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06.4 度量張量#

本節目標#

  • 理解 度量張量 \(g = \sum g_{ij}\, dx^i \otimes dx^j\) ：在每個切空間上給一個內積
  • 說清 \(ds^2 = g_{ij}\, dx^i dx^j\) 的意義：測量彎曲世界裡的無窮小長度
  • 用 SymPy diffgeom 計算球面、圓柱、雙曲面的度量，呼應第 2 章的第一基本形式
  • 學會由度量計算曲線長度： \(L = \int \sqrt{g_{ij}\, \dot{x}^i \dot{x}^j}\ dt\)
  • 理解 等距（isometry）：兩個度量之間存在保持長度的座標變換
  • 動手實驗：在球面上用度量算大圓弧長，與已知公式對照

直覺：度量是在每個點放一把「尺」#

第 6.3 節說：切空間 \(T_pM\) 是在點 \(p\) 附近的「直線世界」。但有一個問題沒解決：在 \(T_pM\) 裡，兩個切向量的內積是多少？向量多長？角度多大？

在 \(\mathbb{R}^n\) 我們用標準內積 \(u \cdot v = \sum u^i v^i\) 。但在彎曲的流形上，沒有天生的「標準」——每個點可以有自己的量法。度量張量 就是這把尺：

\[ g_p : T_pM \times T_pM \to \mathbb{R}, \qquad (u, v) \mapsto g_p(u, v) \]

每個點 \(p\) 各一把尺，合起來就是一個 對稱、正定 的 \((0,2)\) -張量場：

\[ g = \sum_{i,j} g_{ij}\, dx^i \otimes dx^j, \qquad g_{ij} = g_{ji}, \qquad g(u, u) > 0 \ (u \neq 0) \]

類比：一張世界地圖。格網線在赤道附近間距合理，但在極區被壓縮變形。要知道「地圖上一小格實際有多長」，必須查表——這張表就是度量 \(g_{ij}\) 。彎曲空間中的「尺」隨位置變化，度量就是把每個位置的尺都記下來的完整檔案。

\(ds^2\) ：無窮小長度的配方#

記號 \(ds^2\) 是物理與幾何的通用語言：

\[ ds^2 = \sum_{i,j} g_{ij}\, dx^i\, dx^j \]

它的意義：一個無窮小位移 \((dx^1, \dots, dx^n)\) 的 長度平方。例如：

  • 平面直角座標： \(ds^2 = dx^2 + dy^2\) （畢氏定理）
  • 平面極座標： \(ds^2 = dr^2 + r^2\, d\theta^2\) （沿 \(\theta\) 走一小步，實際長度是 \(r\, d\theta\) ，不是 \(d\theta\) ）
  • 球面（半徑 \(R\) ）： \(ds^2 = R^2\, d\theta^2 + R^2 \sin^2\theta\, d\phi^2\)

這就是第 2 章第一基本形式的回歸。當時我們對參數曲面 \(X(u, v)\) 計算 \(E = X_u \cdot X_u\) 、 \(F = X_u \cdot X_v\) 、 \(G = X_v \cdot X_v\) ，寫出 \(ds^2 = E\,du^2 + 2F\,du\,dv + G\,dv^2\) 。現在用張量語言重看： \((g_{ij}) = \begin{pmatrix} E & F \\ F & G \end{pmatrix}\) 。第一基本形式就是嵌入曲面上的度量——不是新東西，是同一件事的座標無關版本。

度量決定了內積，因此決定：曲線長度、曲面面積、角度、體積，以及（透過第 7 章的聯絡）平行移動與測地線。Riemann 幾何的全部素材，都從這一個 \((0,2)\) -張量出發。

三個經典曲面的度量#

球面（半徑 \(R\) ）#

參數化 \(X(\theta, \phi) = (R\sin\theta\cos\phi,\ R\sin\theta\sin\phi,\ R\cos\theta)\) ：

\[ g = R^2\, d\theta \otimes d\theta + R^2 \sin^2\theta\, d\phi \otimes d\phi \]

沿緯度線走 \(d\phi\) 這麼多「座標距離」，實際長度是 \(R\sin\theta\, d\phi\) ——在極區（ \(\theta \to 0\) ）被壓到很小，這正是地圖變形的源頭。

