03.2 散度與旋度#

本節目標#

上節會看場的「箭頭」了，本節要訓練兩個新的全局直覺：

散度 \(\nabla\cdot\mathbf{F}\) ：這點是「源頭」還是「水溝」？箭頭在此膨脹還是收縮？
旋度 \(\nabla\times\mathbf{F}\) ：這點在「打轉」嗎？放個小風車會往哪邊轉？
用 SymPy 完整驗證兩大恆等式： \(\nabla\times\nabla f = \mathbf{0}\) 與 \(\nabla\cdot(\nabla\times\mathbf{F}) = 0\) 。

3.2.1 散度：點源的膨脹量#

定義（三維）：

\[ \operatorname{div}\,\mathbf{F} = \nabla\cdot\mathbf{F} = \frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y} + \frac{\partial R}{\partial z} \]

直覺：在點 \(\mathbf{p}\) 附近放一個小氣球（半徑 \(\epsilon\) 的小球面 \(S\) ），觀察場向外流出多少：

\[ \frac{1}{\text{體積}(V)} \iint_S \mathbf{F}\cdot\mathbf{n}\,dS \;\xrightarrow{\epsilon \to 0}\; \nabla\cdot\mathbf{F}(\mathbf{p}) \]

也就是單位體積的淨流出量：

\(\nabla\cdot\mathbf{F} > 0\) ：箭頭從此湧出（水龍頭、正電荷、點火源）。
\(\nabla\cdot\mathbf{F} < 0\) ：箭頭匯聚於此（排水口、負電荷）。
\(\nabla\cdot\mathbf{F} = 0\) ：不可壓縮，流入多少就流出多少。

經典例子：放射場 \(\mathbf{F} = \dfrac{\mathbf{r}}{\|\mathbf{r}\|^3}\) （點電荷的電場）。直接計算可證它在 \(\mathbf{r}\neq 0\) 處散度為 \(0\) ，但任何包住原點的曲面上通量都是 \(4\pi\) ——源頭全部藏在原點那個「奇點」上。水壓系統的比喻：水源在山裡連續降雨（源頭分散開， \(\nabla\cdot\mathbf{F}>0\) 區域）；水到處流動但總量不變（懸崖與河床都只是導管，不生水）。

看圖訓練：對 \(\mathbf{F} = (x, y)\) ，每個箭頭都比左邊的鄰居長一點，箭尾粗箭頭細→淨流出， \(\nabla\cdot\mathbf{F} = 2 > 0\) 。對 \(\mathbf{F} = (-x,-y)\) 則是匯聚，散度 \(-2\) 。

3.2.2 旋度：小風車的自旋#

定義（分量式）：

\[ \nabla\times\mathbf{F} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ \partial_x & \partial_y & \partial_z \\ P & Q & R \end{vmatrix} = \left( \frac{\partial R}{\partial y} - \frac{\partial Q}{\partial z},\ \frac{\partial P}{\partial z} - \frac{\partial R}{\partial x},\ \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} \right) \]

直覺：放一個小風車（繞軸 \(\mathbf{n}\) 的微小圓盤 \(C\) ），量它單位面積的環流量：

\[ \frac{1}{\text{面積}(A)} \oint_C \mathbf{F}\cdot d\mathbf{r} \;\xrightarrow{\text{面積} \to 0}\; (\nabla\times\mathbf{F})\cdot\mathbf{n} \]

旋度向量在此點給出「轉得最猛的軸向 + 轉速」。以二維為例最容易算：

渦旋場 \(\mathbf{F} = (-y, x, 0)\) ： \(\ \nabla\times\mathbf{F} = (0,0,2)\) ，處處以角速度均勻旋轉（剛體旋轉）。
剪切流 \(\mathbf{F} = (y, 0, 0)\) （下方快上方慢，像咖啡杯面上的風）： \(\nabla\times\mathbf{F} = (0,0,-1)\) ，即使在無「圓形軌跡」的直線流中，風車仍會轉！
放射場 \(\mathbf{F} = (x, y, 0)\) ： \(\nabla\times\mathbf{F} = \mathbf{0}\) ，箭頭放射但不旋轉，風車原地不動。

用 quiver 畫 \(\mathbf{F} = (-y, x)\) 就「看見」旋度：全場箭頭逆時針排列。旋度把這種視覺上的打轉量化成一個數（一個向量）。

3.2.3 兩大恆等式（SymPy 完整驗證）#

恆等式一：梯度場無旋。 \(\nabla\times\nabla f = \mathbf{0}\) 。理由：混合偏導數對稱， \(\partial_y \partial_x f = \partial_x \partial_y f\) ，k 分量恰為 \(\partial_y\partial_x f - \partial_x\partial_y f = 0\) 。

