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07.1 張量是什麼#

本節目標#

  • 理解張量的核心定義：依座標系以確定方式變換的多重線性物件。
  • 認識最熟悉的張量——度量張量 \(g_{ij}\) ，並確認它是 2 階協變張量。
  • 掌握座標變換法則 \(\tilde{g}_{kl} = \dfrac{\partial x^j}{\partial \tilde{x}^k}\dfrac{\partial x^l}{\partial \tilde{x}^l} g_{jl}\) ，並用 SymPy 完整驗證。
  • 區分反變指標（上標）與協變指標（下標）的幾何意義，用極座標看向量場分量的變化。
  • 建立「座標會變、幾何不變」的觀點，這是第 7 章一切理論的出發點。

直覺：換座標，東西跟著怎麼變？#

在第一章我們量過曲線長度，在第二章我們用第一基本形式 \(E,\ F,\ G\) 量曲面上的長度。這些量都有一個共同特徵：它們描述的幾何事實不因座標選擇而改變，但它們的「數字表示」隨座標而變。張量正是把「怎麼變」寫成明確公式的數學物件。

一個直覺的比方：同一支箭在房間裡指向北方，你換個站姿從另一邊看它，它在你眼中的「左右分量、前後分量」都變了，但箭本身沒動。分量變換、物件不變——這就是張量的精神。

形式上，如果一個「東西」在每個座標系都有一組分量，且兩個座標系的分量之間滿足一條固定的變換公式，它就是張量。變換公式由兩種基本類型組合而成：

  • 協變（下標）：像度量 \(g_{ij}\) 、或函數的梯度分量 \(\partial_i f\) ，隨「基底向量」一起變。
  • 反變（上標）：像向量的分量 \(v^i\) ，與基底「反向相消」地變，使向量 \(\mathbf{v} = v^i \mathbf{e}_i\) 本身不變。

度量是最重要的 2 階張量#

回顧第二章：曲面上第一基本形式在座標 \((u^1, u^2)\) 下寫成

\[ g_{ij} = \mathbf{r}_i \cdot \mathbf{r}_j, \quad i, j = 1, 2 \]

其中 \(\mathbf{r}_i = \partial \mathbf{r}/\partial u^i\) 是座標切向量。現在換座標 \(\tilde{x}^k \mapsto x^j\) （舊座標是新座標的函數），新的座標切向量由鏈鎖法則給出：

\[ \tilde{\mathbf{r}}_k = \frac{\partial x^j}{\partial \tilde{x}^k}\, \mathbf{r}_j \]

於是新度量是

\[ \tilde{g}_{kl} = \tilde{\mathbf{r}}_k \cdot \tilde{\mathbf{r}}_l = \frac{\partial x^j}{\partial \tilde{x}^k}\frac{\partial x^m}{\partial \tilde{x}^l}\, \mathbf{r}_j \cdot \mathbf{r}_m = \frac{\partial x^j}{\partial \tilde{x}^k}\frac{\partial x^m}{\partial \tilde{x}^l} g_{jm} \]

這正是協變張量的變換法則：每個下標都乘一個「舊對新」的雅可比因子。注意這條公式不是我們憑空規定的——它是「度量等於切向量內積」這個幾何定義的直接推論。張量定義之所以長那個樣子，是為了把這類計算的結果公式化。

反變與協變：極座標下的向量場#

\(g_{ij}\) 有兩個下標，是 \((0, 2)\) 型張量。向量分量 \(v^i\) 有上標，是 \((1, 0)\) 型。為了看出差別，考量平面上的極座標：

\[ x = r \cos\theta, \quad y = r \sin\theta \]

切向量是 \(\mathbf{e}_r = (\cos\theta, \sin\theta)\) 、 \(\mathbf{e}_\theta = (-r\sin\theta, r\cos\theta)\) 。注意 \(\|\mathbf{e}_\theta\| = r\) ：極座標的基底向量長度隨位置變化！同一個實際向量，在原點附近的 \(\theta\) －分量數值會被放大，這就是「分量座標相依」最直接的展示。

