01.2 Frenet 標架#

本節目標#

定義曲線的活動標架：切向量 \(T\) 、法向量 \(N\) 、副法向量 \(B\) ，並理解其幾何意義。
用「軌道火車」的比喻掌握/Frenet 標架沿曲線移動時的滾轉、俯仰行為。
定義曲率 \(\kappa\) 與撓率 \(\tau\) ，理解它們分別量化「轉彎」與「離開平面」。
整理 Frenet–Serret 公式，作為整本書的基本引擎。
學會非弧長參數下的曲率公式 \(\kappa = \|\gamma'\times\gamma''\|/\|\gamma'\|^3\) ，體會它的實用價值。

幾何直覺：一輛沿曲線行駛的火車#

想像一輛侏儸紀公園式的單軌小火車沿著空間曲線行駛。車廂上有一組固定在三個軸上的指針：

**切向量 \(T\) **：指向車頭前進方向。
**法向量 \(N\) **：指向「轉彎的那一側」——火車向哪邊拐彎， \(N\) 就指向哪邊。
**副法向量 \(B = T \times N\) **：一根從車頂豎起的旗桿，垂直於行駛平面。

當火車進入彎道， \(T\) 變方向（=轉彎），變化的方向就是 \(N\) （=俯仰指向的側邊）。若曲線不在一個平面內（例如螺旋線），旗桿 \(B\) 還會緩緩傾斜、像飛機做一些方向舵動作一樣——這種「歪頭」就是撓率。飛機的比喻更貼切：曲率是「拉桿轉彎的急程度」，撓率是「滾轉離開水平面的速率」。

定義：切向量、法向量、副法向量#

假設 \(\gamma(s)\) 以弧長參數運行（ \(\|\gamma'(s)\|=1\) ）。定義：

\[ T(s) = \gamma'(s), \qquad N(s) = \frac{T'(s)}{\|T'(s)\|}, \qquad B(s) = T(s) \times N(s) \]

說明：

因 \(\|T\|\equiv 1\) ，微分 \(\|T\|^2 = T\cdot T \equiv 1\) 得 \(T\cdot T' = 0\) ，故 \(T'\) 恆垂直 \(T\) ， \(N\) 有定義（要求 \(T'\neq 0\) ，即曲率不為零的點）。
\(N\) 是單位向量，且 \(N\cdot B = 0\) 、 \(T\cdot B = 0\) ，因此 \((T, N, B)\) 構成一組右手正交單位標架——像一組會沿曲線搬移並旋轉的座標軸。

曲率：轉彎的急程度#

定義（弧長參數下）：

\[ \kappa(s) = \|T'(s)\| = \|\gamma''(s)\| \]

由 \(T' = \|T'\| N\) 立即得到核心關係：

\[ T' = \kappa N \]

直覺： \(T'\) 度量了前進方向改變得多快。直線的 \(T\) 是常數， \(\kappa=0\) ；半徑 \(r\) 的圓 \(\kappa = 1/r\) ——半徑越小彎越急。曲率單位是 \(1/\text{長度}\) ，其倒數 \(R = 1/\kappa\) 稱為曲率半徑。

撓率：離開平面的傾向#

對 \(B\) 微分（可證 \(B' \perp T\) 與 \(B' \perp B\) ，故 \(B'\) 平行 \(N\) ），定義撓率 \(\tau\) 使

\[ B' = -\tau N \]

負號是約定：當右手標架沿右旋螺旋線前進時， \(\tau > 0\) 。

幾何意義： \(\tau\) 度量 \(B\) （即「車頂旗桿」）傾斜的快慢，也就是曲線偏離自身密切平面的程度。

平面曲線： \(B\) 是常向量（整條曲線共享同一個平面法向）， \(\tau = 0\) 。
螺旋線： \(\tau \neq 0\) ，且手性（左旋/右旋）決定 \(\tau\) 的正負。

Frenet–Serret 公式：一本移動座標的使用手冊#

把三條微分關係整理在一起：

\[ \begin{aligned} T' &= \kappa N \\ N' &= -\kappa T + \tau B \\ B' &= -\tau N \end{aligned} \]

