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06.2 座標卡與圖冊#

本節目標#

  • 理解座標卡（chart）、圖冊（atlas） 與轉換函數（transition map） 的意義。
  • 用「地圖集」比喻掌握這三個概念。
  • 看懂奇點：座標卡在某些點失效（球面的北極、角度 \(\phi\) 的重疊）。
  • 用 SymPy diffgeom 的 Manifold 與 CoordSystem 建立球面兩種座標系，並寫出 transition map 實現互換。

直覺：地球地圖集是現成的教材#

你房間裡的地球儀、你的地圖集，其實就是一本真實的「流形操作手冊」。

  • 地球整體不是平面，不能一張紙蓋住（ Africans 周圍的形狀總會拉歪）。
  • 地圖集裡的每一頁（例如「東亞」、「歐洲」）表示地球的一小塊，這一頁能攤平在地圖桌上。這就是座標卡（chart）。
  • 所有頁合起來蓋住地球，這整套就是圖冊（atlas）。
  • 兩頁交界處（例如「東亞」與「南亞」的接縫），同一個地點出現在兩頁上，你必須知道兩張地圖上的座標如何互換，這就是轉換函數（transition map）。

座標卡不是「畫面」，而是「座標規則」。 一張座標卡 \(=\) 一小塊鄰域 \(\cup\) 一個把這塊鄰域映射到 \(\mathbb{R}^n\) 的規則。可以直觀想成：「在這片小地方，用這幾個數字當門牌號碼」。

在數學上，一個 \(n\) 維流形 \(M\) 的座標卡是一對 \((U, \varphi)\) ，其中：

  • \(U \subset M\) 是一個開集（一小塊地區），
  • \(\varphi: U \to \varphi(U) \subseteq \mathbb{R}^n\) 是一個同胚（連續雙射，逆連續）。

兩張卡 \((U, \varphi)\) 與 \((V, \psi)\) 交疊（ \(U \cap V \neq \emptyset\) ）時，對 \(p \in U\cap V\) 有：

\[ (\varphi \circ \psi^{-1}) : \psi(U \cap V) \to \varphi(U \cap V) \]

這在 \(\mathbb{R}^n\) 上是一個普通函數（可以用一般微積分處理），稱為轉換函數。它必須光滑，這條件就成了光滑流形的定義。

奇點：某座標卡失效的地方#

座標卡不是萬能，在特定點它們會「打架」。

例子 1：球面的經緯度#

球面 \(S^2\) 想用經緯度 \((\theta, \phi)\) ：

  • \(\theta\) ：極角（0 到 \(\pi\) ，北極到南極）
  • \(\phi\) ：方位角（ \(-\pi\) 到 \(\pi\) ）

失效點在哪？

  • 北極（ \(\theta = 0\) ）：北極的所有 \(\phi\) 值都是同一個點（北極只有一個）。也就是 \(\phi\) 在北極這一點不唯一。類似地，南極也是失效點。
  • 方位角 \(\phi\) 的接縫（ \(\phi = \pi\) 與 \(\phi = -\pi\) ）：這是同一條子午線，但座標數值不同。

例子 2：投影座標卡#

另一張球面卡可以用「平面投影」：從北極看球面沿射線投到赤道平面。這張卡在北極以外的所有點都有唯一定義，卻在北極本身失效。反過來，從南極投影的卡在北極以外失效。

兩張卡加起來蓋住球面（北極有一張、南極不會用到同樣的失敗點）。這是標準教科書範例。

重要觀念#

奇點不是流形的問題，是座標的問題。 北極並不特別彎或不光滑，球面是完美的光滑流形。是我們選的座標在那一點不適用。這就像地圖集的每一頁有邊界，邊界處不是地球出了問題，是這一頁你不該用。

SymPy：Manifold、Patch 與 CoordSystem#

SymPy 的 sympy.diffgeom 提供以下工具：

概念 SymPy 類別
流形 Manifold
局部片（同一流形開子集） Patch
座標卡 CoordSystem
轉換函數 CoordSystem 的 connect_to / transitions

