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01.1 參數曲線與弧長#

本節目標#

  • 理解參數曲線 \(\gamma(t) = (x(t), y(t), z(t))\) 的幾何意義，以及「參數」在曲線上扮演的角色。
  • 學會對位置向量微分： \(\gamma'(t)\) 就是曲線的「速度向量」，其方向為切線方向、大小為速率。
  • 推導並計算弧長積分 \(s=\int\|\gamma'\|\,dt\) 。
  • 認識「以 \(t\) 為參數」與「以弧長 \(s\) 為參數」的差異，理解等速（arc-length）參數化的重要性。
  • 用 SymPy 的 diff、integrate、Matrix 實作上述所有計算。

幾何直覺：一條被「時間」走過的曲線#

想像一隻螞蟻在紙上或空間中爬行。牠在每個時刻 \(t\) 都有一個位置，把所有位置按時間順序連起來，就是一條參數曲線：

\[ \gamma(t) = (x(t), y(t), z(t)), \quad t \in [a, b] \]

關鍵觀念：同一條曲線可以有無限多種參數化。例如 \(\gamma_1(t) = (\cos t, \sin t)\) 與 \(\gamma_2(t) = (\cos 2t, \sin 2t)\) 描出的都是單位圓，但前者花 \(2\pi\) 的「時間」走完一圈，後者只花 \(\pi\) 。曲線（幾何物件）與參數化（走法）是兩件不同的事。

微分幾何學中最重要的不變量之一就是弧長——它不隨參數化改變。

速度向量：對位置向量微分#

把 \(\gamma(t)\) 視為位置向量，對 \(t\) 微分就是對每個分量微分：

\[ \gamma'(t) = (x'(t), y'(t), z'(t)) \]
  • 方向： \(\gamma'(t)\) 指向曲線在該點的切線方向（朝參數增加的方向）。
  • 大小： \(\|\gamma'(t)\| = \sqrt{x'^2 + y'^2 + z'^2}\) 是「速率」，即該瞬間走多快。

若 \(\|\gamma'(t)\| = 1\) 對所有 \(t\) 成立，我們稱 \(\gamma\) 是單位速率（unit-speed）或以弧長為參數的曲線。這是微分幾何最喜歡的參數化，原因將在下一節 Frenet 標架中明朗。

弧長：把每一步的長度加起來#

微小時間 \(dt\) 內，質點移動的距離約為 \(\|\gamma'(t)\|\,dt\) （局部上近似直線）。把所有小段加總，取極限即得積分：

\[ s = \int_a^b \|\gamma'(t)\|\, dt = \int_a^b \sqrt{x'(t)^2 + y'(t)^2 + z'(t)^2}\, dt \]

弧長是幾何量，不依賴參數化的選擇：換參數化只會改變被積函數的樣子，積分值不變。

更進一步，我們可以定義弧長函數

\[ s(t) = \int_a^t \|\gamma'(u)\|\, du \]

若 \(\|\gamma'\| > 0\) （曲線不停在原地）， \(s(t)\) 是嚴格遞增函數，可以反解 \(t = t(s)\) ，代入 \(\gamma\) 得到以弧長為參數的新曲線 \(\Gamma(s) = \gamma(t(s))\) 。此時 \(\|\Gamma'(s)\| = 1\) 恆成立——這就是等速參數化：弧長每增加 1，位置恰好沿曲線前進 1 單位。

以 \(t\) 為參數 vs. 以 \(s\) 為參數#

面向 一般參數 \(t\) 弧長參數 \(s\)
物理意義 時間（可快可慢） 沿曲線走了多遠
\(\|\gamma'\|\) 任意（可依 \(t\) 變動） 恆等於 \(1\)
幾何公式 常較複雜（含修正因子） 最簡潔（如曲率 \(\kappa=\|\gamma''\|\) ）
SymPy 運算 直接 diff 需先求 \(s(t)\) 再反解，常無初等封閉形式

實務上：大多數曲線（例如螺旋線、一般擺線）的 \(s(t)\) 反解不出初等函數，因此微分幾何發展出「在一般參數下也成立的公式」（見 01.2、01.3 節），讓我們不必真的做反解。但理解弧長參數化的概念，仍是讀懂所有定理的前提。

SymPy 實作：位置向量、速度與弧長#

SymPy 中最自然的做法是用 Matrix 表示 \(\gamma(t)\) ，用 diff 微分，用 norm 取大小，用 integrate 積分。

基本工具#

import sympy as sp

t = sp.symbols('t', real=True)

# 定義一條參數曲線：螺旋線
a, b = sp.symbols('a b', positive=True)
gamma = sp.Matrix([a*sp.cos(t), a*sp.sin(t), b*t])

# 速度向量 = 對 t 微分
velocity = gamma.diff(t)
print("γ'(t) =", velocity.T)

# 速率 = 速度向量的範數
speed = sp.sqrt(velocity.dot(velocity))
print("||γ'(t)|| =", sp.simplify(speed))

輸出：

γ'(t) = Matrix([[-a*sin(t), a*cos(t), b]])
||γ'(t)|| = sqrt(a**2 + b**2)

螺旋線的速率是常數 \(\sqrt{a^2+b^2}\) ——它以等速上升又等速旋轉，所以整體等速。

計算一段弧長#

# 從 t=0 到 t=2*pi 的弧長
L = sp.integrate(sp.sqrt(velocity.dot(velocity)), (t, 0, 2*sp.pi))
print(L)   # 2*sqrt(a**2 + b**2)*pi

