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03.1 向量場與梯度場#

本節目標#

多變數微積分的核心不再是「一個數對一個數」，而是「場對場」。本節要重建你對以下概念的直覺：

  1. 什麼是向量場（vector field）：空間中每一點都掛上一個向量。
  2. 什麼是梯度 \(\nabla f\) ：純量場爬坡最快的方向與坡度。
  3. 方向導數：沿任意方向量測變化率。
  4. 幾何黃金律：梯度必正交於等位面。
  5. 用 SymPy 做符號微分，用 matplotlib streamplot 視覺化向量場。

3.1.1 向量場：空間中的箭頭海洋#

純量場像「氣溫地圖」：每一點給一個數。 向量場像「風速地圖」：每一點給一個箭頭。數學上是映射

\[ \mathbf{F} : \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^n, \qquad \mathbf{F}(x,y,z) = (P(x,y,z),\ Q(x,y,z),\ R(x,y,z)) \]

直覺例子：

  • 重力場 \(\mathbf{g} = (0,0,-9.8)\) ：處處指向地心，均勻場。
  • 點電荷電場 \(\mathbf{E} \propto \dfrac{\mathbf{r}}{\|\mathbf{r}\|^3}\) ：由中心向外放射，放射場。
  • 旋轉流 \(\mathbf{F} = (-y, x)\) ：繞原點打轉，渦旋場。

用 matplotlib 畫出來看，是建立直覺最快的方式：

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

x, y = np.meshgrid(np.linspace(-3, 3, 20), np.linspace(-3, 3, 20))

fig, axes = plt.subplots(1, 3, figsize=(15, 4))
axes[0].quiver(x, y, x, y)                # 放射場 F=(x,y)
axes[1].quiver(x, y, -y, x)               # 渦旋場 F=(-y,x)
axes[2].quiver(x, y, 0, -2.0)             # 均勻重力場
for ax, t in zip(axes, ["放射場", "渦旋場", "均勻場"]):
    ax.set_title(t); ax.set_aspect("equal")
plt.show()

每個箭頭畫在「該點」上，箭頭方向就是該點的場向量。看圖時要訓練自己問：箭頭從哪裡湧出？在哪裡匯聚？有沒有打轉？——這正是下一節散度與旋度的伏筆。

3.1.2 梯度：最陡上升方向#

設純量場 \(f(x,y)\) 可微。在點 \((x_0,y_0)\) 附近，函數沿方向 \(\mathbf{u}\) （單位向量）的變化率是方向導數：

\[ D_{\mathbf{u}} f = \lim_{h\to 0}\frac{f(\mathbf{r}_0 + h\mathbf{u}) - f(\mathbf{r}_0)}{h} = \nabla f \cdot \mathbf{u} \]

其中梯度向量定義為偏導數排成的向量：

\[ \nabla f = \left( \frac{\partial f}{\partial x},\ \frac{\partial f}{\partial y},\ \frac{\partial f}{\partial z} \right) \]

由內積不等式 \(\nabla f \cdot \mathbf{u} \le \|\nabla f\|\,\|\mathbf{u}\| = \|\nabla f\|\) ，等號當且僅當 \(\mathbf{u}\) 與 \(\nabla f\) 同向。所以：

梯度 = 變化最快的方向，其長度 = 最大的方向導數值（最大坡度）。 沿 \(-\nabla f\) 則是下降最快（這是梯度下降法的根據）。

幾何驗證小實驗： \(f = x^2 + y^2\) 在點 \((1,1)\) 的梯度是 \((2,2)\) 。從該點走一步 \(\mathbf{u} = \frac{1}{\sqrt 2}(1,1)\) 得 \(f\) 增加約 \(2\sqrt2 \cdot h\) ；走 \((1,-1)/\sqrt2\) 幾乎不變（方向 \((-1,1)\) 恰是等位線 \(x^2+y^2=2\) 的切線方向）。這不是巧合，見下一小節。

3.1.3 等位面正交於梯度#

等位線（等位面）是 \(f = c\) 的集合。沿著等位線走， \(f\) 不變，所以方向導數為 \(0\) ：

\[ \nabla f \cdot \mathbf{t} = 0 \]