注意：隨 sympy 版本更迭，CoordSystem 的建構介面有差異（舊版要指定 relations，新版可用更簡單的參數）。以下以通用寫法示範。

球面兩種座標系：Spherical 與 Cartesian（內在角度看 \(S^2\) 的嵌入座標）#

為簡化，我們把球面 \(S^2\) 放進 \(\mathbb{R}^3\) ，並比較球面座標 \((\theta,\phi)\) ** 與一種投影座標**。用 connect_to 定義 transition。

from sympy import symbols, sin, cos, pi, simplify
from sympy.diffgeom import Manifold, Patch, CoordSystem

# 1. 流形與局部片
m = Manifold('Sphere2', 2)
patch = Patch('patch', m)

# 2. 兩種座標卡的參數
theta, phi = symbols('theta phi', real=True)      # 球面座標
u, v = symbols('u v', real=True)                  # 投影樣座標（以 x,y 表示）

# 3. 座標卡 1：球面座標
spherical = CoordSystem('spherical', patch, [theta, phi])
# 其在 R^3 的嵌入公式（可用於和另一協調比對）
x_sph = sin(theta)*cos(phi)
y_sph = sin(theta)*sin(phi)
z_sph = cos(theta)

# 4. 座標卡 2：(u, v) 這裡當成赤道平面座標 (x, y)（以球面座標表出）
#    給定一點 (x, y) 在赤道投影上，球面座標為 phi = atan2(y, x), sin(theta) = sqrt(x^2+y^2)
import sympy as sp
X, Y = symbols('X Y', real=True)
r2 = X**2 + Y**2   # sin(theta)^2
# 轉回球面角度
theta_from_xy = sp.acos(sp.sqrt(1 - r2))          # theta = arccos(sqrt(1-x^2-y^2))
phi_from_xy = sp.atan2(Y, X)

這段程式顯示了 transition map 的精神：** \((\theta, \phi) \leftrightarrow (X, Y)\) 是兩組符號互換的規則**。實際上 diffgeom 允許兩個 CoordSystem 之間互相 connect_to，使 transitions 存查表裡定義兩方法。

更完整的寫法：用 connect_to#

from sympy import atan, atan2, sqrt
# 定義 spherical -> XY 的轉換
XY_sys = CoordSystem('XY', patch, [X, Y])
# connect_to：從 spherical 到 XY
# 在 spherical 中，X = sin(theta)*cos(phi), Y = sin(theta)*sin(phi)
sph_to_xy = [sin(theta)*cos(phi), sin(theta)*sin(phi)]
xy_to_sph = [atan2(Y, X), sqrt(X**2 + Y**2)]      # phi, sin(theta)（第 2 個用 r 代表 sin(theta)）

# 簡化示範：讓兩協調互換一個點(th=pi/4, ph=pi/3)
from sympy import Rational
th_v, ph_v = Rational(1,4)*pi, pi/3
x1 = sp.N(sin(th_v)*cos(ph_v))
y1 = sp.N(sin(th_v)*sin(ph_v))
th_back = sp.N(atan2(y1, x1))
print('原點球面 (theta, phi) =', th_v, ph_v)
print('轉到 (X, Y) =', x1, y1)
print('轉回 (theta) 以 atan2 給的是 phi =', th_back)

這段程式精神上是「換頁」：用同一個球面上的點，先以球面卡描述，再翻到 \((X, Y)\) 卡，再翻回球面卡。

球面 ↔ 直角座標的 transition（最多人用）#

如果你把球面放進 \(\mathbb{R}^3\) ，最常看到的 transition 是球面 ↔ 直角座標：

\[ \begin{aligned} x &= r\sin\theta\cos\phi, \quad y = r\sin\theta\sin\phi, \quad z = r\cos\theta,\\ \theta &= \arccos\frac{z}{r}, \quad \phi = \operatorname{atan2}(y, x), \quad r = \sqrt{x^2+y^2+z^2}, \end{aligned} \]

在球面 \(r=1\) 上這個 transition 縮成 \((\theta,\phi) \leftrightarrow (x,y,z)\) ，但外在有約束 \(x^2+y^2+z^2=1\) ，所以 \((x,y,z)\) 並不是 3 個獨立座標。

