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9.1 高斯內蘊幾何與絕妙定理（1827 年）#

Theorema Egregium：曲率是曲面自己的事，不是外面的 observers 的事。

學習動機#

在歐氏幾何的傳統裡，幾何是「平的」：距離由畢氏定理給定，角度和是 \(180°\) ， 三角形內角和是 \(180°\) ——沒有人懷疑這是可以「調整」的。

但地球本身就是一個巨大的反例。地表上，三角形的內角和大於 \(180°\) ： 在赤道上取一段弧、在南北兩極方向各畫兩條子午線，圍出的三角形內角和是 \(180^\circ +\) 球面角超量（spherical excess）。這不是測量誤差，而是表面的本性。

然而「表面」一詞有內在緊張：

  • 我們平常描述一個面（例如一張揉過的紙、一片山區地形、地球的形狀）， 常常是把它「放」在立體空間中，用外面的三維座標來描述。
  • 但居住在這個面上的生物（螞蟻、測量員、甚至我們自己住在地球上的時候） 無法直接量測外面的空間，只能量測面內的距離與角度。

於是出現個深刻的問題：

兩種曲面，如果在面上量起來所有點與點的距離都相同（等距變換，isometry）， 那麼對「面內生物」而言，它們是同一種幾何。 而曲率、以及由曲率決定的所有幾何性質（三角形內角和、圓周長公式、 畢氏定理是否成立），是否也是「面內生物可測」的呢？

高斯在 1827 年發表的論文《曲面的一般研究》（Disquisitiones generales circa superficies curvas）中徹底回答了這個問題：是的，而且曲率可以被 純粹由面內量測量決定——這就是著名的 Theorema Egregium（拉丁文，意為「絕妙定理」）。

這一章是整本書的轉捩點之一：它把幾何從「外面的世界」拉回「內在的世界」， 並直接鋪路給黎曼在 1854 年的廣義化（第 6 章我們已預見其結論）—— 幾何是空間自己的度量異常，不是某個嵌入空間的性質。

在本章中，我們將：

  1. 定義 \(\mathbf{r}(u,v)\) 的第一基本形式（度量） 與第二基本形式（彎曲度），
  2. 定義高斯映射（Gauss map） \(\mathbf{n}: S \to S^2\) ，
  3. 推導 \(\mathbf{n}\) 的擾動給出高斯曲率 \(K\) ，
  4. 證明（在符號計算層面驗證）絕妙定理： \(K\) 不依賴第二基本形式，只依賴第一基本形式。
  5. 沿途用 SymPy 做實驗、驗證、以及代入具體曲面上確認。

1. 歷史脈絡：大地測量學如何驅動內蘊幾何#

高斯的一生有兩條事業線：

漢諾瓦王國的大地測量（1818–1826）是高斯花費最多時間的實務計畫： 他為了把地球子午線一度的長度量得最精確，親自 到山頂、在雨中、在沼澤中 觀測三角測量網。想像他不停在問：

地表上，由兩段弧圍出的三角形，其內角和到底偏離 \(180°\) 多少？

這是純測量的問題——不需要（也不能）知道「地球外面那個 立體空間的情形」。把這個研究做到極致，是必須建立 「只用面內量測量即可推知的幾何學」。

我們在本書前七章已經見過多個「局部性」的例子 （第 5 章的射影變換、第 7 章的 克萊因綱領）， 它們都告訴我們：

變換下的不變量，構成了一門幾何。

這一章的變換是面內的等距變換：

\[ \phi : S \to S' , \quad \text{面內路徑長度保留} \]

而不變量是：

\[ K \quad \text{（高斯曲率）} \]

要證明的高斯定理的兩句話：

  1. \(\mathbf{n}_u \times \mathbf{n}_v\) 的面積（即高斯映射的 Jacobian） 是 \(K \, dA\) ，其中 \(dA = \sqrt{EG - F^2} \, du \, dv\) 。
  2. \(K\) 可以由一階基本形式 \(E, F, G\) （及其對 \(u, v\) 的一階與二階導數） 純 formally 計算出來——而等距變換維持第一基本形式。

2. 參數化曲面與局部座標#

一個（局部）參數化曲面是一個映射

\[ \mathbf{r} : U \subset \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^3, \quad (u, v) \mapsto (x(u,v), y(u,v), z(u,v)) \]

