03.3 曲線積分與曲面積分#

本節目標#

單變數積分 \(\int_a^b f(x)\,dx\) 只會沿 x 軸走。多變數世界裡，路徑可以是任何曲線、曲面可以是任何曲面，積分跟著升級為四件事：

1. 第一類線積分（純量 × 路徑長）： \(\int_C f\,ds\)
2. 第二類線積分（向量場做功）： \(\int_C \mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}\)
3. 曲面面積： \(\displaystyle\iint_S \|\mathbf{r}_u \times \mathbf{r}_v\|\,du\,dv\)
4. 通量積分： \(\displaystyle\iint_S \mathbf{F}\cdot\mathbf{n}\,dS\)

全部用參數化 + SymPy 實作，不需要背任何「特殊曲線公式」。

3.3.1 第一類線積分：沿鐵軌撒的錢#

設 \(f\) 是純量場，曲線 \(C\) 由 \(\mathbf{r}(t) = \mathbf{r}(a\ldots b)\) 參數化。把 \(f\) 沿路徑累加：

幾何直覺： \(\|\mathbf{r}'(t)\|dt = ds\) 是微小路徑長， \(f\) 在這一段近乎常數，乘起來是「這段路收穫的量」。 \(f=1\) 時積分就是曲線長度； \(f\) 是線密度時積分是鐵絲質量。

實作：計算螺旋線長度。 \(\mathbf{r}(t) = (\cos t, \sin t, t),\ t\in[0, 2\pi]\) ：

import sympy as sp

t = sp.symbols("t", positive=True)
r = sp.Matrix([sp.cos(t), sp.sin(t), t])
speed = sp.sqrt(sum(sp.diff(r, t).applyfunc(lambda c: c**2)))
L = sp.integrate(speed, (t, 0, 2*sp.pi))
print(sp.simplify(L))    # 2*sqrt(2)*pi  （圓周 2π × 因爬升而多出的因子 sqrt(2)）

3.3.2 第二類線積分：向量場沿路做功#

物理直覺：在風中拖車前進，做的功 = 風力在行進方向的分量 × 距離 = \(\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}\) 。累加成積分：

流程模板（所有線積分都這樣做）：參數化 → 代入 → 點積/放大 \(ds\) → 積分。

實作：沿拋物線的重力做功。 \(\mathbf{F} = (0,0,-mg)\) ，路徑 \(\mathbf{r}(t) = (t, t^2, 1-t)\) ， \(t: 0\to 2\) ：

m, g = sp.symbols("m g", positive=True)
r = sp.Matrix([t, t**2, 1 - t])
F = sp.Matrix([0, 0, -m*g])
W = sp.integrate(F.dot(sp.diff(r, t)), (t, 0, 2))
print(W)                 # m*g  —— 上升1格再下降？終點 z=-1，總下落 2 格？檢查：z(0)=1, z(2)=-3，共降 4? 

跑一下會發現答案與直覺不符——因為 \(z(t) = 1-t\) 恰下降 \(2\) ，而 \(F\cdot r' = -mg \cdot(-1) = mg\) ， \(W = 2mg\) 。實驗精神：把上面第四行註解換成 print(F.dot(sp.diff(r, t)), sp.integrate(F.dot(sp.diff(r,t)), (t,0,2)))，確認被積函數確實是常數 \(mg\) 。

保守場的重要結論：若 \(\mathbf{F} = \nabla f\) （位能場；重力、理想彈簧都是），則

路徑無關！驗證：用上節的方法確認 \(\nabla\times\mathbf{F} = 0\) ，即可（在單連通區域上）找到位能 \(f\) ，Instagram 銷帳式地只需看端點。

3.3.3 曲面積分之一：面積#

曲面 \(S\) 用兩參數 \(\mathbf{r}(u,v)\) 覆蓋。小面元是切向量 \(\mathbf{r}_u\,du\) 與 \(\mathbf{r}_v\,dv\) 張成的平行四邊形，其面積為叉積長度：

實作：半徑 \(R\) 的球面面積。 球座標參數化 \(\mathbf{r}(\theta, \phi) = (R\sin\phi\cos\theta,\ R\sin\phi\sin\theta,\ R\cos\phi)\) ：

