用 SymPy 學微分幾何：從向量微積分到廣義相對論#

本書是一本 用 SymPy 親手計算來學微分幾何 的書。

微分幾何是描述「彎曲」的數學 —— 曲線的曲率、曲面的高斯曲率、時空的愛因斯坦方程。傳統課程充滿冗長的指標運算，一個 Christoffel symbol 算錯一個下標就全盤皆輸。SymPy 的 sympy.diffgeom、sympy.vector 與 EinsteinPy 生態讓這些計算 變成程式：你可以宣告座標系、算度量張量、求 Christoffel symbols、驗證 Bianchi 恆等式 —— 電腦代勞繁瑣，你專注幾何直覺。

路線一氣呵成：曲線與曲面（微分幾何入門）→ 向量微積分（梯度、散度、旋度）→ 廣義斯托克斯定理（微分形式與外微分）→ 曲率與張量 → 廣義相對論（史瓦西解）。讀完本書，你將能看懂 《Nature》上的黑洞論文在算什麼，也能用 SymPy 驗證你自己的每一個計算。

本書特色#

• 電腦代勞指標地獄：Christoffel symbols、Riemann 張量全部由程式計算，杜絕手算錯誤
• 雙軌對照：每個量都同時給出「幾何直覺圖解」與「SymPy 程式碼」
• 一條龍故事線：從平面曲線的曲率一路推到愛因斯坦場方程，每章都是下一章的工具
• 真實驗證：重算史瓦西解、驗證時空的 \(R_{\mu\nu}=0\) ，親手確認 1915 年的計算
• 零背景入門：只需微積分（多元）基礎；向量微積分在第 3 章重新完整教過

目錄#

• 第1章-曲線：一維世界的幾何

  • 1.1-參數曲線與弧長：位置向量 \(\gamma(t)\) 的微積分
  • 1.2-Frenet 標架：切線、法線、曲率與撓率
  • 1.3-平面曲率 vs 空間曲率：SymPy 的 diffgeom 實戰
  • 1.4-專案：螺線族 曲率與撓率的完整探索

• 第2章-曲面：二維世界的彎曲

  • 2.1-參數曲面與第一基本形式：度量張量初登場
  • 2.2-高斯曲率與平均曲率：球面是彎的、柱面是平的
  • 2.3-Gauss 神奇定理：內在幾何的誕生
  • 2.4-測地線：曲面上「最直」的路

• 第3章-向量微積分：物理學的語言

  • 3.1-向量場與梯度場： \(\nabla\) 的完整導論
  • 3.2-散度與旋度：通量與環流的微分語言
  • 3.3-曲線積分與曲面積分：功、通量的計算
  • 3.4-sympy.vector 實戰：座標系的切換與保守場驗證

• 第4章-經典積分定理：通往一般化的階梯

  • 4.1-Green 定理：平面上的面積公式
  • 4.2-散度定理：Gauss 的通量守恆
  • 4.3-古典 Stokes 定理：環流與旋度
  • 4.4-三定理的統一視野：為什麼需要微分形式

• 第5章-微分形式：積分定理的一般語言

  • 5.1-楔積與外代數：反對稱的結構
  • 5.2-外微分 \(d\) ：統一 grad、div、curl 的神奇算子
  • 5.3-* 拉普拉斯運算子
  • 5.4-廣義斯托克斯定理： \(\int_M d\omega = \int_{\partial M} \omega\)

• 第6章-流形：彎曲空間的舞台

  • 6.1-什麼是流形：局部平直、全局彎曲
  • 6.2-座標卡與圖冊：地圖集的比喻
  • 6.3-切空間與切叢：住在流形上的向量
  • 6.4-度量張量：在流形上量長度

• 第7章-張量與聯絡

  • 7.1-張量是什麼：座標變換下的行為
  • 7.2-Christoffel symbols 與協變導數：直線的定義
  • 7.3-Levi-Civita 聯絡：度量決定一切的定理
  • 7.4-平行移動與測地線方程：SymPy 驗證球面測地線

• 第8章-曲率張量：彎曲的代價

  • 8.1-Riemann 曲率張量：圖解 + SymPy 完整計算
  • 8.2-Ricci 張量與純量曲率：愛因斯坦的濃縮
  • 8.3-Einstein 張量與 Bianchi 恆等式
  • 8.4-EinsteinPy 實戰：指標地獄的結束

• 第9章-狹義相對論：時空的督學

  • 9.1-Minkowski 幾何：時間是第四維
  • 9.2-Lorentz 變換：雙曲旋轉與不變量
  • 9.3-四維速度、動量與 E=mc²
  • 9.4-電磁場的相對論形式： \(F_{\mu\nu}\) 與 Maxwell

• 第10章-廣義相對論：時空即幾何

  • 10.1-等效原理：重力即加速度的幾何化
  • 10.2-Einstein 場方程： \(G_{\mu\nu} = 8\pi T_{\mu\nu}\) 的完整導讀
  • 10.3-專案：重算史瓦西解（1915 達倫）
  • 10.4-前沿：黑洞、重力波與宇宙學簡介

閱讀方式#

• 程式即草稿紙：所有 Christoffel symbols、曲率張量的計算都建議用 SymPy 重跑
• 圖形先行：1–4 章大量依賴 Matplotlib 3D 圖，請務必跑出來看
• 章節依賴：第 1–2 章是微分幾何入門，第 3–5 章是向量微積分與形式（皆為第 7–8 章的預備），第 9–10 章是相對論應用
• 趕時間的讀者：2 → 3 → 5.4 → 7 → 8 → 10.3 這條主軸可直達史瓦西解

需要的背景知識#

• 一元微積分（紮實程度）與基本的多元微積分概念
• 線性代數基礎（矩陣、行列式）—— 第 6–8 章會用到張量的矩陣語言
• 不需要拓樸或流形先驗知識 —— 第 6 章會從直覺教起
• 程式只需要 Python/SymPy 基礎（本系列《用 SymPy 學數學》第 1–5 章程度）

與本系列其他書的關係#

• 《用 SymPy 學數學》：本書是其在幾何/物理方向的續篇，程式風格一致
• 《用 NumPy 學線性代數》：張量與 SVD、度量矩陣的直覺相通
• 《用 Lean 學數學》：若你想 形式化 微分幾何定理，請往那邊走