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9.2 曲線與曲面：曲率、第一基本形式#

曲率是幾何的「局部天氣」：曲線上它告訴你車要轉多急， 曲面上它告訴你面內生物量到的空間有多彎。

學習動機#

上一節（9.1）我們直奔高斯的絕妙定理，把曲面的「內蘊曲率」一次講完。 但層層推導裡其實藏著兩個更基礎的問題我們太快跳過了：

  1. 一條曲線的曲率到底是什麼？ 為什麼要除以速度的三次方？為什麼曲率與撓率（torsion）能唯一確定 一條曲線的形狀？
  2. 曲面的第一基本形式是怎麼從切向量算出來的？ \(E, F, G\) 究竟如何在 SymPy 流程中一步步現身？

這一節把基礎補齊。歷史上，這一整套「沿曲線運動 → 丈量轉彎的快慢（曲率）」的 框架是運動學的產物：十八世紀的數學家（Euler 建立剛體運動的寫法、 Monge 的葉形幾何及其學生 Dupin、Meusnier）不斷在問： 一輛車沿曲線跑、法向盤撐在轉彎處，切線方向的翻轉有多快？ 接著 Gauss 開啟曲面道路，而 Frenet（以及幾乎同時的 Serret）在 1847 年把曲線框架系統化為 \(\mathbf{T}\) - \(\mathbf{N}\) - \(\mathbf{B}\) 三元組。

這也是本章節內容進一步往第 10 章（電腦圖學的樣條路徑、NURBS）、 以及物理學（Frenet 框架的協變加速、廣義相對論測地線） 鋪路的節骨。

在本節中，我們將：

  1. 參數化一條曲線 \(\mathbf{r}(t)\) ，討論切向量與弧長參數化。
  2. 建立 Frenet–Serret 框架（ \(\mathbf{T}, \mathbf{N}, \mathbf{B}\) ）， 給出曲率 \(\kappa\) 與撓率 \(\tau\) 。
  3. 推導任意參數下的曲率公式 \(\kappa = |\mathbf{r}' \times \mathbf{r}''| / |\mathbf{r}'|^3\) ， 並看到「除以 \(|\mathbf{r}'|^3\) 」是自然的。
  4. 流程化地計算曲面的第一、第二基本形式。
  5. 沿途用 SymPy 驗證（螺旋線、拋物面、球面等）。

1. 參數化曲線：速度決定一切（但曲率不跟速度走）#

一條參數化曲線是

\[ \mathbf{r}(t) = \bigl(x(t), y(t), z(t)\bigr), \quad t \in [a, b] \]

它的速度是

\[ \mathbf{r}\,'(t) = (x'(t), y'(t), z'(t)), \quad |\mathbf{r}\,'(t)| \text{ 是速率} \]

如果速率滿足 \(|\mathbf{r}\,'(t)| = 1\) ，我們稱 \(\mathbf{r}\) 以 弧長參數化（一般用參數 \(s\) 記之）： 這時走過的距離就是參數本身的長度

\[ s(t) = \int_a^t |\mathbf{r}\,'(u)| \, du \]

一條幾何曲線乃是「相同的點集合」的多種參數化中的一種等價類。 其中曲率不跟速度走：無論你以 \(2x\) 速度（比如 \(t = \tilde t / 2\) ） 還是其他參數量測，都得到相同的曲率數值。 這是整節的第一個「不變量」精神：

跟幾何有關的量，需要在任何參數重標下是不變的。

SymPy：弧長#

import sympy as sp

t, s = sp.symbols('t s', real=True)
a, b = sp.symbols('a b', positive=True)

# 螺旋線 (helix)
r = sp.Matrix([a*sp.cos(t), a*sp.sin(t), b*t])
speed = sp.simplify(r.diff(t).norm())
print("speed =", speed)
# ==>
# speed = sqrt(a**2 + b**2)

# 從 t = 0 到 t = s 走了多遠
arc = sp.simplify(sp.integrate(speed, (t, 0, s)))
print("arc length =", arc)
# ==>
# arc length = s*sqrt(a**2 + b**2)