第二式怎麼來？對 \(N = B\times T\) 微分（或直接從 \(N\cdot T=0\) , \(N\cdot B=0\) 與單位長度性質推出）可得 \(N' \perp N\) ，因此 \(N'\) 能用 \(T, B\) 展開： \(N' = c_1 T + c_2 B\) 。對 \(N'\cdot T\) 用 \(N\cdot T = 0\) 微分得 \(-N\cdot T' = -\kappa\) ，故 \(c_1 = -\kappa\) ；對 \(N'\cdot B\) 用 \(N\cdot B=0\) 微分得 \(-N\cdot B' = \tau\) ，故 \(c_2 = \tau\) 。

三個重要解讀：

標架的運動完全由 \(\kappa, \tau\) 兩個函數決定。這組 ODE 是「微分幾何的基本定理」的起點：給定 \(\kappa(s)>0\) 與 \(\tau(s)\) ，理論上可重建整條曲線（至剛體運動差別）。
\(\kappa\) 與 \(\tau\) 都是參數化不變量（在保向的弧長參數變換下不變），是曲線真正的幾何性質。
它是線性 ODE——SymPy 的 dsolve 或數值求解都可以玩。

非弧長參數的曲率公式：實務上的救生圈#

弧長參數化常求不出（如 01.1 節所見），所以我們需要一般參數 \(t\) 下的公式。利用連鎖律可以證明：

\[ \kappa(t) = \frac{\|\gamma'(t) \times \gamma''(t)\|}{\|\gamma'(t)\|^3} \]

以及撓率：

\[ \tau(t) = \frac{\det(\gamma',\gamma'',\gamma''')}{\|\gamma'\times\gamma''\|^2} \]

便利之處：只需微分到二階（曲率）/三階（撓率），加上一個外積與範數，完全不必做「反解 \(s(t)\) 」這件通常不可能的事。下一節將用 SymPy 實作這些公式。

SymPy 實作#

定義工具函數#

import sympy as sp

def speed(g, t):
    return sp.sqrt(g.diff(t).dot(g.diff(t)))

def curvature(g, t):
    v = g.diff(t)
    a = v.diff(t)
    return sp.simplify(sp.sqrt(v.cross(a).dot(v.cross(a))) / speed(g, t)**3)

def torsion(g, t):
    v = g.diff(t); a = v.diff(t); j = a.diff(t)
    det = v.dot(a.cross(j))
    return sp.simplify(det / sp.simplify(v.cross(a).dot(v.cross(a))))

以圓為例驗證 \(\kappa = 1/r\) ， \(\tau = 0\)#

t = sp.symbols('t', real=True)
r = sp.symbols('r', positive=True)

circle = sp.Matrix([r*sp.cos(t), r*sp.sin(t), 0])
print("κ =", curvature(circle, t))       # 1/r
print("τ =", torsion(circle, t))          # 0 —— 平面曲線

Frenet 標架本身#

def frenet_frame(g, t):
    v  = g.diff(t)
    T  = sp.simplify(v / speed(g, t))
    Tp = sp.simplify(T.diff(t))
    N  = sp.simplify(Tp / sp.sqrt(Tp.dot(Tp)))
    B  = sp.simplify(v.cross(g.diff(t, 2)) / sp.sqrt(v.cross(g.diff(t, 2)).dot(v.cross(g.diff(t, 2)))))
    return T, N, B

helix = sp.Matrix([sp.cos(t), sp.sin(t), t])   # a=b=1 的螺旋線
T, N, B = frenet_frame(helix, t)
print("T =", T.T)
print("N =", N.T)
print("B =", B.T)
# 驗證正交單位性
print(sp.simplify(T.dot(N)), sp.simplify(T.dot(B)), sp.simplify(N.dot(B)))
print(sp.simplify(T.dot(T)), sp.simplify(N.dot(N)), sp.simplify(B.dot(B)))

輸出顯示所有內積為 0 與 1——(T, N, B) 是漂亮的正交標架。

用 Frenet 公式直接驗證 \(T'=\kappa N\) （一般參數版的連鎖律）#

k = curvature(helix, t)
dsdt = speed(helix, t)   # d s / d t
# T 對 s 的導數 = (dT/dt) / (ds/dt)
T_prime_s = sp.simplify(T.diff(t) / dsdt)
kN = sp.simplify(k * N)
print(sp.simplify(T_prime_s - kN))   # 0 → T' = κN 成立

