07.2 Christoffel 符號與協變導數#

本節目標#

理解為什麼需要「聯絡」：對向量場微分時，基底本身也在變。
推導協變導數 \(\nabla_j v^i = \partial_j v^i + \Gamma^i_{jk} v^k\) 的直覺與公式來源。
掌握 Christoffel 符號與度量的關係式 \(\Gamma^i_{jk} = \frac12 g^{il}(\partial_j g_{lk} + \partial_k g_{jl} - \partial_l g_{jk})\) 。
用 SymPy 對極座標平面與球面完整計算所有 Christoffel 符號，列出非零者。
實驗視覺化 \(\Gamma^\theta_{r\theta} = 1/r\) ：看「基底旋轉」如何被係數捕捉。

直覺：求導時，尺和量角器也在動#

在平面的直角座標裡， \(\partial_i \mathbf{v}\) 是小學級別的操作：對每個分量求偏導。但一換到曲面或彎曲座標，事情立刻變了。

回憶 07.1：向量寫成 \(\mathbf{v} = v^i \mathbf{e}_i\) 。對座標 \(j\) 求導：

\[ \frac{\partial \mathbf{v}}{\partial x^j} = \frac{\partial v^i}{\partial x^j} \mathbf{e}_i + v^i \frac{\partial \mathbf{e}_i}{\partial x^j} \]

第二項是麻煩來源：基底向量 \(\mathbf{e}_i\) 依賴位置（例如極座標的 \(\mathbf{e}_\theta\) 隨 \(\theta\) 轉方向、隨 \(r\) 變長度）。在直角座標中 \(\mathbf{e}_x, \mathbf{e}_y\) 處處相同，第二項為零，所以我們從來沒感覺到它；但它在曲面與彎曲座標中始終存在，忽略它就會算出依座標而異的假導數。

第二項可以展開： \(\partial \mathbf{e}_i / \partial x^j\) 仍是向量，沿基底分解：

\[ \frac{\partial \mathbf{e}_i}{\partial x^j} = \Gamma^k_{ji} \mathbf{e}_k \]

係數 \(\Gamma^k_{ji}\) 就是 Christoffel 符號（聯絡係數）——它記錄「當你沿 \(x^j\) 走一步，基底 \(\mathbf{e}_i\) 相對於座標方向轉了、縮了多少」。它是座標資訊的忠實會計。

協變導數：把基底變化補回去#

把分解代入，定義真正的（座標不變的）導數：

\[ \frac{\partial \mathbf{v}}{\partial x^j} = \left( \partial_j v^k + \Gamma^k_{jk} v^i \right) \mathbf{e}_k \quad (\text{把 } i \text{ 換成啞標後}) \]

整理成標準記號，協變導數：

\[ \nabla_j v^i = \partial_j v^i + \Gamma^i_{jk} v^k \]

兩段各管一件事： \(\partial_j v^i\) 是「分量的變化率」， \(\Gamma^i_{jk} v^k\) 是「基底的變化率經由 \(\mathbf{v}\) 本身造成、需要補償的部分」。兩者合成後才是座標不變的幾何量。

關鍵性質：

\[ \nabla_j \mathbf{v} = (\nabla_j v^i)\, \mathbf{e}_i \ \text{是真正的向量(張量)}；\quad \partial_j v^i \ \text{則否} \]

驗證方式：將 \(\nabla_j v^i\) 在座標變換下的行為算出來——額外的 \(\Gamma\) 項恰好把 \(\partial_j v^i\) 中「不按張量法則變」的部分吃掉。這也是「協變」名稱的由來：下標 \(j\) 像協變指標那樣變換。

Christoffel 符號由度量決定#

到目前為止 \(\Gamma\) 只被定義為「基底變化率的分解係數」，還需一條可以用 SymPy 計算的公式。若我們要求聯絡與度量相容（沿任何路徑做平行移動時長度與內積不變，這是 07.3 的主題）， \(\Gamma\) 就被唯一確定：

\[ \Gamma^i_{jk} = \frac12 g^{il}\left( \partial_j g_{lk} + \partial_k g_{jl} - \partial_l g_{jk} \right) \]