螺旋線的速率是常數 \(\sqrt{a^2 + b^2}\) ：它繞圓柱上升時是一條 直線從平面捲起來的等價物， 而這就是本節第二個重點：曲線與曲面都是『底層幾何 + 參數化方式』的產物。

2. Frenet–Serret 框架#

設 \(\mathbf{r}(t)\) 為一條參數化曲線（ \(\mathbf{r}\,' \neq 0\) ，且 \(\mathbf{r}\,' \times \mathbf{r}\,'' \neq 0\) ， 即曲線局部不塌到直線上）。定義單位切向量

\[ \mathbf{T}(t) = \frac{\mathbf{r}\,'(t)}{|\mathbf{r}\,'(t)|} \]

它是「當下的行進方向」。求導（在弧長參數下會好算很多：以 \(s\) 記之 時 \(\mathbf{T}'(s)\) 就是加速度的切向分量）：

\[ \frac{d\mathbf{T}}{ds} = \kappa \, \mathbf{N}, \quad \kappa = \left| \frac{d\mathbf{T}}{ds} \right| \]

其中 \(\mathbf{N}\) 是「單位主法向量」， \(\kappa\) 是曲率； \(1/\kappa\) 是曲率半徑（曲線逼近的圓半徑）。

再來定義副法向量：

\[ \mathbf{B} = \mathbf{T} \times \mathbf{N} \]

於是 \(\{ \mathbf{T}, \mathbf{N}, \mathbf{B}\}\) 為右手標架， 沿曲線扭著跑。Frenet–Serret 公式：

\[ \frac{d\mathbf{T}}{ds} = \kappa \, \mathbf{N}, \qquad \frac{d\mathbf{N}}{ds} = -\kappa \, \mathbf{B} \times \mathbf{N} = -\kappa \mathbf{T} + \tau \, \mathbf{B}, \qquad \frac{d\mathbf{B}}{ds} = -\tau \, \mathbf{N}, \]

其中 \(\tau\) 是撓率（torsion）：描述曲線脫離平面的速率 （ \(\tau = 0 \Longleftrightarrow\) 曲線是平面曲線）。

「唯一成形」定理（有符號調整）：確定一條帶方向（directed）的曲線， 只需要 \(\kappa(s) > 0\) 和 \(\tau(s)\) 兩個函數——知道曲率的變化方式與 撓率的變化方式，曲線形狀就完全決定（的確是 up to 等距變換）—— 這個 theorem 給了我們一個「曲線被困在自己的曲率中」的圖景， 同時也是第 10 章 CAD 樣條曲線還原曲線的關鍵。

用 SymPy 建構 Frenet 框架#

import sympy as sp

def frenet(r, t):
    """給入參數化曲線 r(t) (SymPy given a matrix)，傳回 T, N, B, kappa, tau。"""
    r1  = sp.Matrix([sp.simplify(x) for x in r.diff(t)])
    spd = sp.simplify(r1.norm())
    T = sp.simplify(r1 / spd)

    T1 = sp.simplify(T.diff(t))
    T1n = sp.simplify(T1.norm())
    kappa = sp.simplify(T1n / spd)           # 參數重標不變
    N  = sp.simplify(T1 / T1n)

    B = sp.simplify(T.cross(N))

    # tau = -dB/ds . N = -(dB/dt . N) / spd
    tau = sp.simplify(-sp.simplify(B.diff(t)).dot(N) / spd)
    return T, N, B, kappa, tau

t = sp.symbols('t', real=True)
a, b = sp.symbols('a b', positive=True)
r_helix = sp.Matrix([a*sp.cos(t), a*sp.sin(t), b*t])
T, N, B, kappa, tau = frenet(r_helix, t)

print("kappa =", kappa)
print("tau =", tau)
# ==>
# kappa = a/(a**2 + b**2)
# tau = b/(a**2 + b**2)