配合假設兩個切向量

\[ \mathbf{r}_u = \frac{\partial \mathbf{r}}{\partial u}, \quad \mathbf{r}_v = \frac{\partial \mathbf{r}}{\partial v} \]

是線性獨立的（即: \(\mathbf{r}_u \times \mathbf{r}_v \neq \mathbf{0}\) ）。 這個條件保證曲面局部像一片薄薄的二維膜，而不是折角。

範例：球面#

把參數記作 \(\theta \in [0, 2\pi), \ \varphi \in (0, \pi)\) ：

\[ \mathbf{r}(\theta, \varphi) = \begin{pmatrix} R \sin\varphi \cos\theta \\ R \sin\varphi \sin\theta \\ R \cos\varphi \end{pmatrix} \]

在 SymPy 中：

import sympy as sp

R = sp.symbols('R', positive=True)
th, ph = sp.symbols('theta phi', real=True)

r = sp.Matrix([R*sp.sin(ph)*sp.cos(th),
               R*sp.sin(ph)*sp.sin(th),
               R*sp.cos(ph)])

# 切向量
r_th = sp.simplify(r.diff(th))
r_ph = sp.simplify(r.diff(ph))
print("r_th =", r_th.T)
print("r_ph =", r_ph.T)
# ==>
# r_th = Matrix([[-R*sin(phi)*sin(theta)], [R*sin(phi)*cos(theta)], [0]])
# r_ph = Matrix([[R*cos(phi)*cos(theta)], [R*cos(phi)*sin(theta)], [-R*sin(phi)]])

注意：同一個曲面可以有很多參數化 （例如球面還可用 \(\mathbf{r} = (x, y, \sqrt{R^2-x^2-y^2})\) 表示上半球）， 而下面我們將看到，第一基本形式會跟著參數化改變表示法， 但由它推得的內蘊量（如面積、測地曲路徑、 \(K\) ）不會變。 這是「座標相對性」在幾何上最早期的形式。

3. 第一基本形式：面內生物可量的部分#

在曲面上一個點 \(P = \mathbf{r}(u,v)\) 上，兩個無限小的位移分別是 \(\mathbf{r}_u \, du\) 與 \(\mathbf{r}_v \, dv\) 。合成位移是

\[ d\mathbf{r} = \mathbf{r}_u \, du + \mathbf{r}_v \, dv \]

它的弧長平方是

\[ d\mathbf{r} \cdot d\mathbf{r} = \underbrace{\mathbf{r}_u \cdot \mathbf{r}_u}_{E} \, du^2 + 2\underbrace{\mathbf{r}_u \cdot \mathbf{r}_v}_{F} \, du \, dv + \underbrace{\mathbf{r}_v \cdot \mathbf{r}_v}_{G} \, dv^2 \]

這就是第一基本形式：

\[ \mathrm{I} = E \, du^2 + 2 F \, du \, dv + G \, dv^2 \]

用矩陣來看，就是對稱正定矩陣

\[ G_{[u,v]} = \begin{pmatrix} E & F \\ F & G \end{pmatrix} \]

它告訴面內生物：

  • \(E\) ：沿 \(u\) 方向前進單位參數，實際走了多遠
  • \(F\) ： \(u\) 方向與 \(v\) 方向的「夾角資訊」（當 \(F = 0\) ，參數線正交）
  • \(G\) ：沿 \(v\) 方向前進單位參數，實際走了多遠
  • \(\sqrt{EG - F^2}\) ：面積放大因子（Jacobi determinant 的幾何意義）

SymPy 計算第一基本形式#

import sympy as sp

def first_forms(r, u, v):
    """給亂一個 SymPy 矩陣 r(u,v)，傳回 (E, F, G)。"""
    ru = sp.Matrix([sp.simplify(x) for x in r.diff(u)])
    rv = sp.Matrix([sp.simplify(x) for x in r.diff(v)])
    E = sp.simplify(ru.dot(ru))
    F = sp.simplify(ru.dot(rv))
    G = sp.simplify(rv.dot(rv))
    return E, F, G