度量矩陣也應了這一點：

\[ g = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & r^2 \end{pmatrix} \]

\(g_{\theta\theta} = r^2\) 正是 \(\mathbf{e}_\theta\) 長度的平方。把一個物理向量（例如流速場 \(\mathbf{v} = (1, 0)\) ，即處處向東的均勻流）分別寫成直角座標與極座標分量，會看到極座標分量 \(v^r,\ v^\theta\) 隨位置劇烈變化——雖然流場本身處處相同。

SymPy 驗證：度量的座標變換#

我們用兩個例子驗證變換法則。第一個：極座標 ⇄ 直角座標應得到 \(\mathrm{diag}(1, r^2)\) 。第二個：球面度量在兩種參數化下的變換。

例 1：平面直角 → 極座標#

import sympy as sp

r, th = sp.symbols('r theta', real=True, positive=True)
x, y = sp.symbols('x y', real=True)

# 座標變換：舊(直角)是新(極)的函數
x_of = r*sp.cos(th)
y_of = r*sp.sin(th)

# 直角座標下的度量：Euclid 度量
g_xy = sp.Matrix([[1, 0], [0, 1]])

# 雅可比：dx^j / d x~^k
J = sp.Matrix([
    [sp.diff(x_of, r), sp.diff(x_of, th)],
    [sp.diff(y_of, r), sp.diff(y_of, th)]
])

# 變換法則： g~ = J^T g J
g_rth = sp.simplify(J.T * g_xy * J)
print(g_rth)
# Matrix([[1, 0], [0, r**2]])  ✓

中間那步 \(g_{\tilde{x}^k \tilde{x}^l} = \sum_{j,m} J_{kj} J_{lm} g_{jm}\) 用矩陣正是 \(J^\mathsf{T} g\, J\) ——把兩個下標各配一個雅可比因子。

例 2：同度量，兩種參數化（自建矩陣做法）#

再驗證一次「分配律」式的張量行為：把直角座標再轉一個角度（旋轉 \(\alpha\) ），度量應完全不變（因為旋轉保持內積）。

a = sp.symbols('alpha', real=True)

# 旋轉變換：舊座標 = R 新座標
X = sp.Matrix([[sp.cos(a), -sp.sin(a)], [sp.sin(a), sp.cos(a)]])
g_new = X.T * g_xy * X
print(sp.simplify(g_new))   # 仍為 identity：度量在旋轉下不變

例 3：球面度量的座標變換#

球面半徑 1，兩種參數化：(a) 球面座標，(b) 修正參數化 \(\tilde{\phi} = \phi/2\) （放大壓縮經度方向）。第 5 章曾把這當成 Insight 練習，這裡用張量變換一次到位。

ph, tp = sp.symbols('phi tphi', real=True)

# (a) 球面座標下的度量（theta ∈ [0, pi], phi ∈ [0, 2pi)）
E, G = 1, sp.sin(ph)**2
g_sph = sp.diag(E, G)

# (b) 換經度參數：新座標 (theta, tphi)，舊座標 = (theta, 2*tphi)
# 新座標 (ttheta, tphi)，舊座標為其函數：theta = ttheta, phi = 2*tphi
tt = sp.Symbol('ttheta', real=True)
ph_of = 2*tp

J3 = sp.Matrix([[1, 0], [0, 2]])   # 第一列: d(theta)/d(ttheta)=1, 其餘 0；第二列: d(phi)/d(tphi)=2
g2 = sp.simplify(J3.T * g_sph * J3)
print(g2)
# Matrix([[1, 0], [0, 4*sin(2*tphi)**2]])
print(sp.simplify(g2[1,1] - 4*sp.sin(2*tp)**2))   # 0 ✓

關鍵檢查：新舊表示算出的線元素必須相同：

\[ ds^2 = d\theta^2 + \sin^2\theta\, d\phi^2 = d\theta^2 + 4\sin^2(2\tilde\phi)\, d\tilde\phi^2 \]