重要驗證：螺旋線的 \(\kappa = a/(a^2 + b^2)\) ， \(\tau = b/(a^2+b^2)\) ， 兩者的比值為 \(\kappa/\tau = a/b\) ——螺旋線的每一圈角度為 \(2\pi b / \sqrt{a^2+b^2}\) 的上升 — 完全由比率 \(\tau / \kappa\) 決定。 雙向驗證：若取 \(b=0\) （純圓），則 \(\tau = 0\) ✓（平面曲線）， 若退化到 \(a = 0\) （可以直接沿 \(z\) 軸走直線），則 \(\kappa = 0\) ✓。

正交性的檢查#

print("T.N =", sp.simplify(T.dot(N)))
print("T.B =", sp.simplify(T.dot(B)))
print("N.B =", sp.simplify(N.dot(B)))
# ==>
# T.N = 0  T.B = 0  N.B = 0

3. 任意參數下的曲率公式：為什麼除以 \(|\mathbf{r}'|^3\)#

上一段我們定義 \(\kappa = |d\mathbf{T}/ds|\) ，但在實作層面， 把 \(s(t)\) 求出再重參數化，計算代價不小。 幸好有一條可以在任意參數下直接使用的公式

\[ \kappa = \frac{ \left| \mathbf{r}\,' \times \mathbf{r}\,'' \right| } { \left| \mathbf{r}\,' \right|^3 } \]

直觀推導（用一個 \(\times\) 的幾何意義）：

\(\mathbf{r}\,' = v \mathbf{T}\) （ \(v = |\mathbf{r}\,'|\) 為速率），求導：

\[ \mathbf{r}\,'' = v\,' \, \mathbf{T} + v \frac{d\mathbf{T}}{dt} \]

利用 \(\dfrac{d\mathbf{T}}{dt} = v \, \dfrac{d\mathbf{T}}{ds} = v \kappa \mathbf{N}\) （連鎖法則）：

\[ \mathbf{r}\,'' = v\,' \, \mathbf{T} + v^2 \kappa \, \mathbf{N} \]

叉積：

\[ \mathbf{r}\,' \times \mathbf{r}\,'' = v \mathbf{T} \times ( v\,' \mathbf{T} + v^2 \kappa \mathbf{N}) = v^3 \kappa \, (\mathbf{T} \times \mathbf{N}) \]

取長度即得 \(\left| \mathbf{r}\,' \times \mathbf{r}\,'' \right| = v^3 \kappa\) 。 除以 \(v^3\) 的來源一目了然：一項來自速度大小線性增益 × 兩項來自於加速度轉向分量的 \(v^2\) 增益。這條公式也讓對 任何參數化下、無需重參數化即可算曲率 ✓。

SymPy 推導：用符號 \(x(t), y(t)\) 做二維公式#

import sympy as sp

t = sp.symbols('t', real=True)
x, y = sp.Function('x')(t), sp.Function('y')(t)

# 二維情形：把「叉積」用 z-分量方式 (wedge = x'y'' - x''y') 表示，
# 並給出相應的 |r'|^3 = (x'^2 + y'^2)^(3/2)
w     = sp.simplify(x*sp.diff(y, t, 2) - sp.diff(x, t, 2)*y)
k2d   = sp.simplify(w / (sp.diff(x,t)**2 + sp.diff(y,t)**2)**sp.Rational(3, 2))
print("kappa_2D =", k2d)
# ==>
# kappa_2D = (x(t)*Derivative(y(t), (t, 2))
#             - y(t)*Derivative(x(t), (t, 2))) /
#            (Derivative(x(t), t)**2 + Derivative(y(t), t)**2)**(3/2)

代入拋物線 \(\mathbf{r}(t) = (t, t^2)\) ：

tt = sp.symbols('tt', real=True)
r_p = sp.Matrix([tt, tt**2, sp.Integer(0)])   # 熱身：加個 0 進來化為三維
rx = sp.simplify(r_p.diff(tt).cross(r_p.diff(tt, 2)))
kappa = sp.simplify(rx.norm() / r_p.diff(tt).norm()**3)
print("parabola kappa =", kappa)
print("kappa at vertex =", kappa.subs(tt, 0))
# ==>
# parabola kappa = 2/(4*tt**2 + 1)**(3/2)
# kappa at vertex = 2