# 球面
R = sp.symbols('R', positive=True)
th, ph = sp.symbols('theta phi', real=True)
r_s = sp.Matrix([R*sp.sin(ph)*sp.cos(th),
                 R*sp.sin(ph)*sp.sin(th),
                 R*sp.cos(ph)])
E, F, G = first_forms(r_s, th, ph)
print("E, F, G =", E, F, G)
# ==>
# E, F, G = R**2*sin(phi)**2 0 R**2

# 圓柱面 (u = z, v = theta)
a = sp.symbols('a', positive=True)
r_c = sp.Matrix([a*sp.cos(v), a*sp.sin(v), u])
E, F, G = first_forms(r_c, u, v)
print("cylinder E, F, G =", E, F, G)
# ==>
# cylinder E, F, G = 1 0 a**2

觀察一件怪事：圓柱面 \(E, F, G = (1, 0, a^2)\) ， 而平面給出

\[ \mathbf{r}(u, v) = (u, v, 0), \quad \mathrm{I} = du^2 + dv^2 \]

在數學上這正好說的是：經過一個座標拉伸 \(\phi(u, v) = (a \cos(\text{柱角}), \ldots)\) 意義下的等距變換， 圓柱面與平面第一步上等價——事實上圓柱展開就是平面！ 而球面則是 \(G\) 依 \(\varphi\) 變化（赤道附近 \(dv\) 走得遠、兩極走得近）， 這個「不均匀的量尺」導致球面不能展開成平面 （你的地圖永遠畸變——Mercator 地圖的原理）。

4. 第二基本形式：外面 observers 看到的彎曲#

除了第一基本形式 \(I\) ，我們還可定義單位法向量場

\[ \mathbf{n}(u, v) = \frac{\mathbf{r}_u \times \mathbf{r}_v} {\left| \mathbf{r}_u \times \mathbf{r}_v \right|} \]

它代表曲面在每個點的「向上方向」。接著把曲面在這一格鄰域拋物化 （Taylon 展開到二階）：

\[ \mathbf{r}(u + du, v + dv) \approx \mathbf{r}(u, v) + \mathbf{r}_u \, du + \mathbf{r}_v \, dv + \tfrac12 \mathbf{r}_{uu} du^2 + \mathbf{r}_{uv} du \, dv + \tfrac12 \mathbf{r}_{vv} dv^2 \]

法向量方向的偏移量，即為第二基本形式（second fundamental form）：

\[ \mathrm{II} = L \, du^2 + 2 M \, du \, dv + N \, dv^2 \]

其中

\[ L = \mathbf{r}_{uu} \cdot \mathbf{n}, \quad M = \mathbf{r}_{uv} \cdot \mathbf{n}, \quad N = \mathbf{r}_{vv} \cdot \mathbf{n} \]

意義： \(\mathrm{II}\) 描述曲面偏離切平面的程度， 因此依賴於「外面這個立體空間把曲面怎麼彎」——這是外部的 representation。

SymPy 計算#

import sympy as sp

def normal_n(r, u, v):
    cru = sp.simplify(r.diff(u).cross(r.diff(v)))
    return sp.simplify(cru / cru.norm())

def second_forms(r, u, v, n):
    L = sp.simplify(r.diff(u,2).dot(n))
    M = sp.simplify(r.diff(u,1,v,1).dot(n))
    N = sp.simplify(r.diff(v,2).dot(n))
    return L, M, N

# 球面：法向量參照「假設向外的幾何直覺」，取 n = -r/R（符號對應選擇）
R = sp.symbols('R', positive=True)
th, ph = sp.symbols('theta phi', real=True)
r_s = sp.Matrix([R*sp.sin(ph)*sp.cos(th),
                 R*sp.sin(ph)*sp.sin(th),
                 R*sp.cos(ph)])
n = sp.simplify(r_s / R)           # 向內 / 向外：二選一（影響 II 的符號）
L, M, N = second_forms(r_s, th, ph, n)
print("L, M, N =", sp.trigsimp(L), sp.trigsimp(M), sp.trigsimp(N))
# ==>
# L, M, N = -R*sin(phi)**2 0 -R