圓柱面（半徑 \(R\) ）#

參數化 \(X(u, v) = (R\cos u,\ R\sin u,\ v)\) ：

\[ g = R^2\, du \otimes du + dv \otimes dv \]

係數全是常數！這暗示圓柱 ** 本質上是平的**：把它攤開就是一片長方形紙。第 2 章我們算過圓柱的高斯曲率為 \(0\) ，這裡從度量結構再次看到證據。

雙曲面（Poincaré 上半平面模型）#

雙曲幾何最方便的表法是 上半平面 \(y > 0\) 帶度量：

\[ g = \frac{dx \otimes dx + dy \otimes dy}{y^2}, \qquad ds^2 = \frac{dx^2 + dy^2}{y^2} \]

底盤還是平的（ \(dx^2 + dy^2\) ），但除以 \(y^2\) ：越靠近 \(y = 0\) ，「同一個座標步長」的實際長度越 大——無窮遠就在 \(y = 0\) 的方向。這個度量讓整個上半平面擁有常數負曲率 \(-1\) （第 8 章驗證）。

SymPy：用 diffgeom 建立度量#

sympy.diffgeom 允許自訂座標卡與張量場。我們在 \(\mathbb{R}^3\) 的球面座標卡上構造「限制到球面上的度量」（設 \(\theta, \phi\) 為球面參數）：

from sympy import symbols, sin, cos, simplify, Matrix
from sympy.diffgeom import Manifold, Patch, CoordSystem, TensorProduct

# 建立一個 2 維流形，座標 (theta, phi)
M = Manifold('S2', 2)
patch = Patch('patch', M)
theta, phi = symbols('theta phi', real=True)
cs = CoordSystem('spherical', patch, [theta, phi])
dtheta, dphi = cs.base_oneforms()
e_th, e_ph = cs.base_vectors()

R = symbols('R', positive=True)

# 度量張量：g = R² dθ⊗dθ + R² sin²θ dφ⊗dφ
g = R**2 * TensorProduct(dtheta, dtheta) \
  + R**2 * sin(theta)**2 * TensorProduct(dphi, dphi)

# 讀出分量：g_ij = g(e_i, e_j)
# 注意：多項相加的張量物件不能直接呼叫，需逐項用 rcall 再求和
def metric_component(g, v1, v2):
    if g.func == TensorProduct:
        return g.rcall(v1, v2)
    s = 0
    for term in g.args:
        c, tp = term.as_coeff_Mul()
        s += c * tp.rcall(v1, v2)
    return simplify(s)

g11 = metric_component(g, e_th, e_th)
g12 = metric_component(g, e_th, e_ph)
g22 = metric_component(g, e_ph, e_ph)
G = Matrix([[g11, g12], [g12, g22]])
print(G)
# Matrix([[R**2, 0], [0, R**2*sin(theta)**2]])

# 把分量中的 BaseScalarField 換成普通符號，方便後續積分
th_s, ph_s = symbols('th_s ph_s', real=True)
G_plain = G.subs([(theta, th_s), (phi, ph_s)])
print(G_plain)

對圓柱與雙曲面，做法完全相同，只是換分量：

u, v = symbols('u v', real=True)

# 圓柱面：g = R² du⊗du + dv⊗dv（係數常數 → 平坦的線索）
g_cyl = Matrix([[R**2, 0], [0, 1]])

# 雙曲上半平面：g = (dx² + dy²)/y²
y_coord = symbols('y', positive=True)
g_hyp = Matrix([[1, 0], [0, 1]]) / y_coord**2
print(g_cyl, '\n', g_hyp)

觀察重點：度量完全由分量矩陣 \(G = (g_{ij})\) 決定；TensorProduct 構造出的對象呼叫 g(e_i, e_j) 就能取分量。對稱性（ \(g_{12} = g_{21}\) ）由構造方式保證。

由度量算曲線長度#

曲線 \(c(t) = (x^1(t), \dots, x^n(t))\) ， \(t \in [a, b]\) ，其速度 \(\dot{c} = \sum \dot{x}^i \frac{\partial}{\partial x^i}\) 。用度量量它的長度平方：

\[ \left| \dot{c} \right|^2 = g_{ij}\, \dot{x}^i \dot{x}^j \]