記憶法：「三項式、對 \(j,k\) 對稱、乘 \(g\) 反矩陣」。它完全由 \(g_{ij}\) 及其一階偏導構成——度量的知識就足夠定義求導。直覺：度量告訴我們各方向「尺的刻度」，Christoffel 符號則告訴我們刻度之間如何相互扭轉。

SymPy 實作：極座標平面的 Christoffel 符號#

自建矩陣做法（不用 sympy.diffgeom，全程 Matrix，便於控制）：

import sympy as sp

r, th = sp.symbols('r theta', real=True, positive=True)

def metric_to_christoffel(g, coords):
    """由度量矩陣計算 Christoffel 符號 Γ^i_jk，回傳三維巢狀結構。
    g[i,j] 為度量，coords 為座標變數串列。"""
    n = len(coords)
    ginv = g.inv()
    G = {}
    for i in range(n):
        for j in range(n):
            for k in range(n):
                expr = sp.simplify(sum(
                    sp.Rational(1,2) * ginv[i, l] *
                    (sp.diff(g[l, k], coords[j]) +
                     sp.diff(g[l, j], coords[k]) -
                     sp.diff(g[j, k], coords[l]))
                    for l in range(n)))
                if expr != 0:
                    G[(i, j, k)] = expr
    return G

# 極座標平面度量
g_polar = sp.Matrix([[1, 0], [0, r**2]])
G_polar = metric_to_christoffel(g_polar, [r, th])

names = ['r', 'θ']
for key, val in sorted(G_polar.items()):
    i, j, k = key
    print(f"Γ^{names[i]}_{names[j]}{names[k]} = {sp.simplify(val)}")

輸出（把下標換成符號）：

\[ \Gamma^r_{\theta\theta} = -r, \qquad \Gamma^\theta_{r\theta} = \Gamma^\theta_{\theta r} = \frac1r \]

恰好兩個（對稱後三個）非零符號，全部可解釋： \(-r\) 與 \(1/r\) 正是「 \(\mathbf{e}_\theta\) 隨 \(\theta\) 轉向、隨 \(r\) 變長」的數值記錄。

SymPy 實作：球面（單位球， \((\theta, \phi)\) 座標）#

球面度量 \(g = \mathrm{diag}(1, \sin^2\theta)\) ：

sin_t = sp.sin(th)
g_sphere = sp.Matrix([[1, 0], [0, sin_t**2]])
G_sphere = metric_to_christoffel(g_sphere, [th, sp.Symbol('phi', real=True)])

for (i, j, k), val in sorted(G_sphere.items()):
    names = [u'θ', u'φ']
    # Γ^i_jk 與 Γ^i_kj 對稱，列印一次即可
    if (i, k, j) not in G_sphere or j <= k:
        print(f"Γ^{names[i]}_{names[j]}{names[k]} = {val}")

非零符號（對 \(j,k\) 對稱）：

\[ \Gamma^\theta_{\phi\phi} = -\sin\theta\cos\theta, \quad \Gamma^\phi_{\theta\phi} = \Gamma^\phi_{\phi\theta} = \cot\theta \]

幾何解讀： \(\Gamma^\phi_{\theta\phi} = \cot\theta\) 說明——沿極角方向（往南北極走），經線會收攏， \(\mathbf{e}_\phi\) 的長度 \(\sin\theta\) 要縮小，聯絡把這件事記了下來；在赤道處 \(\cot\theta = 0\) （經線互相平行），在極點處發散。

動手實驗#

**實驗 1：視覺化 \(\Gamma^\theta_{r\theta} = 1/r\) **

\(\Gamma^\theta_{r\theta}\) 的意義：沿 \(r\) 方向走一小步，基底 \(\mathbf{e}_\theta\) 相對於 \(\theta\) 方向「增長比率」為 \(1/r\) ——離原點越遠，同樣的 \(\theta\) －步幅對應的實際弧就越長。動手驗證：

import sympy as sp
r, th = sp.symbols('r theta', positive=True)