驗證：對 \(y = a x^2\) 型的拋物線，頂點處 \(y\,'' = 2a\) （切線水平、 所以 \(d\mathbf{T}/ds\) 恰為 \(y''\) ），故頂點曲率 \(\kappa(0) = 2a\) ； 當 \(a = 1\) 時 \(\kappa = 2\) 、曲率半徑 \(1/\kappa = 1/2\) ✓。 它不只是熟能生巧——第 10 章我們還會再把這個頂點曲率半徑帶進 樣條曲線中。

注意：速度影響分子分母同時#

如果用一個「重參數化」 \(\mathbf{r}(t) = \tilde{\mathbf{r}}(\varphi(t))\) ， 這兩個分量將會同時個別改變； 而它們的比值，經分母的三次方抵銷，是不變的。 這是曲率 在「參數相對性」下的 invariance——一個提前的小克萊因綱領。 SymPy 可以驗證這不變性（習題 9.2.3）。

4. 撓率（torsion）：曲線如何「逃離平面」#

撓率 \(\tau\) 的意義是：副法向量 \(\mathbf{B}\) 沿弧長旋轉的速率。 跟曲率不同的是，撓率允許正負（ \(\mathbf{B}\) 往左偏或往右偏）； 兩個手性且鏡像的螺旋線有相同的曲率但 \(\tau\) 的符號相反。

任意參數下之公式等同（用 \(\mathbf{r}'''\cdot (\mathbf{r}'\times \mathbf{r}'')\) ）：

\[ \tau = \frac{ \left( \mathbf{r}\,' \times \mathbf{r}\,'' \right) \cdot \mathbf{r}\,''' } { \left| \mathbf{r}\,' \times \mathbf{r}\,''\right|^2 } \]

用 SymPy 檢查兩套公式：

import sympy as sp

t = sp.symbols('t', real=True)
a, b = sp.symbols('a b', positive=True)
r_helix = sp.Matrix([a*sp.cos(t), a*sp.sin(t), b*t])

# 法一：Frenet 一步步
r1 = sp.simplify(r_helix.diff(t))
T  = sp.simplify(r1 / r1.norm())
T1 = sp.simplify(T.diff(t)); T1n = sp.simplify(T1.norm())
N  = sp.simplify(T1 / T1n)
B  = sp.simplify(T.cross(N))
tau1 = sp.simplify(-sp.simplify(B.diff(t)).dot(N) / r1.norm())
print("tau (Frenet, all-parameter) =", tau1)
# ==>
# tau (Frenet, all-parameter) = b/(a**2 + b**2)

# 法二：純行列式公式
r2 = sp.simplify(r_helix.diff(t).cross(r_helix.diff(t, 2)))
tau2 = sp.simplify(r2.dot(r_helix.diff(t, 3)) / r2.norm()**2)
print("tau (det formula) =", tau2)
# ==>
# tau (det formula) = b/(a**2 + b**2)

驗證：兩個公式一致 ✓。並且取 \(b \to 0\) 得 \(\tau \to 0\) （平面 ✓）。

5. 從曲線到曲面：第一基本形式的計算流程#

現在我們回頭確實建立曲面的計算流程。 在 9.1 我們已經給了 \(E, F, G\) 的定義；在這裡，把它變成 五步清楚、可重複的流程，讓每一步對應一個 SymPy 函數。

5.1 五步流程#

一個通用的 SymPy 曲面幾何 helper：

import sympy as sp

def surf_geometry(r, u, v, normal_manual=None):
    """給一個參數化曲面 r(u,v)，回傳其
       (E, F, G), (L, M, N), K, H, n, det_metric。
    參數 normal_manual 可指定 n 的符號化（例如 n = r/R for 球面）。
    """
    ru  = r.diff(u)
    rv  = r.diff(v)