恆等式二：旋度場無源。 \(\nabla\cdot(\nabla\times\mathbf{F}) = 0\) 。展開是六項交錯的偏導數，兩兩正負相消（Clairaut 定理）。

用 SymPy 做符號驗證：

import sympy as sp

x, y, z = sp.symbols("x y z")

def grad(f):
    return sp.Matrix([sp.diff(f, v) for v in (x, y, z)])

def curl(F):
    P, Q, R = F
    return sp.Matrix([
        sp.diff(R, y) - sp.diff(Q, z),
        sp.diff(P, z) - sp.diff(R, x),
        sp.diff(Q, x) - sp.diff(P, y),
    ])

def div(F):
    P, Q, R = F
    return sp.diff(P, x) + sp.diff(Q, y) + sp.diff(R, z)

f = x*y*z**2 + sp.sin(x*y)
print(curl(grad(f)).applyfunc(sp.simplify))   # [0, 0, 0]

P, Q, R = x*y, y*z*sp.exp(z), z*x**2
F = (P, Q, R)
print(sp.simplify(div(curl(F))))             # 0

3.2.4 流量視覺化：從箭頭圖讀出散度與旋度#

畫三個場的 streamplot，訓練一眼判讀：

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

x, y = np.meshgrid(np.linspace(-3, 3, 20), np.linspace(-3, 3, 20))

fields = [
    ("放射場 (x,y)：div=2, curl=0", x, y),
    ("渦旋場 (-y,x)：div=0, curl=2", -y, x),
    ("剪切流 (y,0)：div=0, curl=-1", y, np.zeros_like(x)),
]

fig, axes = plt.subplots(1, 3, figsize=(16, 5))
for ax, (title, u, v) in zip(axes, fields):
    ax.streamplot(x, y, u, v, density=1.0)
    ax.set_title(title); ax.set_aspect("equal")
plt.show()

判讀口訣：

流線從某點爆開 / 灌進某點 ⇒ 該處散度不為零。
流線繞圈、或上下排速度不同造成剪力 ⇒ 旋度不為零。
放射場流線筆直輻射但不繞圈（curl=0）；渦旋場流線全圓但不爆開（div=0）；剪切流線全平行線依然有旋度——別被「直線」騙了，旋度看的是局部速度差。

3.2.5 更多 SymPy 計算#

# 點電荷場 r / |r|^3 在非原點處：div = 0, curl = 0
r2 = x**2 + y**2 + z**2
F = (x/r2**sp.Rational(3,2), y/r2**sp.Rational(3,2), z/r2**sp.Rational(3,2))
print(sp.simplify(div(F)), curl(F).applyfunc(sp.simplify))
# 0, [0,0,0]  —— 源全部在原點，由後續章節的高斯/斯托克斯定理量化

# 法蘭克角向場 F = (0, 0, c) 疊圓柱：驗證 Maxwell 之一 div B = 0
B = (0, 0, sp.Symbol("c", positive=True))
print(div(B))               # 0

小結與練習#

\(\nabla\cdot\mathbf{F}\) ：局部膨脹率，正=湧出、負=匯入、零=不可壓縮。
\(\nabla\times\mathbf{F}\) ：局部自旋軸與強度；平行速度差也會產生旋度。
兩大恆等式：梯度必無旋、旋度必無源（都源自混合偏導數相等）。
散度與旋度都是局部量：點電荷場在原點外散度為零，源頭藏在奇點。

練習：

算 \(\mathbf{F} = (x^2, xy, z^2 e^{xz})\) 的散度與旋度，並用 SymPy 驗證。
對剪切流 \(\mathbf{F}=(y,0,0)\) ：取一個小方形迴路手工計算環流量，證明其符號與理論 \(\nabla\times\mathbf{F}\cdot\mathbf{k} = -1\) 一致。
找一個散度不為零且旋度也不為零的場，例如 \(\mathbf{F}=(x, x y, x z)\) ？先猜再算，修正你的猜測。
證明（手算兩行）： \(\nabla\cdot(f\,\nabla g) = \nabla f\cdot\nabla g + f\,\nabla^2 g\) ，並用 SymPy 驗證 \(f=x^2, g=e^{xyz}\) 的情形。
用 streamplot 畫 \(\mathbf{F} = (x-y, x+y)\) ，判讀散度與旋度的符號再計算驗證。