t: (alpha*t + beta)/(gamma*t + delta)   # 一般 Möbius 型射影

def cr(p, q, r, s):
    """實線座標下四點的交比 (p,q;r,s)."""
    return cancel(((r - p)*(s - q)) / ((r - q)*(s - p)))

diff = simplify(cr(f(t0), f(t1), f(t2), f(t3)) - cr(t0, t1, t2, t3))
print("抽象差值 =", diff)

# 具體數值再驗一次：t = 0, 1, 2, 3 與 f(t) = (2t+1)/(t+1)
pts = (Rational(0), Rational(1), Rational(2), Rational(3))
g = lambda t: (2*t + 1)/(t + 1)
print("before:", cr(*pts))
print("after :", cr(g(pts[0]), g(pts[1]), g(pts[2]), g(pts[3])))

預期輸出：

抽象差值 = 0
before: 4/3
after : 4/3

抽象符號化簡「差值 \(=0\) 」一錘定音：交比在一切射影變換下不變；具體數值 \(4/3\) 前後一致，是給讀者的體感。

交比的兩個可愛特例#

  • 若 \(D\) 是直線上該方向的無窮遠點（ \(d \to \infty\) ）： \((A,B;C,\infty) = \dfrac{CA}{CB}\) ，交比退化成單比。這解釋了為何單純比例「幾乎不變」卻又被破壞——因為第四點漂到無窮遠。SymPy 用極限可驗：
from sympy import symbols, cancel, limit

a, b, c, d = symbols('a b c d')
def cr(p, q, r, s):
    return cancel(((r - p)*(s - q)) / ((r - q)*(s - p)))

print(limit(cr(a, b, c, d), d, 'oo'))    # -> (-a + c)/(-b + c) = CA/CB

預期輸出：

(-a + c)/(-b + c)

正是 \(\dfrac{CA}{CB}\) ，即單比。 - 若 \((A,B;C,D) = -1\) （調和四點、harmonic range），這是射影構造的最基本「單位」，中點 \(C\) 與無窮遠點 \(B_\infty\) 對 \(A,B\) 調和，是「度量」如何從射影中長出來的種子（凱萊：「射影幾何是所有的幾何」）。

5.2.3 齊次座標：把無窮遠點變成「正常點」#

定義與動機#

\(N\) 維射影空間 \(\mathbb{P}^N\) 的齊次座標：一個點由非零向量 \([X_0 : \cdots : X_N]\) 表示，同乘一非零常數表同一點，

\[ [X : Y : Z] \sim [λX : λY : λZ], \qquad λ \neq 0. \]
  • 仿射部分（有限點）： \(Z \neq 0\) 時對應普通座標 \((x, y) = (X/Z,\, Y/Z)\) ；
  • 無窮遠點： \(Z = 0\) ，例如 \([1 : m : 0]\) 是斜率 \(m\) 的方向， \([0:0:0]\) 不代表任何點。

因此 \(\mathbb{P}^2 = \mathbb{R}^3 \setminus \{0\} \,/\, \sim\) ：去掉原點、再模掉「沿過原點直線的伸縮」。幾何上，一個射影點就是一條過原點的直線。

三件威力#

  1. 無窮遠點天然在座標中：不再是「沒有交點」，只是 \(Z = 0\) 。
  2. 點與線同型：直線 \(ax + by + c = 0\) 的係數向量 \([a,b,c]\) 就是齊次形式下的「線座標」。點 \(p\) 在線 \(l\) 上 ⟺ \(\;l \cdot p = \langle [a,b,c],[X,Y,Z]\rangle = 0\) 。
  3. 射影變換 = 一個矩陣：可逆 \(3\times 3\) 矩陣 \(M\) 作用在向量上，且 \(M\) 與 \(\lambda M\) 同樣變換。

對偶性一瞥#

因為「點」與「線」在同一個向量空間裡，且「點在線上」由對稱的內積表達，於是任何定理中把「點 → 線、線 → 點、共線 → 共點」互換，得到的仍是定理（這是 5.3 節實作的主題之一）。例如笛沙格定理的自對偶結構正是這樣一步到位的。

與透視投影的本質聯繫#

把三維場景點 \((X, Y, Z)\) （ \(Z\) 為深度）投到 \(z = -d\) 的像平面（針孔相機，眼在原點、看向 \(+Z\) ）：

\[ (u, v) = \left( \frac{dX}{Z}, \; \frac{dY}{Z} \right). \]

這不是線性變換——除以 \(Z\) 。但用齊次座標它可以寫成純線性的矩陣作用：

\[ \begin{bmatrix} d & 0 & 0 & 0 \\ 0 & d & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} X \\ Y \\ Z \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} dX \\ dY \\ Z \end{bmatrix} \;\xrightarrow{\;\text{同除 } Z\;}\; \left( \dfrac{dX}{Z}, \; \dfrac{dY}{Z} \right). \]

除法被藏進「齊次座標的最後一列」這一個步驟。這就是透視投影與齊次座標的本質關係：中心射影的「非線性」其實是齊次座標中一個線性變換加上一次齊次除法（dehomogenize）。電腦圖學管線中，這一步有專門硬體名稱：perspective divide（10.1 節）。

from sympy import Matrix, symbols, simplify

X, Y, Z, d = symbols('X Y Z d', positive=True)
# 3x4 相機矩陣（齊次輸入）
K = Matrix([[d, 0, 0, 0],
            [0, d, 0, 0],
            [0, 0, 1, 0]])
p = Matrix([X, Y, Z, 1])
q = K * p
print(q)                          # [d*X, d*Y, Z]
u = simplify(q[0] / q[2]); v = simplify(q[1] / q[2])
print(u, v)                       # d*X/Z , d*Y/Z  → 正確的透視像座標

