07.3 Levi-Civita 聯絡#

本節目標#

認識度規幾何的「標準配備」：Levi-Civita 聯絡——唯一保度量且無撓的聯絡。
理解「唯一性」為什麼重要：它使「度量 → 求導 → 測地線」成為完全確定的 pipeline。
用 SymPy 實作從度量生成 \(\Gamma\) （07.2 已寫的函式直接沿用），並驗證度量相容性 \(\nabla_k g_{ij} = 0\) 。
建立完整流程：給度量 → 算聯絡 → 檢查相容 → 準備求測地線（07.4 用）。
實驗改變度量的局部場效應：連續修改度量參數，看聯絡如何「生病」。

直覺：多種可能的「求導方式」？#

a 07.2 我們把協變導數定義為 \(\nabla_j v^i = \partial_j v^i + \Gamma^i_{jk} v^k\) ，而 \(\Gamma\) 是由「基底變化」分解出來的。但若有人換一組 \(\Gamma\) ，協變導數一樣「形式上成立」——問題來了：

在一個流形上，究竟有多少種合理的「求導方式」？

答案是：很多。可以定義 \(\tilde{\nabla}_j v^i = \nabla_j v^i + T^i_{jk} v^k\) （加任意一個對 \(j, k\) 反對稱的張量 \(T\) ——撓率），仍是合法聯絡。但其中有一個最特殊：

Levi-Civita 聯絡（號稱「自然聯絡」）由兩個要求唯一刻畫：

保度量（metric compatibility）：對任何向量場 \(u, v\) ，沿任何方向 \(w\) 平行移動時內積不變：

\[ \nabla_w (u \cdot v) = (\nabla_w u) \cdot v + u \cdot (\nabla_w v) \]

分量形式等價於

\[ \nabla_k g_{ij} = \partial_k g_{ij} - \Gamma^l_{ki} g_{lj} - \Gamma^l_{kj} g_{il} = 0 \]

無撓： \(\Gamma^i_{jk} = \Gamma^i_{kj}\) （對稱下標），對應微分幾何中「交換偏導」的熟悉性質。

定理（Levi-Civita，Fundamental Theorem of Riemannian Geometry）：同時滿足這兩條的聯絡恰有一個，且就是 07.2 的 Christoffel 符號。這不是巧合——07.2 從「基底變化」推出 \(\Gamma\) ，本節從「兩大公理」推出同一個 \(\Gamma\) ：兩條路走向同一座橋。

本質：為什麼「保度量 + 無撓」如此自然？#

保度量就是「剛性量尺」：用 SymPy 類比，若把向量想成剛桿，平行移動不許伸縮、不許改變相對夾角。幾何直覺上，黎曼幾何的度量是終極道具，一個會「扭曲量尺」的聯絡與度量互相打架。無撓則是「局域無扭旋」：在極小範圍內平行移動兜一圈，向量不會多轉出一個額外角度（撓率不為零的幾何上會）。兩者合起來，Levi-Civita 聯絡就是把度量「忠實搬運」的最自然方式。

最深刻的意義：有了 Levi-Civita 聯絡，測地線、曲率、平行移動全部由度量唯一決定。這就是「metric geometry」的精義：只要給 \(g\) ，一切幾何隨之確定。

SymPy 實作：metric → connection → 驗證相容#

沿用 07.2 的 metric_to_christoffel，加上相容性檢查：

import sympy as sp

def christoffel(g, coords):
    """由度量算 Christoffel 符號，回傳 {(i,j,k): expr}"""
    n = len(coords)
    ginv = g.inv()
    G = {}
    for i in range(n):
        for j in range(n):
            for k in range(n):
                expr = sp.simplify(sp.Rational(1,2)*sum(ginv[i, l]*
                    (sp.diff(g[l, k], coords[j]) +
                     sp.diff(g[l, j], coords[k]) -
                     sp.diff(g[j, k], coords[l]))
                    for l in range(n)))
                if expr != 0:
                    G[(i, j, k)] = expr
    return G