    E = sp.simplify(ru.dot(ru))
    F = sp.simplify(ru.dot(rv))
    G = sp.simplify(rv.dot(rv))

    cru = sp.simplify(ru.cross(rv))
    if normal_manual is None:
        n = sp.simplify(cru / cru.norm())
    else:
        n = normal_manual

    L = sp.simplify(r.diff(u, 2).dot(n))
    M = sp.simplify(sp.simplify(r.diff(u, 1, v, 1)).dot(n))
    N = sp.simplify(r.diff(v, 2).dot(n))

    det_metric = sp.simplify(E*G - F**2)
    K = sp.simplify((L*N - M*M) / det_metric)
    H = sp.simplify((E*N - 2*F*M + G*L) / (2*det_metric))
    return (E, F, G), (L, M, N), K, H, n, det_metric

5.2 球面：美得對稱#

R = sp.symbols('R', positive=True)
th, ph = sp.symbols('theta phi', real=True)
r_s = sp.Matrix([R*sp.sin(ph)*sp.cos(th),
                 R*sp.sin(ph)*sp.sin(th),
                 R*sp.cos(ph)])

n_manual = sp.simplify(r_s / R)     # 用幾何直覺選定法向量（避免 Abs(sin) 這種代數噪音）
(E, F, G), (L, M, N), K, H, n, detG = surf_geometry(
    r_s, th, ph, normal_manual=n_manual)

print("E, F, G =", E, F, G)
print("L, M, N =", sp.trigsimp(L), sp.trigsimp(M), sp.trigsimp(N))
print("K =", K, "   H =", sp.trigsimp(H))
print("det G =", detG)
# ==>
# E, F, G = R**2*sin(phi)**2 0 R**2
# L, M, N = -R*sin(phi)**2 0 -R
# K = 1/R**2   H = -1/R
# det G = R**4*sin(phi)**2

幾何上的注解：

  • \(E, F, G\) 中「 \(G\) 恰為 \(R^2\) 」而「 \(E\) 乘上 \(\sin^2\varphi\) 」： 沿經度（ \(\theta\) ）走時，愈靠近極點，同一個 \(d\theta\) 走得愈短—— 這正是地表測量早就知道的事實（高緯度的兩條經線比較靠近）。
  • \(\mathrm{II} = -R ( \sin^2\varphi \, d\theta^2 + d\varphi^2 )\) ， 球面「每一個方向都是一樣彎」：它是 \(K\) 常數曲面的代表案例。
  • \(H = -1/R\) 的負號來自法向量選擇：我們取了 \(\mathbf{n} = \mathbf{r}/R\) （指向球外）；若改取 \(\mathbf{n} = -\mathbf{r}/R\) （指向球心，這也是 \(\mathbf{r}_\theta \times \mathbf{r}_\varphi\) 的自然朝向），便得 \(H = +1/R\) 。 而 \(K = 1/R^2\) 不受影響：這就說明 \(K\) 不依賴法向量的選擇、 \(H\) 依賴（這就是 9.1 那個絕妙定理的細節張力）。

5.3 圓柱面：可以攤平的曲面#

u, v = sp.symbols('u v', real=True)
a = sp.symbols('a', positive=True)
r_c = sp.Matrix([a*sp.cos(v), a*sp.sin(v), u])

(E, F, G), (L, M, N), K, H, n, detG = surf_geometry(r_c, u, v)
print("E, F, G =", E, F, G)
print("L, M, N =", L, M, N)
print("K =", K, "   H =", H)
# ==>
# E, F, G = 1 0 a**2
# L, M, N = 0 0 a
# K = 0   H = 1/(2*a)