於是弧長：

\[ L = \int_a^b \sqrt{g_{ij}\, \dot{x}^i \dot{x}^j}\ dt \]

這是第 1 章 \(L = \int \|\dot{c}\|\ dt\) 的推廣：把歐氏內積換成 \(g\) 。被開方的量 \(\sum g_{ij}\dot{x}^i\dot{x}^j\) 恆為正（正定性），所以積分良定義。第 7 章將看到：使這個泛函取極值的曲線就是 測地線 ——「度量決定什麼是直線」。

等距：兩個度量是同一個幾何#

定義：光滑映射 \(f : M \to N\) 若保持度量（對所有切向量 \(u, v\) 有 \(g_N(f_* u, f_* v) = g_M(u, v)\) ），稱為 等距映射；若還是雙射，稱為 等距（isometry）。

直覺：等距就是「不拉伸、不撕裂」的變換。兩個等距的流形，縱使座標寫法天差地遠，幾何完全相同——長度、角度、面積、測地線全部一致。

經典例子：圓柱面與平面（上一段已埋伏筆）。把圓柱攤開： \((R\cos u, R\sin u, v) \mapsto (Ru, v)\) ，圓柱度量 \(R^2 du^2 + dv^2\) 變成平面度量 \(dx^2 + dy^2\) （令 \(x = Ru\) ）。分量矩陣在變換前後相同 —— 這就是「攤開」的嚴格意義。高斯曲率在等距下不變（Gauss 的 Theorema Egregium，第 2.2 節），所以球面（ \(K = 1/R^2\) ）與平面（ \(K = 0\) ）不可能等距——這是地圖製作的根本困境：任何世界地圖都必須在某處犧牲長度、角度或面積。

操作層面：給定座標變換 \(\varphi\) ，度量分量的變換規則是：

\[ g'_{kl} = \frac{\partial x^i}{\partial x'^k} \frac{\partial x^j}{\partial x'^l}\, g_{ij} \]

若變換後 \(g' = g\) ，就是等距。SymPy 可以直接做這個矩陣運算（見實驗）。

動手實驗：在球面上算大圓弧長#

實驗：赤道是球面上的大圓，已知周長 \(2\pi R\) 。我們不使用這個已知答案，而是 從度量出發 積分，看是否重現。

from sympy import symbols, sin, cos, pi, simplify, sqrt, integrate, Matrix, Rational

R, t = symbols('R t', positive=True)
th = symbols('theta', nonnegative=True)

# 球面度量分量
g = Matrix([[R**2, 0], [0, R**2*sin(th)**2]])

# ① 赤道：theta = pi/2（常數），phi = t（t: 0 → 2π）
speed_sq = (g * Matrix([0, 1])).dot(Matrix([0, 1]))       # g_ij ẋⁱ ẋʲ
speed_sq_eq = simplify(speed_sq.subs(th, pi/2))           # R²
L_equator = integrate(sqrt(speed_sq_eq), (t, 0, 2*pi))
print('赤道長度 =', L_equator)                             # 2*pi*R  ✅

# ② 緯度圈 theta = π/3（小圓，不是大圓）
speed_sq_lat = simplify(speed_sq.subs(th, pi/3))          # 3R²/4
L_lat = integrate(sqrt(speed_sq_lat), (t, 0, 2*pi))
print('緯度圈長度 =', L_lat)                               # sqrt(3)*pi*R
print('理論值 2πR sin(π/3) =', 2*pi*R*sin(pi/3))          # sqrt(3)*pi*R ✅

除錯提示：若第 ② 步的兩個值不同，回頭檢查 speed_sq 的構造——(g * ẋ).dot(ẋ) 才是 \(g_{ij}\dot{x}^i\dot{x}^j\) ，不要忘了速度向量本身。赤道 \(\theta = \pi/2\) 時 \(\sin^2\theta = 1\) ，速度是 \(R\) ，積分得 \(2\pi R\) 。