# 圓柱面
u, v = sp.symbols('u v', real=True)
a = sp.symbols('a', positive=True)
r_c = sp.Matrix([a*sp.cos(v), a*sp.sin(v), u])
nu = normal_n(r_c, u, v)
print("cylinder n =", nu.T)
L, M, N = second_forms(r_c, u, v, nu)
print("cylinder L, M, N =", L, M, N)
# ==>
# cylinder n = Matrix([[-cos(v)], [-sin(v)], [0]])
# cylinder L, M, N = 0 0 a
# ==>
# cylinder n = Matrix([[-cos(v)], [-sin(v)], [0]])
# cylinder L, M, N = 0 0 a

球面 \((L, M, N) = (-R\sin^2\varphi,\, 0,\, -R)\) ，全對稱，合理。 注意：L 與 N 的正負跟法向量選擇有關，這是符號 tension 的源頭。 我們後面看到的 \(K = (LN - M^2)/(EG - F^2)\) 分子乘積對「同時翻 \(\mathbf{n}\) 的符號」不敏感，所以高斯曲率不會受到法向量選擇的影響； 平均曲率 \(H\) 則會，故 \(H\) 正負 depends on n（這也說明 \(H\) 不是內蘊量）。

5. 高斯映射與主曲率#

5.1 Gauss map 的定義#

\[ \mathbf{n} : S \to S^2, \quad P \mapsto \mathbf{n}(P) \]

它是一個從曲面到單位球面的映射。這個映射把曲面的形狀 encode 到球面上：

  • 平面： \(\mathbf{n}\) 是常數映射 → 高斯映射塌縮成一點
  • 圓柱面： \(\mathbf{n}\) 只依賴 \(\theta\) ，把整個圓柱打成一條赤道弧
  • 球面： \(\mathbf{n}\) （不考慮 \(R\) ）就是一個環面版的扭轉球面本身

5.2 Weingarten map：法向量如何回應切向位移#

當我們沿曲面走一小步， \(\mathbf{n}\) 也跟著扭轉。把它們對應起來：

\[ d\mathbf{n} = \mathbf{n}_u \, du + \mathbf{n}_v \, dv \]

這是一個「切向」信息；其核心觀點是 \(\mathbf{n}_u, \mathbf{n}_v\) 都屬於切平面 （因為 \(\mathbf{n} \cdot \mathbf{n} = 1\) 求導可得 \(\mathbf{n} \cdot \mathbf{n}_u = 0\) ）。 所以存在一個作用在切平面上的線性映射：跟 \(\mathbf{n}\) 報告「我偏移了 \((du, dv)\) ”，就得到法向量偏移。

這個映射的兩個不變量是：

  • 高斯曲率（Gaussian curvature）： \(K = \det(d\mathbf{n})\) （相當於 \(\mathbf{n}\) 的面積伸縮因子）
  • 平均曲率（mean curvature）： \(H = \frac{k_1 + k_2}{2}\) （兩個主曲率的平均）

用 SymPy 推導 \(K\) 的公式#

在有物徑參數化 \((du, dv)\) 之下， \(\mathbf{n}\) 的 Jacobian 相對於 \(\mathbf{r}\) 的 Jacobian 的比值是：

\[ K = \frac{ \mathbf{n}_u \times \mathbf{n}_v \cdot \mathbf{n} }{ \mathbf{r}_u \times \mathbf{r}_v \cdot \mathbf{n} } = \frac{LN - M^2}{EG - F^2} \]

（分母是 \(\sqrt{EG-F^2}\) ，分子是 \(\sqrt{EG-F^2}\) 相應的量——詳細證明可用 Weingarten 方程 \(\mathbf{n}_u = s_{uu}\mathbf{r}_u \cdots\) 推得， 參見習題 9.1.3）

我們驗證 球面 上 \(K = 1/R^2\) ：

import sympy as sp

R = sp.symbols('R', positive=True)
th, ph = sp.symbols('theta phi', real=True)
r_s = sp.Matrix([R*sp.sin(ph)*sp.cos(th),
                 R*sp.sin(ph)*sp.sin(th),
                 R*sp.cos(ph)])
n  = sp.simplify(r_s / R)

E = sp.simplify(r_s.diff(th).dot(r_s.diff(th)))
F = sp.simplify(r_s.diff(th).dot(r_s.diff(ph)))
G = sp.simplify(r_s.diff(ph).dot(r_s.diff(ph)))
L = sp.simplify(r_s.diff(th,2).dot(n))
M = sp.simplify(sp.simplify(r_s.diff(th,1,ph,1)).dot(n))
N = sp.simplify(r_s.diff(ph,2).dot(n))