以弧長重新參數化（可瑞士刀式操作）#

# 弧長函數 s(t)
s = sp.Function('s')

s_of_t = sp.integrate(sp.sqrt(velocity.dot(velocity)), (t, 0, t))
print("s(t) =", s_of_t)   # sqrt(a**2 + b**2)*t

# 反解 t（此處是線性關係，可以反解）
t_of_s = sp.solve(sp.Eq(s_of_t, sp.Symbol('s')), t)[0]
Gamma = gamma.subs(t, t_of_s)
print("γ(s) =", Gamma.T)
# 檢驗：||dΓ/ds|| 應為 1
Gamma_s = Gamma.diff(sp.Symbol('s'))
print(sp.simplify(sp.sqrt(Gamma_s.dot(Gamma_s))))   # 1

這裡螺旋線的 \(s(t)=\sqrt{a^2+b^2}\,t\) 是線性函數，反解容易。但對像擺線這類曲線，solve 會失敗或給出隱式解——這是正常的，也是後面「一般參數公式」存在的理由。

動手實驗#

實驗 1：圓的弧長

import sympy as sp
t = sp.symbols('t', real=True)
r = sp.symbols('r', positive=True)

circle = sp.Matrix([r*sp.cos(t), r*sp.sin(t), 0])
v = circle.diff(t)
L = sp.integrate(sp.sqrt(v.dot(v)), (t, 0, 2*sp.pi))
print(L)      # 應得 2*pi*r

改變積分上限到 \(T\) ，確認弧長為 \(rT\) ；再改參數化為 \((r\cos 2t, r\sin 2t, 0)\) ，跑同一行程式——弧長不變，驗證「弧長是幾何量」。

實驗 2：螺旋線的弧長與「每圈爬升」

a, b = sp.symbols('a b', positive=True)
gamma = sp.Matrix([a*sp.cos(t), a*sp.sin(t), b*t])
v = gamma.diff(t)
L1 = sp.integrate(sp.sqrt(v.dot(v)), (t, 0, 2*sp.pi))
print("一圈弧長:", sp.simplify(L1))          # 2*pi*sqrt(a**2+b**2)
print("一圈爬升高度:", gamma.subs(t, 2*sp.pi)[2] - gamma.subs(t, 0)[2])  # 2*pi*b
# 幾何直覺：一圈弧長^2 = (圓周部分)^2 + (爬升部分)^2 ？用勾股定理檢驗：
print(sp.simplify(L1**2 - ((2*sp.pi*a)**2 + (2*sp.pi*b)**2)))   # 應為 0

實驗 3：橢圓弧長沒有初等封閉形式

A, B = sp.symbols('A B', positive=True)
ellipse = sp.Matrix([A*sp.cos(t), B*sp.sin(t), 0])
v = ellipse.diff(t)
sp.integrate(sp.sqrt(v.dot(v)), (t, 0, 2*sp.pi))

你會發現 SymPy 無法給出封閉形式（結果涉及橢圓積分 elliptic_e）。這不是 SymPy 不夠強——數學上就是沒有初等反導數。可改用數值：sp.integrate(...).evalf()。

實驗 4（挑戰）：擺線的弧長反而有封閉形式

擺線 \(\gamma(t) = (t - \sin t,\ 1 - \cos t,\ 0)\) ，計算 \(t\in[0, 2\pi]\) 的弧長，你應得到 \(8\) （半徑為 1 的滾圓）。試著解釋為什麼速度會在 \(t=0\) 處變成零、這對「以弧長反解 \(t\) 」造成什麼麻煩。

小結與練習#

本節重點

  1. 參數曲線是「幾何路徑 + 走法」，同一曲線可有許多參數化。
  2. \(\gamma'(t)\) 是速度向量：方向為切線、大小為速率。
  3. 弧長 \(s=\int\|\gamma'\|\,dt\) 是參數化不變量。
  4. 等速參數化（ \(\|\gamma'\|\equiv 1\) ）讓幾何公式最簡潔，但常無法初等反解。
  5. SymPy 三件套：Matrix 表示曲線、diff 求速度、integrate 積弧長。

練習

  1. 用 SymPy 計算曲線 \(\gamma(t) = (t, t^2, \tfrac{2}{3}t^{3/2})\) 在 \([0,1]\) 上的弧長。（提示：根號內會是完全平方，先 sp.simplify 再積分。）
  2. 將圓 \(\gamma(t) = (\cos t, \sin t)\) 以弧長參數化，寫出 \(\Gamma(s)\) 並用 SymPy 驗證 \(\|\Gamma'(s)\|=1\) 。
  3. 證明（或用 SymPy 符號驗證）：若 \(\varphi\) 是可微的嚴格遞增函數，則 \(\gamma(t)\) 與 \(\tilde\gamma(u) = \gamma(\varphi(u))\) 的總弧長相同。
  4. 求一個 \(b\) 值使螺旋線 \(\gamma(t)=(\cos t, \sin t, bt)\) 一圈的弧長恰等於 \(4\pi\) 。
  5. 實驗：對「實驗 4」的擺線畫出速率函數 \(\|\gamma'(t)\|\) 隨 \(t\) 的圖形（可用 sp.plot），觀察它在哪些點為零，並討論這對弧長參數化意味著什麼。