預期輸出：

Matrix([[d*X], [d*Y], [Z]])
d*X/Z d*Y/Z

為什麼電腦圖學選擇了它（前因後果）#

回顧一下工程史，這條線在 10.1 節還會再談：

  1. 1940s–60s：飛行模擬與早期 3D 圖形需要透視投影，人們先用三角函數逐面手算。
  2. 1965–68：薩瑟蘭德的 "Sketchpad" 體系與 Roberts 的矩陣法把 3D 變換寫成 \(4\times 4\) 矩陣（齊次形式），但平移與透視散置在各種約定中。
  3. 1976 年前後：Catmull、Newell 等的渲染管線確立「模型變換 → 視變換 → 投影變換 → perspective divide」統一用 \(4\times 4\) （或 \(3\times 4\) ）齊次矩陣。
  4. 1990s 至今：OpenGL/DirectX/Vulkan 與所有現代 GPU 的頂點著色器，gl_Position 恒是一個四分量齊次向量；光柵化硬體代你做 persp divide 與深度插值（ \(w\) 除法）。

一句話：因為齊次座標把「仿射變換 + 中心射影」融成一部 \(4\times 4\) 矩陣機，一切變換就都變成了可組合、可流水線、可硬體加速的線性代數。 數學上這只是「射影平面的向量空間模型」，但它讓笛沙格與彭賽列的思想住進了每一台電腦。

5.2.4 射影變換的自由度與「四點定一射影」#

\(H\) 的 8 個自由度意味：4 對（一般位置——三點不共線）的「點 → 點」恰好唯一決定一個射影變換（每對提供 2 條獨立方程，共 \(8 = 4\times 2\) ）。19 世紀的射影構圖法（von Staudt 卓越的純幾何作圖）實際上就是把這句話做成純量尺：只靠直尺，以交比為單位，就能在射影平面上「作算術」。

這也是攝影測量學（photogrammetry）與計算機視覺中「單應矩陣估計」的數學基礎：面上四個已知對應點即可解出平面的單應 \(H\) （例如行人路辨識、文件掃描去歪斜）。

from sympy import Matrix, symbols, solve

arr = symbols('a b c d e f g h i')     # 矩陣 9 個未知係數；尺度差一常數倍
M = Matrix(3, 3, arr)
src = [(1,0,1),(0,1,1),(0,0,1),(1,1,1)]   # 一般位置的 4 個源點（齊次）
dst = [(2,0,1),(0,2,1),(0,0,1),(2,2,1)]   # 對應的 4 個像點

eqs = []
for p, q in zip(src, dst):
    # 條件「H p ∼ q」等價於叉積 (M p) × q = 0（每對 3 條式，含尺度自由度）
    eqs += list((M * Matrix(p)).cross(Matrix(q)))
sol = solve(eqs, arr, dict=True)
print(sol[0])

預期輸出：

{a: 2*i, b: 0, c: 0, d: 0, e: 2*i, f: 0, g: 0, h: 0}

i 未受限——這正是「差一常數倍」的自由度。取 \(i=1\) 得 \(\mathrm{diag}(2,2,1)\) ：把點「放大兩倍」的仿射變換，本來就是一種射影變換。

5.2.5 小結#

概念 一句話
彭賽列射影法 把「不便」的圖形射影到「方便」的位置再證明
連續性原理 極限位置（平行、重合、無窮遠）上性質仍有意義
射影變換 保共線性的變換；齊次下 = 可逆矩陣（差常數倍）
交比 射影唯一基本不變量；退化為單比； \(-1\) 型為調和
齊次座標 \(\mathbb{P}^2 = \mathbb{R}^3\setminus\{0\}/\sim\) ；點/線同型
透視聯繫 中心射影 = 線性矩陣 + 齊次除法

下一節把這一切都變成可執行的 SymPy 程式：齊次座標運算、透視矩陣、交比計算、對偶性驗證，以及把全章織起來的幾張圖。

習題#

習題 5.2.1 用本節 cr 函數取 \(A=0, B=1, C=2, D=3\) 與一個 Möbius 映射 \(t \mapsto \dfrac{2t+1}{t+1}\) ，計算交比以驗證不變（列出前後兩個數值）。

習題 5.2.2 交比的無窮遠特例。取 \(D = \infty\) （代入 \(d \to \infty\) 或用 sympy.oo 極限），證明 \((A,B;C,\infty) = \dfrac{CA}{CB}\) 。

習題 5.2.3 調和點列。取 \(A=-1, B=1, C=0\) ，解出使 \((A,B;C,D) = -1\) 的 \(D\) ，並解釋其幾何意義（ \(C\) 是 \(AB\) 的中點， \(D\) 是方向無窮遠點）。

習題 5.2.4 齊次座標的平行性測試。寫函數 is_parallel(l1, l2)（輸入為齊次線向量），用 cross2 求交點並判斷其第三個分量是否為 0。用 \(2x+y=1\) 與 \(2x+y=5\) 、及 \(2x+y=1\) 與 \(x+y=1\) 兩組驗證。

習題 5.2.5 透視投影的深比。物體兩點 \(P_1 = (1, 0, 2)\) 、 \(P_2 = (1, 0, 4)\) 沿視軸排開，用本節相機矩陣算像座標：像上的間距比是 \(1 : ?\) ？用 SymPy 求（提示： \(d\) 只縮放影像，深度 \(Z\) 才造成非線性壓縮），解釋這如何說明了「透視把遠處等間距壓縮」。