def gamma_full(G, coords):
    """把 G 擴張成 n*n*n 的完整 array（缺席者補 0）"""
    n = len(coords)
    arr = sp.MutableDenseNDimArray.zeros(n, n, n)
    for (i, j, k), v in G.items():
        arr[i, j, k] = v
        arr[i, k, j] = v      # 對稱下標
    return arr

def check_metric_compatibility(g, G3, coords):
    """計算 ∇_k g_ij = ∂_k g_ij − Γ^l_ki g_lj − Γ^l_kj g_il，全分量應為 0"""
    n = len(coords)
    bad = []
    for k in range(n):
        for i in range(n):
            for j in range(n):
                expr = sp.diff(g[i, j], coords[k])
                for l in range(n):
                    expr -= G3[l, k, i]*g[l, j]
                    expr -= G3[l, k, j]*g[i, l]
                e = sp.simplify(expr)
                if e != 0:
                    bad.append(((k, i, j), e))
    return bad

pipeline 跑一遍：球面#

th, ph = sp.symbols('theta phi', real=True, positive=True)
g_sphere = sp.diag(1, sp.sin(th)**2)
G = christoffel(g_sphere, [th, ph])
G3 = gamma_full(G, [th, ph])
print("非零 Γ：", G)
print("相容性違規：", check_metric_compatibility(g_sphere, G3, [th, ph]))
# 應印出 []：Levi-Civita 聯絡與度量完全相容 ✓

對換一組「不保度量」的聯絡做對照#

故意把 \(\Gamma\) 修改（比如砍掉某個非零符號），再跑 check_metric_compatibility，將看到一堆非零違規——證明那組 \(\Gamma\) 不是 Levi-Civita 聯絡，它會在搬運向量時「偷伸縮」。

G_bad = dict(G)
G_bad.pop((1, 0, 1), None)         # 刪掉 Γ^φ_θφ
G3_bad = gamma_full(G_bad, [th, ph])
print(check_metric_compatibility(g_sphere, G3_bad, [th, ph]))   # 非空 ✓

「唯一」的驗證：兩人情同一個答案#

一個重要交叉檢查：度規幾何聯絡的唯一性可以用一個實驗證明——把 \(\Gamma\) 的公式改成

\[ \hat\Gamma^i_{jk} = \Gamma^i_{jk} + A^i_{jk} \]

（ \(A\) 為任意張量），要求 \(\nabla_k g_{ij} = 0\) 仍成立，用 SymPy 解 \(A\) 應得 \(A \equiv 0\) 。做法：在極座標上，令 \(A = A(t)\) 為符號、寫下 \(\nabla_k g_{ij}= 0\) 的分量方程組並 sp.solve。你會發現解是平凡的——兩大公理的交集只有一點。

為什麼「測地線 = 測量的-measure 地線」？#

預告 07.4：聯絡確定後，測地線（「局部最直的路」）可以用 \(\nabla_{\dot\gamma}\dot\gamma = 0\) 定義——意即「自身沿自身做協變微分為零」。由於 Levi-Civita 的保度量性，這條曲線上向量自身沿自身移動時長度不變、且是「不可能再直」的極值化路徑——同時可用變分法證明它最小化能量 \(E = \int g_{ij}\dot\gamma^i \dot\gamma^j\) 。兩種定義（「直」與「極值」）在 Levi-Civita 聯絡下重合，這是此聯絡名符其實的深層理由。

動手實驗#

實驗 1：改變度量的局部場效應

考量一族依參數 \(a\) 變化的度量 \(g_a = \mathrm{diag}(1, a\sin^2\theta\sqrt{\phantom{x}})\) （其實就是球面縮放：半徑 \(a\) 的球）：

a = sp.Symbol('a', positive=True)
g_a = sp.diag(1, a**2*sp.sin(th)**2)
G_a = christoffel(g_a, [th, ph])
for (i, j, k), v in sorted(G_a.items()):
    print((i, j, k), sp.simplify(v))