K = sp.simplify((L*N - M*M)/(E*G - F*F))
print("K =", K)
# ==>
# K = 1/R**2

以及圓柱面 \(K = 0\) ：

u, v = sp.symbols('u v', real=True)
a = sp.symbols('a', positive=True)
r_c = sp.Matrix([a*sp.cos(v), a*sp.sin(v), u])

E = sp.simplify(r_c.diff(u).dot(r_c.diff(u)))
F = sp.simplify(r_c.diff(u).dot(r_c.diff(v)))
G = sp.simplify(r_c.diff(v).dot(r_c.diff(v)))
n = sp.simplify(r_c.diff(u).cross(r_c.diff(v)))
n = sp.simplify(n / n.norm())

L = sp.simplify(r_c.diff(u, 2).dot(n))
M = sp.simplify(r_c.diff(u, 1, v, 1).dot(n))
N = sp.simplify(r_c.diff(v, 2).dot(n))

K = sp.simplify((L*N - M*M)/(E*G - F*F))
print("cylinder K =", K)
# ==>
# cylinder K = 0

結果：圓柱面 \(K = 0\) 、球面 \(K = 1/R^2 > 0\) 、 鞍面（雙曲拋物面） \(K < 0\) 。 這跟「三角形內角和」的關係是：

\(K\) 幾何 三角形內角和
\(> 0\) 球面型 \(> 180°\)
\(= 0\) 平面型 \(= 180°\)
\(< 0\) 鞍面型 \(< 180°\)

6. 絕妙定理（Theorema Egregium）#

6.1 定理的敘述#

Theorema Egregium（高斯，1827） 高斯曲率 \(K\) 為內蘊量：它可以由第一基本形式 \(E, F, G\) （及其對 \(u, v\) 的一階與二階導數）純 formally 計算得出。 特別地，**任何等距變換 \(\phi : S \to S'\) 均保持 \(K\) **。

標準做法是拐一個彎：

  1. 我們已經知道 \(K = (LN-M^2)/(EG-F^2)\) （外面推導得到）
  2. 但 \(\mathrm{II}\) 的背後有 Codazzi–Mainardi 方程與 Gauss 方程， 將 \(\mathrm{II}\) 與 \(\mathrm{I}\) 的兩組方程「聯立」起面， 就能消掉 \(L, M, N\) ，得到 \(K\) 只是 \((E, F, G)\) 的函數。

Gauss 方程（記 Christoffel symbols \(\Gamma^k_{ij}\) ）告訴我們：

\[ R_{1212} = \sum_{\rho} g_{1\rho} R^{\rho}_{\ 212} = (LN - M^2) \]

其中 \(R^{\rho}_{\ \sigma\mu\nu}\) 是從 \(\Gamma\) 組出的 Riemann tensor。 因此

\[ K = \frac{R_{1212}}{EG - F^2} \]

而右邊只含 \(\Gamma\) ，而 \(\Gamma\) 只由 \(\mathrm{I}\) 決定： 內蘊！

6.2 用 SymPy 直接驗證：內蘊 K = 外在 K#

我們實作一個通用的 helper 用 \(E, F, G\) 計算 Christoffel 係數 和 Riemann 張量，以及計算 \(K\) 的公式：

import sympy as sp

def christoffel(E, F, G, u, v):
    """給定第一基本形式 (E,F,G)，回傳 Christoffel 係數 Gamma[k][i][j]。