T, Phi = sp.symbols("theta phi", positive=True)
R = sp.symbols("R", positive=True)
ru = sp.diff(sp.Matrix([R*sp.sin(Phi)*sp.cos(T), R*sp.sin(Phi)*sp.sin(T), R*sp.cos(Phi)]), T)
rv = sp.diff(sp.Matrix([R*sp.sin(Phi)*sp.cos(T), R*sp.sin(Phi)*sp.sin(T), R*sp.cos(Phi)]), Phi)
dS = sp.sqrt((ru.cross(rv)).dot(ru.cross(rv)))
A = sp.integrate(sp.integrate(dS, (T, 0, 2*sp.pi)), (Phi, 0, sp.pi))
print(sp.simplify(A))    # 4*pi*R**2

3.3.4 曲面積分之二：通量#

通量 = 場垂直穿過曲面的總量（雨水打在窗上的總流量）。法向量由叉積給出：

實作：放射場過球面的通量。 \(\mathbf{F} = \mathbf{r}/\|\mathbf{r}\|^3\) ，球面半徑 \(a\) （向外法向）。已知散度為零但通量應為 \(4\pi\) （源頭在球心）：

a = sp.symbols("a", positive=True)
rr = sp.Matrix([a*sp.sin(Phi)*sp.cos(T), a*sp.sin(Phi)*sp.sin(T), a*sp.cos(Phi)])
Frr = rr / a**3            # 場在此球面上：r/|r|^3 = 球面點/a^3
flux = sp.integrate(sp.integrate(Frr.dot(ru.cross(rv)), (T, 0, 2*sp.pi)), (Phi, 0, sp.pi))
print(sp.simplify(flux))   # 4*pi

注意：ru, rv 未隨 a 縮放——請把參數化的兩行改成函式，或用一般 R 重新代入再積分。這是刻意安排的除錯練習：若通量的極限（ \(a\to 0\) ）仍是 \(4\pi\) ，就驗證了「源頭強度與面積無關」。

3.3.5 閉合迴路的功與環流量#

取閉曲線 \(C\) （起點=終點）， \(\oint_C \mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}\) 稱環流量。若 \(\mathbf{F}\) 保守，環流量必為 \(0\) （繞一圈回到原處，位能沒變）。實驗：

# 渦旋場 F = (-y, x)，繞單位圓 C: r(t)=(cos t, sin t)
u = sp.Matrix([sp.cos(t), sp.sin(t)])
Fv = sp.Matrix([-u[1], u[0]])
circ = sp.integrate(Fv.dot(sp.diff(u, t)), (t, 0, 2*sp.pi))
print(circ)              # 2*pi  ≠ 0 ⇒ 渦旋場非保守（上節算過 curl=(-0,0,2) 呼應）

小結與練習#

• 線積分模板：參數化 → 代入 → \(\cdot\,d\mathbf{r}\) 或 \(\times\) 得 \(dS\) → 積分。
• 第一類： \(\int_C f\,ds\) ；第二類： \(\int_C \mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}\) 。
• 曲面面積 \(=\iint\|\mathbf{r}_u\times\mathbf{r}_v\|\) ；通量 \(=\iint \mathbf{F}\cdot(\mathbf{r}_u\times\mathbf{r}_v)\) 。
• 保守場 ⇔ 置心於端點差；環流量為零是它的指紋。

練習：

1. 半圓 \(y=\sqrt{1-x^2}\) 上密度 \(f = xy\) 的第一類線積分。
2. \(\mathbf{F}=(2xy, x^2)\) ，繞任意閉曲線證明環流量為 \(0\) ；再找出位能 \(\phi\) 。
3. 求環面 \(\mathbf{r}(u,v) = ((b+a\cos u)\cos v,\ (b+a\cos u)\sin v,\ a\sin u)\) 的面積。
4. 用 \(\mathbf{F} = (0,0,z)\) ，計算過 \(z = 4 - x^2 - y^2\) （ \(z\ge 0\) ）帽面的通量。
5. 除錯挑戰：3.3.4 中把參數化寫成帶 a 的正確版本，驗證通量確為 \(4\pi\) 而與 a 無關。