這一行程式碼驗證了：即使我們在一般參數 \(t\) 下工作， \(T'=\kappa N\) 在換算到弧長導數後依然精確成立。

動手實驗#

實驗 1：火車的方向盤——圓的 Frenet 標架

t, r = sp.symbols('t r', real=True, positive=True)
circle = sp.Matrix([r*sp.cos(t), r*sp.sin(t), 0])
T, N, B = frenet_frame(circle, t)
print("N =", N.T)   # 應指向圓心 (-cos t, -sin t, 0)
print("B =", B.T)   # 應為常向量 (0,0,1)

觀察： \(N\) 永遠指向圓心（火車轉彎的內側）， \(B\) 是常向量（火車永遠保持水平，沒有滾轉）——這就是 \(\tau=0\) 的視覺意義。

實驗 2：螺旋線的 B 會傾斜

a, b = sp.symbols('a b', positive=True)
helix = sp.Matrix([a*sp.cos(t), a*sp.sin(t), b*t])
T, N, B = frenet_frame(helix, t)
print("B =", sp.simplify(B.T))

你會看到 \(B \approx (-b\sin t, b\cos t, a)\) 乘上常數——旗桿不再豎直，而是朝着運動方向傾斜固定角度。 \(b\) 越大（螺距越大）傾斜越厲害。

實驗 3：曲率半徑與「急彎」

對曲線 \(\gamma(t) = (t, t^2, 0)\) （拋物線）計算 \(\kappa(t)\) ，用 sp.plot 畫出 \(\kappa\) 隨 \(t\) 的圖形。確認在頂點 \(t=0\) 處曲率最大，且兩側衰減。物理對應：過山車在谷底承受最大的「G 力」。

實驗 4： \(\tau\) 的符號與手性

right = sp.Matrix([sp.cos(t), sp.sin(t), t])       # 右旋
left  = sp.Matrix([sp.cos(t), sp.sin(t), -t])     # 左旋
print("右旋 τ =", torsion(right, t))    # 1/2
print("左旋 τ =", torsion(left, t))     # -1/2

對照觀察：鏡像（把 \(z\) 反號）會翻轉撓率的正負。你能否用「右手 vs. 左手螺旋」解釋這件事？

小結與練習#

本節重點

\(T, N, B\) 是沿曲線搬移的右手正交單位標架（弧長參數下定義最乾淨）。
曲率 \(\kappa = \|T'\| = \|\gamma''\|\) 量化轉彎；撓率 \(\tau\) 量化離開平面的傾向。
Frenet–Serret 公式 \(T'=\kappa N,\ N'=-\kappa T+\tau B,\ B'=-\tau N\) 說明：標架的運動完全由 \(\kappa,\tau\) 決定。
非弧長參數的公式 \(\kappa=\|\gamma'\times\gamma''\|/\|\gamma'\|^3\) 讓實務計算不必反解 \(s(t)\) 。

練習

用 SymPy 驗證：對任何弧長參數曲線， \(T\cdot N' = -\kappa\) （提示：從 \(N\cdot T=0\) 微分出發）。
證明 mixing 關係 \(\kappa\tau = -\det(T', N', B')/(\|T\|\cdots)\) 的平面版本：平面曲線必有 \(\tau=0\) 。用 SymPy 對 \(\gamma(t)=(\cos t,\sin t,f(t))\) （ \(f\) 為任意函數）檢查 \(B\) 與 \(z\) 軸的關係。
對 Nephroid 或 Cardioid 之類的平面曲線，用本節 curvature 函數找出最大曲率的位置。
用 sp.dsolve（或手算）求解 \(\kappa\) 為常數 \(c\) 、 \(\tau=0\) 的 Frenet ODE，證明解是半徑 \(1/c\) 的圓。
實驗：寫一個函數 curvature_radius(g, t) 回傳 \(1/\kappa\) ，對拋物線畫 \(R(t)\) 圖，並在頂點附近按比例縮小，觀察它逼近「密切圓」的程度。