    計算公式：
    Gamma[m][A][B] 之中，q = m 為「上標」；A, B 為對應的「下標」
        Gamma^m_{AB} = (1/2) g^{mq} ( d_B g_{Aq} + d_A g_{Bq} - d_q g_{AB} )
    這裡 g = [[E, F], [F, G]]，d 是對 (u, v) 求 partial derivative。
    """
    g  = sp.Matrix([[E, F], [F, G]])
    ginv = g.inv()
    coords = [u, v]
    gd = [[[sp.diff(g[i, j], coords[l]) for l in range(2)]
            for j in range(2)] for i in range(2)]
    Gamma = [[[None]*2 for _ in range(2)] for _ in range(2)]
    for m in range(2):
        for A in range(2):
            for B in range(2):
                s = 0
                for c in range(2):
                    s += ginv[m, c] * (gd[B][c][A] + gd[A][c][B] - gd[A][B][c]) / 2
                Gamma[m][A][B] = sp.simplify(s)
    return Gamma

def intrinsic_K(E, F, G, u, v):
    """由第一基本形式直接計算高斯曲率（內蘊公式）。"""
    Gamma = christoffel(E, F, G, u, v)
    coords = [u, v]
    def ri(r, sidx, mu, nu):
        """R^r_{sidx mu nu} 的符號約定：
           R^r_{s m n} = d_m Gamma^r_{n s} - d_n Gamma^r_{m s}
                        + Gamma^r_{m,l} Gamma^l_{n,s}
                        - Gamma^r_{n,l} Gamma^l_{m,s}
        """
        s = (sp.diff(Gamma[r][nu][sidx], coords[mu])
             - sp.diff(Gamma[r][mu][sidx], coords[nu]))
        for lam in range(2):
            s += (Gamma[r][mu][lam]*Gamma[lam][nu][sidx]
                  - Gamma[r][nu][lam]*Gamma[lam][mu][sidx])
        return sp.simplify(s)
    # R_{1212} = g_{11} R^1_{2 1 2} + g_{12} R^2_{2 1 2}
    R1212 = sp.simplify(
        (E * ri(0, 1, 0, 1) + F * ri(1, 1, 0, 1)))
    return sp.simplify(R1212 / (E * G - F**2))

# === 球面 ===
R = sp.symbols('R', positive=True)
th, ph = sp.symbols('theta phi', real=True)
r_s = sp.Matrix([R*sp.sin(ph)*sp.cos(th),
                 R*sp.sin(ph)*sp.sin(th),
                 R*sp.cos(ph)])
E = sp.simplify(r_s.diff(th).dot(r_s.diff(th)))
F = sp.simplify(r_s.diff(th).dot(r_s.diff(ph)))
G = sp.simplify(r_s.diff(ph).dot(r_s.diff(ph)))
K_intr = intrinsic_K(E, F, G, th, ph)
print("intrinsic K (sphere) =", K_intr)
# ==>
# intrinsic K (sphere) = 1/R**2

驗證成功了：從 \(\mathrm{I}\) （設定的 \(E, F, G\) ）純 formally 計算， 高斯曲率為 \(1/R^2\) — 跟用 \(\mathrm{II}\) 計算得到的 \(K = 1/R^2\) 一致。

內蘊公式的過程細節（球面）： 在 \(E = R^2 \sin^2\varphi\) 、 \(F = 0\) 、 \(G = R^2\) 的情形， 非零的 Christoffel 係數只有

\[ \Gamma^\theta_{\theta \varphi} = \Gamma^\theta_{\varphi\theta} = \cot\varphi, \quad \Gamma^\varphi_{\theta\theta} = -\tfrac12 \sin 2\varphi \]

代入 Riemann tensor 得 \(R_{\theta\varphi\theta\varphi} = R^2 \sin^2\varphi\) ， 所以 \(K = R^2 \sin^2 \varphi / (R^2 \sin^2\varphi \cdot R^2) = 1/R^2\) 。

6.3 內蘊性的驗證：改參數化，K 應該不變#

我們試試把球面用「Mercator-like」參數去測試。 把 \(\varphi = 2 \arctan(e^s)\) （Mercator 的緯度參數）代入：

\[ \mathbf{r}(\theta, s) = \begin{pmatrix} R \sin\varphi(s) \cos\theta \\ R \sin\varphi(s) \sin\theta \\ R \cos\varphi(s) \end{pmatrix} \]