代入 \(\phi = 2\tilde\phi\) 立即相符。長度是幾何量——不變； \(g\) 的分量——變了。

動手實驗#

實驗 1：向量場分量的座標相依

# 均勻流 v = (1, 0)：直角座標下處處相同
# 極座標分量：v^r = v·e_r/|e_r|^2 ... 直接用內積投影
vr = sp.simplify(x_of*1 + y_of*0)          # v 在 e_r 方向的投影 Cos(theta)
vth_len = sp.sqrt(x_of**2 + y_of**2)       # |e_theta| = r
print("v^r =", vr, "= cos(theta)")          # = cos θ
print("v·eθ =", -r*sp.sin(th)*sp.cos(th)*1 + r*sp.cos(th)*sp.sin(th)*0,
      "-> 極座標 θ 分量 = -sin(theta)/r")

觀察：流場明明均勻， \(\theta\) 分量卻是 \(-\sin\theta / r\) ——在越接近原點處分量越大。這就是「向量本體不變、分量隨座標系（含基底長度）而變」。

實驗 2：破壞不變量才知道什麼是不變量

把例 3 的變換故意做錯：只用一個雅可比因子（ \(\tilde g = J g\) 而非 \(J^\mathsf{T} g J\) ），檢查線元素是否改變。你會發現結果不再對稱、也不再把 \(ds^2\) 保持一致——錯誤的變換法則沒有幾何意義。

實驗 3：量一組座標變換下的 \(g\) 的行列式

對極座標變換計算 \(\det \tilde g\) ，應得 \(r^2\) 。回憶多重積分的 Jacobian 體積因子 \(\sqrt{\det g} = r\,dr\,d\theta\) ——面積元的縮放正是由度量的行列式給出。試再做球面參數 \(\sqrt{\det g} = \sin\theta\) 。

實驗 4（挑戰）：雙曲座標

令 \(x = a\cosh u \cos v,\ y = a\sinh u \sin v\) ，用 J.T * g * J 算出新度量，確認它是對角的，並說明 \(x^2/a^2 - y^2/a^2 = \cosh^2 u - \sinh^2 u = 1\) 與曲線族的對應關係。

小結與練習#

本節重點

  1. 張量的定義核心：分量依固定法則隨座標系變換，幾何本體不變。
  2. 度量 \(g_{ij} = \mathbf{r}_i\cdot\mathbf{r}_j\) 是 \((0,2)\) 型協變張量，變換法則 \(\tilde g = J^\mathsf{T} g\, J\) 。
  3. 上標（反變）與下標（協變）的差別在於它們「相消」的方向不同。
  4. 極座標例子顯示基底向量長度可以隨位置變化，這是分量座標相依的直接來源。
  5. 一切不變量（線元素 \(ds^2\) 、弧長、面積）都可由 \(g\) 重構——度量攜帶了全部幾何資訊。

練習

  1. 用 SymPy 推導並驗證：平面上拋物座標 \(x = uv,\ y = \tfrac12(v^2 - u^2)\) 的度量，並求 \(\sqrt{\det g}\) 。
  2. 證明（以 SymPy 符號驗證兩次隨機變換串接的分量）： \(g\) 經 \(\tilde x \to \bar x\) 再變換的結果，等於直接從 \(x\) 變換到 \(\bar x\) 。這是張量定義中「一致性」的要求。
  3. 在極座標下計算圓 \(r = R\) （ \(\theta \in [0, 2\pi]\) ）的弧長，確認得到 \(2\pi R\) ，並解釋 \(g_{\theta\theta} = R^2\) 在其中扮演的角色。
  4. 把例 3 換成緯度參數 \(\tilde\theta = \theta/2\) ，用 J.T*g*J 求新度量，並檢查線元素不變。
  5. （挑戰）若把度量想成「量長度的機器」，說明為什麼 \(g_{ij}\) 需要兩個下標、而 \(g^ {ij}\) （其反矩陣）需要兩個上標，並用 SymPy 驗證 \(g\) 與 \(g^{-1}\) 在座標變換下分別以什麼法則變換。