觀察： \(\Gamma^\phi_{\theta\phi} = \cot\theta\) 與半徑無關（經線收攏率是純角度幾何），但 \(\Gamma^\theta_{\phi\phi} = -\sin\theta\cos\theta\) 也沒有 \(a\) —— 半徑不進入 \((\theta, \phi)\) 座標的 Christoffel 符號。這再次呼應 07.1 的教訓：座標內的公式看不到絕對尺度，只有對外比較（如嵌入 \(\mathbb{R}^3\) ）才看得到。試把度量改成椭球 \(g = \mathrm{diag}\) 形式，讓 \(\Gamma\) 出現真正的參數依賴。

實驗 2：相容性也可正向驗證

對球面直接計算 \(\partial_k g_{ij}\) 與 \(\Gamma\) 二項的差，逐分量印出，親眼看到每個都是 0（比如 \(\partial_\theta g_{\phi\phi} = 2\sin\theta\cos\theta\) 恰被 \(2\Gamma^\phi_{\theta\phi} g_{\phi\phi}\) 捕回）。特別解釋本例非零的 \(\partial_\theta g_{\phi\phi}\) 如何被聯絡「補回零」。

實驗 3：雙曲平面

用上半平面度量 \(g = \dfrac{dx^2 + dy^2}{y^2}\) （ \(y > 0\) ），跑整個 pipeline：算 \(\Gamma\) 、驗證 \(\nabla g = 0\) 。你會得到 \(\Gamma^x_{xy} = \Gamma^y_{yy} = -1/y\) 、 \(\Gamma^y_{xx} = 1/y\) 等符號——這是負曲率幾何的第一個計算實例。

實驗 4（挑戰）：撓率不為零的聯絡

在平面上定義 \(\Gamma^x_{xy} = 1\) （其餘為零），計算它對應聯絡的撓率張量 \(T^i_{jk} = \Gamma^i_{jk} - \Gamma^i_{kj}\) ，確認非零，並計算 \(\nabla g\) ，看它違反相容性到什麼程度。

小結與練習#

本節重點

聯絡有很多；Levi-Civita 聯絡由「保度量 + 無撓」兩公理唯一確定。
保度量即 \(\nabla_k g_{ij} = 0\) ：平行移動不改變內積；無撓即 \(\Gamma^i_{jk} = \Gamma^i_{kj}\) 。
07.2 從基底變化推出 \(\Gamma\) ，本節從公理推出同一個 \(\Gamma\) ——兩條路殊途同歸。
Metric → connection → verification pipeline 是整章的工程骨架，可套用到任何度量。
有了 Levi-Civita 聯絡，測地線與曲率都是度量的內在產物，不需要外面世界。

練習

對球面逐分量手算 \(\nabla_\theta g_{\phi\phi}\) ，親自驗證它為零。
對椭圓拋物面參數化度量（參考 02 章）、跑 pipeline，列出非零 \(\Gamma\) 並驗證相容性。
在平面極座標上令 \(\hat\Gamma^\theta_{\theta r} = \Gamma^\theta_{\theta r} + c/r\) （ \(c\) 常數），計算 \(\nabla_k g_{ij}\) ，找出 \(c\) 為何值時相容性破壞最小（應得 \(c = 0\) ）。
證明：保度量 + 無撓 \(\Rightarrow\) \(\Gamma\) 的 Christoffel 公式。（提示：把 \(\nabla_k g_{ij} = 0\) 中的 \(\Gamma\) 換成 \(\hat\Gamma = \Gamma + A\) ，解線性方程組，得 \(A^i_{jk}\) 對 \(j,k\) 反對稱且為零。）
（挑戰）用 sympy.diffgeom 模組重做球面 pipeline：定義 Manifold、Patch、CoordSystem、metric 並呼叫 TensorProduct、metric_to_Christoffel_2nd，對照自建矩陣法的結果。