重要事實： \(K = 0\) 但 \(H \neq 0\) 。 圓柱面在外面看是有「彎」（ \(\mathrm{II}\) 有一個非零方向）， 但在裡面看是「平」的：螞蟻在圓柱面內的各種量測 （三角形內角和、圓周長）跟在平面一樣。 這就是曲率無共存現象（彈性之 vs 形之）的簡單例子——紙捲成柱面不會撕破， 是因為這個過程是等距變換（保留 \(E, F, G\) 、因而保留 \(K\) = 0）。 這其實也是日常生活的事實：只有 Gaussian 曲率 0 的曲面可被展開成平面 （在一張紙上折角、捲成筒可以，捲成球殼不行—這就是「地圖不可能完美」的根源）。

5.4 鞍面：負曲率的例子#

x, y = sp.symbols('x y', real=True)
r_d = sp.Matrix([x, y, x**2 - y**2])    # 雙曲拋物面

(E, F, G), (L, M, N), K, H, n, detG = surf_geometry(r_d, x, y)
print("E, F, G =", E, F, G)
print("n =", n.T)
print("K =", K)
print("H =", H)
# ==>
# E, F, G = 4*x**2 + 1 -4*x*y 4*y**2 + 1
# n = Matrix([[-2*x/sqrt(4*x**2 + 4*y**2 + 1)],
#             [2*y/sqrt(4*x**2 + 4*y**2 + 1)],
#             [1/sqrt(4*x**2 + 4*y**2 + 1)]])
# K = -4/(16*x**4 + 32*x**2*y**2 + 8*x**2 + 16*y**4 + 8*y**2 + 1)
# H = 4*(y**2 - x**2)/(4*x**2 + 4*y**2 + 1)**(3/2)

注解：

  • \(E = 4x^2 + 1\) 、 \(F = -4xy\) 、 \(G = 4y^2 + 1\) ： 這是一個「隨位置變化的度量」——這正是 9.1 的 \(\mathrm{I}\) 的意義：畢氏定理的局部變體。
  • \(K < 0\) ：鞍面上三角形內角和小於 \(180°\) （在離原點愈近的位置情形愈接近 \(180°\) ，因為 \(K(0,0) = -4\) 但 愈遠愈趨近 0）。
  • 在原點 \(K = -4\) ；在遠離處 \(K \to 0\) （漣漪展開直線化）。

6. 從測量的視角：內蘊與外蘊#

內蘊的資訊（第一基本形式與其推衍——曲率 \(K\) 、測地線、面積、 角和等）是面內生物可測；外蘊的資訊（第二基本形式、平均曲率 \(H\) 的符號等等）則需要含「附件」的空間才能知道。

這種二分是本書第 6 章黎曼幾何的主體： 在黎曼之前的說法，空間默認「放在某個更大的空間裡、 從外面量」；黎曼之後，空間自己攜帶度量 \(g_{ij}\) （就是第一基本形式的推廣），以及伴隨的曲率張量 \(R^i{}_{jkl}\) （就是 Christoffel 推衍的推廣），從此全 內蘊。

所以說，「曲率與第一基本形式」不只是微分的工具， 而是把「幾何分成內蘊／外蘊」這門思想革命的文章。

7. 小結#

  • 曲線：先用弧長重參數化，再得到各種參數無關的不變量： Frenet \(\mathbf{T} - \mathbf{N} - \mathbf{B}\) 框架、 \(\kappa\) 與 \(\tau\) 完全決定曲線的形狀（唯一成形定理）。公式 \(\kappa = |\mathbf{r}'\times\mathbf{r}''|/|\mathbf{r}'|^3\) 、 \(\tau = (\mathbf{r}'\times\mathbf{r}'') \cdot \mathbf{r}''' / |\mathbf{r}'\times\mathbf{r}''|^2\) 可以直接由 SymPy 推導。
  • 曲面： 五步流程（ \(E, F, G\) → \(\mathbf{n}\) → \(L, M, N\) → \(K, H\) ）是牢記節奏；接著 9.3 這一節我們將用這個流程在 程式上帶入參數化，自動計算 \(K\) 。
  • 內蘊 vs 外蘊：第一基本形式是內蘊量、 第二基本形式與 \(H\) 的符號則是外蘊量—— 這是古典微分幾何觀念的根基。

