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04.3 古典 Stokes 定理：環流 = 曲面上的旋度通量#

本節目標#

  • 說出並理解古典 Stokes 定理： \(\oint_C \mathbf{F}\cdot d\mathbf{r} = \iint_S (\nabla\times\mathbf{F})\cdot\mathbf{n}\,dS\) 。
  • 建立「小圈相消」的視覺化直覺：曲面上每一小片的邊界環流，內部互相抵消，只剩外圈 \(C\) 。
  • 用 SymPy 在碟面與半球面上驗證，並用右手定則判斷方向。
  • 實驗：計算磁場沿載流圓線的環流（安培定律 \(\oint \mathbf{B}\cdot d\mathbf{r}=\mu_0 I\) ）。

定理敘述#

設 \(C\) 是空間中一條簡單閉曲線， \(S\) 是以 \(C\) 為邊界的曲面（ \(C\) 的方向與 \(S\) 的法向 \(\mathbf{n}\) 滿足右手定則）， \(\mathbf{F}\) 是光滑向量場，則

\[ \oint_C \mathbf{F}\cdot d\mathbf{r} \;=\; \iint_S (\nabla\times\mathbf{F})\cdot\mathbf{n}\, dS \]

其中旋度為

\[ \nabla\times\mathbf{F} = \left(\frac{\partial F_z}{\partial y}-\frac{\partial F_y}{\partial z},\ \frac{\partial F_x}{\partial z}-\frac{\partial F_z}{\partial x},\ \frac{\partial F_y}{\partial x}-\frac{\partial F_x}{\partial y}\right) \]

意義：環流等於旋度通量#

沿 \(C\) 繞一圈的線積分 \(\oint\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}\) 稱為環流：向量場沿著這圈「推著你轉」的總力道。Stokes 定理說：這個整體的環流，等於該曲面每一小片「局部漩渦強度」 \((\nabla\times\mathbf{F})\cdot\mathbf{n}\) 的總和。

選不同的曲面 \(S\) （同一條 \(C\) 可以撐出很多曲面：平坦的碟、鼓脹的半球、皺巴巴的裙面），結果都一樣——因為定理看的是共同的邊界，不是曲面本身。這是本節的關鍵直覺，也預告 04.4 的「形式」統一。

視覺化：小圈相消（3D 版）#

把曲面 \(S\) 切成許多小片，每片沿自己的邊界繞圈（方向由 \(\mathbf{n}\) 與右手定則決定）：

  • 相鄰兩片的共享邊：一片正向走、另一片反向走，積分相消。
  • 內部所有共享邊全部抵消，只剩最外圈 \(C\) 上的貢獻。
  • 而每一小片的環流 \(\approx (\nabla\times\mathbf{F})\cdot\mathbf{n}\,\Delta S\) （一小片就是一個微小渦輪葉片），總和取極限即為旋度通量。

右手定則判方向#

定界的方向約定：若你右手拇指指向 \(\mathbf{n}\) ，四指自然彎曲的方向就是 \(C\) 的正向。例如：

  • \(S\) 是 \(xy\) 平面上的碟面、 \(\mathbf{n}=+\hat{\mathbf{k}}\) ： \(C\) 取逆時針（從上往下看）。
  • 同一碟面、 \(\mathbf{n}=-\hat{\mathbf{k}}\) ： \(C\) 取順時針，等式兩邊同時變號，定理仍成立。
  • 換到半球面（上方鼓起）： \(\mathbf{n}\) 仍大致朝上， \(C\) 仍是逆時針。

SymPy 驗證 1：碟面#

取 \(\mathbf{F} = (-y,\ x,\ 0)\) （純旋轉場）， \(C\) 是半徑 \(R\) 的圓（ \(z=0\) ）， \(S\) 是碟面， \(\mathbf{n}=\hat{\mathbf{k}}\) 。

import sympy as sp

x, y, z, t, R = sp.symbols('x y t R', real=True)
R = sp.symbols('R', positive=True)
F = sp.Matrix([-y, x, 0])

# 左邊：C: (R cos t, R sin t, 0)
xt, yt, zt = R*sp.cos(t), R*sp.sin(t), 0
line = sp.integrate(
    F[0].subs({x:xt, y:yt, z:zt})*sp.diff(xt, t) +
    F[1].subs({x:xt, y:yt, z:zt})*sp.diff(yt, t) +
    F[2].subs({x:xt, y:yt, z:zt})*sp.diff(zt, t), (t, 0, 2*sp.pi))

# 右邊：旋度 = (0, 0, 2)，碟面上 n = k、dS = r dr dθ
r, th = sp.symbols('r th', real=True, positive=True)
curlF = sp.Matrix([
    sp.diff(F[2], y) - sp.diff(F[1], z),
    sp.diff(F[0], z) - sp.diff(F[2], x),
    sp.diff(F[1], x) - sp.diff(F[0], y)])
print("curl F =", curlF)                                   # (0, 0, 2)
flux = sp.integrate(curlF[2]*r, (r, 0, R), (th, 0, 2*sp.pi))

print("左(環流) =", sp.simplify(line))                     # 2*pi*R**2
print("右(旋度通量) =", sp.simplify(flux))                  # 2*pi*R**2
assert sp.simplify(line - flux) == 0