實驗進階：等距檢驗——圓柱攤開成平面

from sympy import symbols, pi, cos, sin, simplify, Matrix

R = symbols('R', positive=True)
u, v = symbols('u v', real=True)

# 圓柱參數化 X(u,v) = (R cos u, R sin u, v)，計算第一基本形式
X = Matrix([R*cos(u), R*sin(u), v])
Xu, Xv = X.diff(u), X.diff(v)
E = simplify(Xu.dot(Xu))    # R²
F = simplify(Xu.dot(Xv))    # 0
G = simplify(Xv.dot(Xv))    # 1
print('圓柱度量分量：', E, F, G)        # R² 0 1

# 攤開映射：(u, v) → (x, y) = (Ru, v)，平面度量 E'F'G' = (1, 0, 1)
# 若令 x = Ru，則 du = dx/R，圓柱度量 R² du² + dv² = dx² + dy² ✅
x, y = symbols('x y', real=True)
# 用變換規則驗證：u = x/R, v = y
g_cyl = Matrix([[R**2, 0], [0, 1]])
J = Matrix([[u.subs(u, x/R).diff(x), 0], [0, 1]])   # ∂(u,v)/∂(x,y)
g_new = simplify(J.T * g_cyl * J)
print('變換後的度量：\n', g_new)
# Matrix([[1, 0], [0, 1]])  —— 與平面標準度量相同 → 等距！

觀察重點： 1. 從度量積分得到赤道長 \(2\pi R\) ，與幾何常識一致 —— 度量確實編碼了「尺」。 2. 緯度圈長度 \(2\pi R\sin\theta\) 隨緯度縮短，這是球面與平面不等距的直接後果。 3. 圓柱的度量分量是常數，攤開後與平面完全吻合 —— 它是平的；球面做不到，因為 \(K \neq 0\) 。

小結與練習#

小結

  • 度量張量 \(g = \sum g_{ij}\, dx^i \otimes dx^j\) ：在每個切空間給內積，是對稱正定的 \((0,2)\) -張量場。
  • \(ds^2 = g_{ij}\, dx^i dx^j\) 是無窮小長度平方；第 2 章的第一基本形式 \((E, F, G)\) 就是它的分量。
  • 球面 \(R^2(d\theta^2 + \sin^2\theta\, d\phi^2)\) 、圓柱 \(R^2 du^2 + dv^2\) （平坦）、雙曲上半平面 \((dx^2 + dy^2)/y^2\) 。
  • 曲線長度 \(L = \int \sqrt{g_{ij}\dot{x}^i\dot{x}^j}\ dt\) ：度量決定什麼是「直線」（測地線，第 7 章）。
  • 等距 = 度量分量在座標變換下保持不變；球面與平面不等距，所以完美的世界地圖不存在。

練習

  1. 用本節程式碼計算半徑 \(R\) 的球面上、經線（ \(\phi\) = 常數）從北極到南極的長度，確認答案是 \(\pi R\) （子午線長的一半）。
  2. 對雙曲度量 \(g = (dx^2 + dy^2)/y^2\) ，計算豎直線 \(x = 0\) 從 \(y = 1\) 到 \(y = 2\) 的長度： \(L = \int_1^2 dy/y = \ln 2\) 。用 SymPy 驗證，並思考：從 \(y = 1\) 走到 \(y = 0\) 的長度是多少？（答：無窮大—— \(y = 0\) 是無窮遠。）
  3. 驗證極座標與直角座標的度量互換：從 \(ds^2 = dr^2 + r^2 d\theta^2\) 出發，用變換規則（ \(x = r\cos\theta\) 、 \(y = r\sin\theta\) ）算出 \(ds^2 = dx^2 + dy^2\) 。
  4. （思考）Mercator 地圖保角（保角度）但不保面積。說明：保角意味著什麼？（提示：度量分量矩陣在變換後是原來的純量倍數 \(g' = \lambda(p)\, g\) ；這叫共形等距，比等距弱一階。）
  5. （進階）在球面度量上，驗證緯度圈 \(\theta = \theta_0\) 不是測地線（除赤道外）：比較「沿緯度圈走」與「先沿大圓連接同兩端點」的長度。