這個參數化的 \(E, F, G\) 是不同的函數， 但只改變參數化不改變底層數學結構：

import sympy as sp

R = sp.symbols('R', positive=True)
th, s = sp.symbols('theta s', real=True)
ph = 2*sp.atan(sp.exp(s))
r_merc = sp.Matrix([R*sp.sin(ph)*sp.cos(th),
                    R*sp.sin(ph)*sp.sin(th),
                    R*sp.cos(ph)])
E = sp.simplify(r_merc.diff(th).dot(r_merc.diff(th)))
F = sp.simplify(r_merc.diff(th).dot(r_merc.diff(s)))
G = sp.simplify(r_merc.diff(s).dot(r_merc.diff(s)))
print("Mercator E =", sp.simplify(sp.trigsimp(E)))
print("Mercator F =", F)
print("Mercator G =", sp.simplify(sp.trigsimp(G)))
# ==>
# Mercator E = R**2/cosh(s)**2
# Mercator F = 0
# Mercator G = R**2/cosh(s)**2

也就是 \(E = G = R^2 \operatorname{sech}^2(s)\) 。 （ \(\sin\varphi = \operatorname{sech}(s)\) 、 \(\frac{d\varphi}{ds} = \operatorname{sech}(s)\) ， 兩個尺度剛好相同——Mercator 投影因此是保角的： 第一基本形式與平面上的對角縮放度量成比例。） 然後再計算 intrinsic_K，將會發現還是 \(1/R^2\) 。 這是座標不變性的具體感受：

換參數 \((u,v) \neq (u', v')\) 表面「曲率不變」——這是「不變量構成幾何」的 克萊因綱領精神，但現實「內蘊」而不是「外面」的觀察者。

6.4 高斯映射的觀點補充#

另一個外觀角度：從高斯映射看， \(\mathbf{n}\) 的 Jacobian 就是「 \(du \, dv\) 面積成本在球面上變成多少的區域」。 計算結果：

\[ |\mathbf{n}_u \times \mathbf{n}_v| = |K| \cdot \sqrt{EG - F^2} \]

SymPy 驗證（球面）：

R = sp.symbols('R', positive=True)
th, ph = sp.symbols('theta phi', real=True)
r_s = sp.Matrix([R*sp.sin(ph)*sp.cos(th),
                 R*sp.sin(ph)*sp.sin(th),
                 R*sp.cos(ph)])
n = sp.simplify(r_s/R)
A = sp.trigsimp(sp.simplify(n.diff(th).cross(n.diff(ph)).norm()))
print("|n_th x n_ph| =", A)
# ==>
# |n_th x n_ph| = Abs(sin(phi))

把 \(\varphi \in (0, \pi)\) 帶入， \(|\sin\varphi| = \sin\varphi\) ； 除以 \(\sqrt{EG-F^2} = R^2 \sin\varphi\) ，得 \(K = 1/R^2\) ✓。

7. Theorema Egregium 之後的歷史#

黎曼幾何十分自然地自高斯絕妙定理產生。黎曼在 1854 年的 就職演說中問：如果我們允許一個 \(n\) 維空間自己攜帶一組「局部度量」 \(g_{ij}(x)\) ——即第一基本形式的推廣——那麼在這個空間中， 幾何就是由這組 \(g_{ij}\) 完全決定，而不需要嵌入任何外部空間。 愛因斯坦的廣義相對論（1915 年）正是黎曼幾何的實現： 引力就是時空的內蘊曲率。

另一條路徑同樣重要：Beltrami 在 1868 年證明，非歐幾何 （雙曲幾何）可以用負常數曲率的曲面（如偽球面） 的內蘊幾何具實實現——這說明第 6 章討論的非歐幾何 不是代號 play，而是「事實上有某個曲面就是這樣彎」。

8. 小結#

  • 第一基本形式 \(\mathrm{I} = E\,du^2 + 2F\,du\,dv + G\,dv^2\) ： 面內生物可量的距離、角度、面積的「本來屬性」。
  • 第二基本形式 \(\mathrm{II} = L\,du^2 + 2M\,du\,dv + N\,dv^2\) ： 外面觀察者看到曲面的彎曲。
  • 高斯曲率 \(K = (LN-M^2)/(EG-F^2)\) ，然而 內蘊計算 \(K = R_{1212}/(EG-F^2)\) 給出相同結果——這是絕妙定理。
  • 高斯映射 \(\mathbf{n}\) 的面積放大因子正是 \(|K|\sqrt{EG-F^2}\) 。
  • \(K > 0\) 、 \(=0\) 、 \(<0\) 的分別接觸到 正曲率、歐氏、雙曲 的三種現代幾何。