# e_theta 的長度是 r；d/dr(e_theta 長度)/長度 = 1/r
e_len = sp.sqrt(( -r*sp.sin(th))**2 + (r*sp.cos(th))**2)
print(sp.simplify(sp.diff(e_len, r)/e_len))   # 1/r ✓   (即 Γ^θ_{rθ})

再畫出：在同一點畫 \(\mathbf{e}_r, \mathbf{e}_\theta\) （用 matplotlib quiver），令 \(r\) 從 1 走到 3，觀察 \(\|\mathbf{e}_\theta\| = r\) 線性增大。斜率/長度比就是 \(1/r\) 。

實驗 2：直角座標的 Γ 全為零

對 \(g = I\) 跑同一個函數，確認字典為空。這解釋了為什麼在直角座標學微積分時從不提及聯絡——不是不存在，而是恰好為零。換成極座標後量子「出現」了：它們是座標的產物，不是空間的性質。（但要注意：曲面的曲率資訊會藏在「Γ 隨位置變化的方式」裡，見 07.3、07.4。）

實驗 3：驗證 Γ 的下標對稱性

對兩個例子檢查：對所有 \(i, j, k\) ，Γ(i,j,k) == Γ(i,k,j)。在公式中互換 \(j \leftrightarrow k\) 不變——Levi-Civita 聯絡是無撓（torsion-free）的預兆。

實驗 4（挑戰）：橢球面或三維極座標

用 \(g = \mathrm{diag}(1, \sin^2\theta, \sin^2\theta \sin^2\phi)\) 對三維球座標計算全部 Christoffel 符號（應有 6 個非零組），並逐一給幾何解釋。

小結與練習#

本節重點

彎曲座標中 \(\partial_j \mathbf{v}\) 多出一項 \(v^i \partial_j \mathbf{e}_i\) ，因為基底隨位置變。
協變導數 \(\nabla_j v^i = \partial_j v^i + \Gamma^i_{jk} v^k\) 把基底變化補償掉，結果是真正張量。
Christoffel 符號是基底變化率的分解係數，可由度量唯一算出（相容聯絡下）。
極座標： \(\Gamma^r_{\theta\theta} = -r\) 、 \(\Gamma^\theta_{r\theta} = 1/r\) ；球面： \(\Gamma^\theta_{\phi\phi} = -\sin\theta\cos\theta\) 、 \(\Gamma^\phi_{\theta\phi} = \cot\theta\) 。
直角座標 \(\Gamma \equiv 0\) ：聯絡符號是座標效應，但其空間變化模式承載曲率資訊。

練習

對極座標手工推導 \(\Gamma^r_{\theta\theta} = -r\) （從 \(\partial_\theta \mathbf{e}_\theta = (-r\cos\theta, -r\sin\theta) = -r\,\mathbf{e}_r\) 出發），再與 SymPy 結果對照。
用 SymPy 驗證： \(\nabla_j(\cos\theta)\) ——把常數向量場 \(\mathbf{v} = (1, 0)\) （直角）換算成極座標分量後，計算其協變導數，結果應為零（向量場處處相同）。
圓柱面參數化 \((\cos\phi, \sin\phi, z)\) ，求其度量與全部 Christoffel 符號。你應得到全零——說明什麼？（提示：圓柱局部上是平面。）
在球面上取向量場恒沿經線（ \(v = (1, 0)\) ），計算 \(\nabla_\phi v^\phi = \Gamma^\phi_{\phi\phi} = 0\) 但 \(\nabla_\phi v^\theta = \partial_\phi v^\theta = 0\) ，而 \(\nabla_\theta v^\phi\) 非零，解釋其幾何意義。
（挑戰）證明公式：由「 \(\nabla_k g_{ij} = 0\) 」解出 \(\Gamma\) ，即把三條方程對 \((ij), (jk), (ki)\) 相加減，重推 Christoffel 公式。