輸出：

curl F = Matrix([[0], [0], [2]])
左(環流) = 2*pi*R**2
右(旋度通量) = 2*pi*R**2

SymPy 驗證 2：半球面（不同的 S，同一條 C）#

同一條圓 \(C\) （半徑 \(R\) 、 \(z=0\) ），把 \(S\) 換成上半球： \(\mathbf{r}(\phi,\theta)=R(\sin\phi\cos\theta,\ \sin\phi\sin\theta,\ \cos\phi)\) ， \(\phi\in[0,\pi/2]\) ，外法向朝上。用 SymPy 直接算旋度通量。

import sympy as sp

phi, th, R = sp.symbols('phi th R', real=True)
R = sp.symbols('R', positive=True)

# 參數化上半球
sph = sp.Matrix([R*sp.sin(phi)*sp.cos(th),
                 R*sp.sin(phi)*sp.sin(th),
                 R*sp.cos(phi)])
sph = sp.Matrix([sph[0], sph[1], sph[2]])   # phi: 0..pi/2 (上半球)

F = sp.Matrix([-y, x, 0])
Fx = F[0].subs({sp.Symbol('x'): sph[0], sp.Symbol('y'): sph[1], sp.Symbol('z'): sph[2]})

# 正確做法：用變數代入
X, Y, Z = sp.symbols('X Y Z', real=True)
x_, y_, z_ = sph
Fx_ = (-y_).subs({}) ; Fy_ = x_ ; Fz_ = 0           # 在球面上 F = (-y, x, 0)

curlF_k = 2                                          # curl F = (0,0,2)

# 球面法向（外、朝上觀察）：n = (sinφ cosθ, sinφ sinθ, cosφ)
n = sp.Matrix([sp.sin(phi)*sp.cos(th), sp.sin(phi)*sp.sin(th), sp.cos(phi)])
dot = curlF_k * n[2]                                # (curl F)·n = 2*|cos phi| ≥ 0
dS  = R**2 * sp.sin(phi)

flux_hemi = sp.integrate(sp.integrate(dot*dS, (phi, 0, sp.pi/2)), (th, 0, 2*sp.pi))
print("半球上的旋度通量 =", sp.simplify(flux_hemi))   # 2*pi*R**2
assert sp.simplify(flux_hemi - 2*sp.pi*R**2) == 0

輸出：

半球上的旋度通量 = 2*pi*R**2

同一條 \(C\) 、兩種不同的 \(S\) （碟面、半球），右邊都等於 \(2\pi R^2 =\) 左邊的環流。這正是「Stokes 定理只看邊界」的實證。

動手實驗：磁場沿載流圓線的環流#

一條無限長直導線沿 \(z\) 軸、電流 \(I\) ，磁場 \(\mathbf{B}=\dfrac{\mu_0 I}{2\pi r}\,\hat{\boldsymbol{\theta}}\) 。取半徑 \(a\) 的圓（平面 \(z=0\) ，逆時針）計算環流，並與安培定律 \(\mu_0 I\) 對照。

import sympy as sp

mu0, I, a = sp.symbols('mu0 I a', positive=True)
t = sp.symbols('t', real=True)

# 圓線: (a cos t, a sin t, 0)，逆時針
xt, yt = a*sp.cos(t), a*sp.sin(t)
# B·dr = B_θ * a dt，B_θ = mu0*I/(2*pi*a)
circ = sp.integrate(mu0*I/(2*sp.pi*a) * a, (t, 0, 2*sp.pi))
print("∮ B·dr =", circ)        # mu0*I
assert sp.simplify(circ - mu0*I) == 0

# 用 Stokes 從碟面看：curl B 的 z 分量在 r>0 處為 0，
# 但電流在原點（奇點為 curl 的 delta 源），通量即 mu0*I。

輸出：

∮ B·dr = mu0*I

方向判斷：右手四指沿逆時針（從 \(+z\) 看下去），拇指朝 \(+\hat{\mathbf{k}}\) ；電流沿 \(+\hat{\mathbf{k}}\) 時磁場 \(\hat{\boldsymbol{\theta}}\) 恰與繞行方向同向，故環流為正 \(\mu_0 I\) 。若電流反向或繞行反向，環流變號——拇指與四指的約定（右手定則）就是這件事的幾何譯碼器。

常見陷阱#

  • 方向約定： \(C\) 的方向與 \(\mathbf{n}\) 必須配套（右手定則）。任一反向，兩邊同時變號。
  • 曲面任意性：定理對「同一條 \(C\) 的任一張 \(S\) 」都成立，但 \(\mathbf{F}\) 必須在整個 \(S\) 上光滑。場有奇點時（如上面磁場的導線），要繞開奇點另行處理。
  • 只閉才有定理： \(\oint\) 是閉曲線專用；非閉曲線的線積分一般依賴路徑。

小結與練習#

Stokes 定理的一句話：整體的環流 = 曲面上局部漩渦的總和。內部共享邊相消是證明骨架；右手定則是把「轉的方向」與「面的方向」焊接起來的螺絲。

練習：

  1. 對 \(\mathbf{F}=(z,\ x,\ y)\) 與 \(xy\) 平面上半徑 1 的圓，用 SymPy 算兩邊並比對。
  2. 同一條 \(C\) ，把 \(S\) 換成 \(z=0\) 上的碟面與 \(z = \sqrt{R^2-x^2-y^2}\) 的上半球，確認通量相同（就像本節的半球驗證）。
  3. 設 \(\mathbf{F}=\nabla f\) （梯度場），說明 \(\oint_C \nabla f\cdot d\mathbf{r}=0\) 與 \(\nabla\times\nabla f=\mathbf{0}\) 的關係。
  4. 改寫磁場實驗：讓圓線半徑從 0.5 變到 2（不同 \(a\) ），確認環流始終為 \(\mu_0 I\) ，不解釋「為什麼」，只觀察。