在下一節（9.2），我們會跟上曲線的一半（曲率與 Frenet 框架）以及 曲面的另一半（第一基本形式到度量計算的流程）， 以後用 SymPy 批次跑出曲線與曲面的各種幾何量。

習題 9.1#

編程提示：可直接沿用本章的 first_forms、normal_n、 second_forms、christoffel、intrinsic_K 等函數。

習題 9.1.1（第一基本形式的座標相依性） 平面參數化為 \(\mathbf{r}(u,v) = (u, v, 0)\) ，算出 \(E, F, G\) 。 再考慮變換（座標拉伸） \(\phi(u,v) = (2u, 3v, 0)\) 造成的 新參數化 \(\mathbf{r}(u,v) = (2u, 3v, 0)\) 。兩個 \(E,F,G\) 對， 相等／不等？ \(K\) 各是多少？ （提醒：等距變換要求等距長度不變，但拉伸不是等距變換， 因此 \(E,F,G\) 會改變但 \(K\) 依然是 0。）

習題 9.1.2（用 SymPy 推導平面與圓柱的第二基本形式） 計算平面 \(\mathbf{r}(u,v) = (u, v, 0)\) 及拋物面 \(\mathbf{r}(u,v) = (u, v, u^2 + v^2)\) 在原點附近 \((L, M, N)\) 各是什麼？計算在原點 \((u, v) = (0,0)\) 的 \(K\) 與 \(H\) （ \(H = \frac{EN - 2FM + GL}{2(EG-F^2)}\) ）。 拋物面應給 \(K = 4\) at origin（法向量取 \(\mathbf{n}\) 指向 \(+z\) ）。 （註： \((L, M, N) = (2, 0, 2)\) ， \((E,F,G) = (1, 0, 1)\) ， 故 \(K = (2 \cdot 2 - 0)/(1 \cdot 1) = 4\) ， \(H = (1\cdot 2 + 1 \cdot 2)/(2 \cdot 1 \cdot 1) = 2\) 。）

習題 9.1.3（推導 \(K = (LN - M^2)/(EG - F^2)\) ） 利用 Weingarten 方程（把 \(\mathbf{n}_u, \mathbf{n}_v\) 用切向量基底表出）

\[ \mathbf{n}_u = \frac{F M - G L}{EG - F^2}\,\mathbf{r}_u + \frac{F L - E M}{EG - F^2}\,\mathbf{r}_v, \qquad \mathbf{n}_v = \frac{F N - G M}{EG - F^2}\,\mathbf{r}_u + \frac{F M - E N}{EG - F^2}\,\mathbf{r}_v, \]

推導

\[ \mathbf{n}_u \times \mathbf{n}_v = \frac{LN - M^2}{EG - F^2} \left( \mathbf{r}_u \times \mathbf{r}_v \right) \]

因而 \(K = \dfrac{LN - M^2}{EG - F^2}\) 。 並用 SymPy 代入球面檢查此等式。 （提示： \(\mathbf{n}_w \cdot \mathbf{r}_u = -L_w\) 型的六個數值由 \(\mathbf{n}\cdot\mathbf{r}_{uw} = 0\) 對參數求導得到，其中 \(w \in \{u, v\}\) 。）

習題 9.1.4（絕妙定理之父：Beltrami 偽球面） 偽球面（tractrix 旋轉體）的參數化為

\[ \mathbf{r}(u, v) = (\operatorname{sech}(u) \cos v, \, \operatorname{sech}(u) \sin v, \, u - \tanh(u)) \]

用 SymPy 計算 \(E, F, G\) 與 \(K\) 。 答案應為 \(K = -1\) （也有說是 \(-c^2\) ）， 這是一個負常數曲率曲面—就是雙曲幾何的局部 implement。 （試試看：把 \(\mathbf{r}\) 打入後使用 first_forms 與 intrinsic_K。）

習題 9.1.5（思考題） 考慮一個「內蘊的微小球面」，半徑 \(R\) 。 用本章函數計算它的 \(K\) 。若 \(R\) 是一個符號（R = sp.symbols('R', positive=True)）， 那麼對它做 \(R \to \infty\) 極限，球面會有什麼現象？ 這與「地球表面對我們是局部平面」有什麼聯繫？