其中 \(\mathbf{t}\) 是等位線切向。梯度與切向內積為零 ⇒ 梯度是等位面的法向。

登山的比喻最傳神：等高線上走不費力（高度不變），垂直等高線走最耗力（坡度最大）。地形圖上一組一組的等高線，其間距越密坡度越陡——梯度大小就藏在「密度」裡。

3.1.4 SymPy 符號計算梯度#

SymPy 中最直接的方式是把偏導數排成矩陣（Jacobian），或用 derive_by_list / Matrix.diff：

import sympy as sp

x, y, z = sp.symbols("x y z")

f = x**2 + y**2
grad_f = [sp.diff(f, v) for v in (x, y)]
print(grad_f)                     # [2*x, 2*y]

# 用 Matrix.diff（Jacobian，一行列表一次算完）
g = x*y*sp.sin(z)
J = sp.Matrix([g]).diff(sp.Matrix([x, y, z])).T
print(J)                          # Matrix([[y*sin(z), x*sin(z), x*y*cos(z)]])

接著驗證「梯度 ⟂ 等位面」：取等位線上任一點，構造切向量，檢查內積為零：

f = x**2 + y**2
grad = sp.Matrix([2*x, 2*y])

# 等位面 f=c 上的切向是隱函數微分：df = 2x dx + 2y dy = 0
# 切向量 t 滿足 grad · t = 0，例如在 (x,y) 平面取 t = (-2y, 2x)
t = sp.Matrix([-2*y, 2*x])
print(sp.simplify(grad.dot(t)))    # 0

3.1.5 動手實驗：梯度場與等位線疊圖#

把 \(f = x^2 + y^2\) 的梯度場（箭頭）畫在等位線（同心圓）上。你會看到箭頭處處垂直穿透圓圈：

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

x, y = np.meshgrid(np.linspace(-3, 3, 20), np.linspace(-3, 3, 20))
fval = x**2 + y**2
gx, gy = 2*x, 2*y

plt.figure(figsize=(6, 6))
plt.contour(x, y, fval, levels=[0.5, 1, 2, 3, 4, 6, 8], cmap="Blues")
plt.streamplot(x, y, gx, gy, color="crimson", density=0.8)
plt.title("f = x^2 + y^2 : 梯度場( strm ) 疊 等位線( contour )")
plt.gca().set_aspect("equal")
plt.show()

換一個更有趣的場試試： \(f = \sin(x)\cos(y)\) 的梯度場是 \((\cos x \cos y,\ -\sin x \sin y)\) 。把上面程式改成這組，觀察箭頭是否依然垂直穿越等位線，以及「山頂／盆地」（梯度為零的臨界點）會把流線分流或匯聚。

再進一步：用 streamplot 觀察與梯度反方向的流（ \(-\nabla f\) ），它會像水往低處流一樣匯入局部極小點——這正是最陡下降法在連續世界裡的原本樣貌：

plt.streamplot(x, y, -gx, -gy, color="seagreen", density=0.8)

3.1.6 三維推廣#

三維時等位面變成曲面，梯度仍是法向量。對 \(f = x^2 + y^2 + z^2\) ， \(\nabla f = (2x,2y,2z)\) 恰好由球心向外，正交於每一個球面——球面是等位面 \(r^2 = c\) ，法向就是徑向。

x, y, z = sp.symbols("x y z")
f = x**2 + y**2 + z**2
print([sp.diff(f, v) for v in (x, y, z)])   # [2*x, 2*y, 2*z]

小結與練習#

  • 向量場是每點一個向量的映射；純量場是每點一個數。
  • \(\nabla f\) 指向最陡上升， \(\|\nabla f\|\) 是最大方向導數， \(-\nabla f\) 下降最快。
  • \(\nabla f \perp\) 等位面；等位線密 ⇒ 梯度大。
  • SymPy：把偏導數排成列表 derive_by_list，或 Matrix([...]).diff(...)。

練習：

  1. 求 \(f = x^3 - 3xy^2\) 的梯度，在點 \((1,1)\) 處沿方向 \(\mathbf{u} = \frac{1}{\sqrt3}(1,1,\sqrt{1})=(1,1)/\sqrt2\) 的方向導數為何？哪個方向變化率為零？
  2. 畫 \(f = x^2 - y^2\) 的等位線與梯度場疊圖。這是鞍點地形，描述流線在 \((0,0)\) 附近的行為。
  3. 證明：若 \(\|\nabla f\|\) 在某恆為常數 \(k>0\) ，且 \(f\) 可微，則沿著等高線走一段長 \(L\) 的弧線， \(f\) 值變化應該是 \(0\) ；沿垂直等高線走 \(L\) ，變化至多為 \(kL\) 。
  4. 用 streamplot 畫 \(-\nabla f\) （ \(f=xy(x+y)\) ），找出所有匯聚點並與 \(\nabla f = 0\) 的解對照。