動手實驗#

實驗 1：同一點兩種座標描述

在球面上取同一點，用 \((\theta, \phi)\) 與 \((x, y)\) （赤道投影）兩種描述：

from sympy import symbols, sin, cos, sqrt, atan2, N, pi

# 取球面上一點：theta=pi/4（緯度45度）、phi=pi/3
theta_v, phi_v = pi/4, pi/3

# 球面卡描述
print('球面卡：theta =', N(theta_v), ', phi =', N(phi_v))

# 換到平面投影卡 (x, y)
x_v = sin(theta_v)*cos(phi_v)
y_v = sin(theta_v)*sin(phi_v)
print('平面卡：X =', N(x_v), ', Y =', N(y_v))

# 從平面卡換回球面卡
theta_back = atan2(sqrt(x_v**2 + y_v**2), x_v)   # 這其實是 atan2航道，可拿 phi 再回 theta
phi_back   = atan2(y_v, x_v)
print('換回 (r 這一號.theta)：', N(sqrt(x_v**2 + y_v**2)), ', phi =', N(phi_back))

你該看到 \(\phi\) 換回 \(\pi/3\) ，證明 transition map 雙向一致。

實驗 2：找出北極的失效

試著在北極 \(\theta = 0\) 檢查 \((\theta, \phi)\) ：

from sympy import pi, sin, cos, N

theta_v, phi_v = 0, 3*pi/4
print('球面參數化 (theta=0)：')
print('  x =', N(sin(0)*cos(phi_v)))    # 0
print('  y =', N(sin(0)*sin(phi_v)))    # 0
print('  z =', N(cos(0)))               # 1

無論 \(\phi\) 是 \(0\) 、 \(\pi/4\) 、 \(3\pi/4\) ， \((x,y,z)\) 都是 \((0, 0, 1)\) 。** \(\phi\) 失效**。這就是這一點你必須換另一張卡的原因。

實驗 3：transition map 的可逆性

transition map 必須是雙射。以球面 ↔ 投影為例，請寫一段程式：

  1. 從 \((\theta,\phi)\) 轉到 \((X, Y)\) 。
  2. 從 \((X, Y)\) 轉回 \((\theta, \phi)\) 。
  3. 比較起點和終點，確認相等。

挑 5 個不同點（要避開北極）測試，確認往返一致。

實驗 4：自訂一種新座標卡

在環面 \(T^2\) 上，你也應該能定義兩種座標卡（如大環距離 \(u\) 、小環距離 \(v\) ）與它們的 transition。雖然 diffgeom 本身也內建環面（sympy.diffgeom 有相關範例），試著自己寫一次 Manifold / Patch / CoordSystem，把 \((u, v)\) 定義為你的第一張卡，感覺一下這套 API 的節奏。

小結與練習#

  • 座標卡 = 局部鄰域 + 映上 \(\mathbb{R}^n\) 的規則。
  • 圖冊 = 一組蓋住整個流形的座標卡。
  • 轉換函數定義光滑性，是把不同卡上同一點的座標互換的規則。
  • 奇點是座標失效，不是流形壞掉。
  • SymPy diffgeom 用 Manifold / Patch / CoordSystem（與 transitions）表現這些概念。

練習：

  1. 請自己動手在 SymPy 中定義球面的兩張座標卡：一張用北極投影、一張用南極投影。確認：兩張卡合起來蓋住球面。
  2. 環面 \(T^2\) 的 \((u, v)\) 座標卡在哪些點失效？試著推導，並與本節球面例子對照。
  3. 所有 transition map 都是可逆的。如果有一張卡在某點失效，那 transition 在哪些座標值上會尖斷或不可微？舉例說明。
  4. 用 SymPy 驗證：球面座標 \((\theta,\phi)\) 換到直角座標 \((x, y, z)\) 再換回來，是否與原值一致（限制在 \(\theta \in (0, \pi)\) 且不過南北極）？在北極上做同樣測試，觀察失敗。
  5. 試著用 mermaid 畫一張說明「圖冊中兩卡交疊，transition map 如何作用」的圖，內容包含 \(U\) 、 \(V\) 、 \(\varphi\) 、 \(\psi\) 、 \(\varphi\circ\psi^{-1}\) 等元素。