在下一節（9.3）我們會用一系列完整的 SymPy 演則——球面、圓柱面、 鞍面——把以上的流程具體化，讓一套 helper 在任意情況下都可工作。

習題 9.2#

編程提示：沿用本章之 frenet(r, t)、surf_geometry(r, u, v, normal_manual) 等函數。

習題 9.2.1（橢圓的曲率） 橢圓參數化為 \(\mathbf{r}(t) = (a\cos t, b\sin t, 0)\) ， \(a, b > 0\) 。 用本節之輔助函式計算 \(\kappa(t)\) ；然後計算在 \((a, 0)\) 與 \((0, b)\) 處的曲率，並驗證「極大曲率在長軸端點」。 （答案： \(\kappa(t) = \dfrac{ab}{(a^2\sin^2 t + b^2\cos^2 t)^{3/2}}\) ， 故 \(\kappa(a, 0) = a/b^2\) 、 \(\kappa(0, b) = b/a^2\) 。）

習題 9.2.2（平面曲線 \(\tau = 0\) ） 三維空間中的平面曲線，例如 \(\mathbf{r}(t) = (\cos t, \sin t, 0)\) ， 確認其 \(\tau(t) = 0\) ；與其推廣 \(\mathbf{r}(t) = (\cos t, \sin t, \cos t + \sin t)\) ——仍在某個平面裡面（是哪個平面？）——也驗證 \(\tau = 0\) 。 （提示：三個座標滿足 \(z = x + y\) ，所以曲線整條落在平面 \(z = x + y\) 上。）

習題 9.2.3（參數重標的不變性） 考慮曲線 \(\tilde{\mathbf{r}}(s) = (\cos s, \sin s, s)\) （單位螺旋線）， 再做重參數化 \(\mathbf{r}(t) = \tilde{\mathbf{r}}(2t)\) 。 分別計算 \(\kappa_{\tilde{\mathbf{r}}}\) 與 \(\kappa_{\mathbf{r}}\) ，確認相等。 （解釋： \(\mathbf{r}\,' = 2\tilde{\mathbf{r}}\,'\) 、 \(\mathbf{r}\,'' = 4\tilde{\mathbf{r}}\,''\) ，所以分子 \(|\mathbf{r}\,'\times\mathbf{r}\,''|\) 變成 \(8\) 倍，而分母 \(|\mathbf{r}\,'|^3\) 也變成 \(8\) 倍——比值不變。）

習題 9.2.4（第一基本形式矩陣） 在雙曲拋物面 \(\mathbf{r}(x, y) = (x, y, x^2 - y^2)\) 上，用 surf_geometry 算出 \(E, F, G\) 。把它寫成矩陣 \(\mathbf{G}[x,y] = \begin{pmatrix} E & F \\ F & G \end{pmatrix}\) ， 計算 \(\det \mathbf{G}\) ，並化簡。你應該得到 \(\det \mathbf{G} = 4x^2 + 4y^2 + 1 = |\mathbf{r}_x \times \mathbf{r}_y|^2\) ， 這正是面積元素 \(dA = \sqrt{\det \mathbf{G}}\, dx\, dy\) 的出處： 第一基本形式不只是量長度，也是量面積。

習題 9.2.5（思考題：同一平面的兩種度量） 考慮「極座標」參數化的平面 \(\mathbf{r}(r, \theta) = (r\cos\theta, r\sin\theta, 0)\) 。 計算 \(E, F, G\) （你應得到 \(E = 1, F = 0, G = r^2\) ，仍指向同一個平面） 與它跟直角座標參數化 \(\mathbf{r}(u, v) = (u, v, 0)\) 的 \(E = 1, F = 0, G = 1\) 比較。 兩個參數化描述同一個平面； \(E, F, G\) 卻不同—— 這說明第一基本形式是「參數化 + 曲面」的資料、 而非曲面單獨的資料。用 intrinsic_K（9.1 節）驗證兩組 \((E,F,G)\) 算出之 \(K\) 都是 \(0\) 。