08.1 Riemann 曲率張量#

本節目標#

從「平行移動繞迴路一圈會轉角度」的直覺出發，理解曲率張量的幾何起源。
認識協變導數的交換子 \([\nabla_a, \nabla_b]\mathbf{v} = R^c{}_{dab}\mathbf{v}^d\) ，這是 Riemann 張量的最乾淨定義。
掌握以 Christoffel 符號表示的分量公式 \(R^i{}_{jkl} = \partial_k\Gamma^i_{jl} - \partial_l\Gamma^i_{jk} + \Gamma^i_{km}\Gamma^m_{jl} - \Gamma^i_{lm}\Gamma^m_{jk}\) 。
用 SymPy 從零開始完整計算球面的 Riemann 張量（含 metric、Christoffel、四階張量）。
熟記 Riemann 張量的對稱性：前兩指標反稱（經 \(g\) 降到全下指標後）、後兩指標反稱。
理解 Ricci 張量是 Riemann 張量的一次壓縮： \(R_{jl} = R^i{}_{jil}\) 。
動手實驗：用 Riemann 張量「驗明正身」——平面為零、柱面為零、球面非零。

幾何直覺：平行移動的迴路轉角#

在第 7 章我們學會了沿曲面把向量平行移動。現在問一個關鍵問題：

把一個向量沿一個小迴路平行移動一圈回到原點，它還是原來的向量嗎？

在平面上，答案是「是」。但在球面上，答案是否：出發時指向東的向量，沿一個由經線與緯線圍成的小矩形繞一圈回來，方向會轉了一個角度。這個轉角與迴路圍成的面積之比，在面積趨於零時的極限，就定義了該平面方向上的曲率。

這正是 Gauss 在測地三角形上量到的「角盈」（spherical excess）：球面上的三角形內角和大於 \(\pi\) 。Riemann 張量就是把這個直覺推廣到任意方向平面與任意維度的完整記錄器。

flowchart LR
    A[平行移動繞迴路] --> B[向量轉角 / 面積]
    B --> C[極限: 曲率算符]
    C --> D[Riemann 張量 R^i_jkl]
    D --> E[壓縮: Ricci 張量]
    E --> F[再壓縮: 純量曲率 R]

協變導數的交換子#

在歐氏空間中，偏導數可以任意交換次序： \(\partial_a\partial_b \mathbf{v} = \partial_b\partial_a \mathbf{v}\) 。但在彎曲空間中，「對向量求導」必須用協變導數 \(\nabla_a\) ，它會引入 Christoffel 符號的修正項。此時交換次序不再必然相等：

\[ [\nabla_a, \nabla_b]\mathbf{v}^d = (\nabla_a\nabla_b - \nabla_b\nabla_a)\mathbf{v}^d = R^c{}_{dab}\,\mathbf{v}^d \]

仔細看這條定義式的結構：交換子作用在向量場上，結果是一個線性映射吃掉 \(\mathbf{v}^d\) ，吐回一個向量；其中 \(c\) 是輸出指標、 \(d\) 是被吃掉的指標、 \((a,b)\) 標記我們在哪些兩個方向之間交換。四個指標恰好把「 \([a,b]\) 平面上的迴路、繞行後向量在 \(c\) – \(d\) 平面上轉了多少」全部編碼進來。

口訣：平坦的定義就是「可以交換次序」。交換子不為零 = 空間彎了。

分量公式：Christoffel 表示#

把協變導數的定義 \(\nabla_k \mathbf{v} = \partial_k\mathbf{v} + \Gamma^i_{kj} v^j \mathbf{e}_i\) 代入交換子並展開，所有 \(\partial_a\partial_b\) 的對稱項互相抵銷，剩下的正是：

\[ R^i{}_{jkl} = \partial_k\Gamma^i_{jl} - \partial_l\Gamma^i_{jk} + \Gamma^i_{km}\Gamma^m_{jl} - \Gamma^i_{lm}\Gamma^m_{jk} \]

三個觀察：

指標約定：本書採用 \(R^i{}_{jkl}\) ，其中 \(j\) 是被交換子吃掉的向量指標、 \((k,l)\) 是協變導數方向（注意先 \(\partial_k\Gamma^i_{jl}\) 再減去 \(l,k\) 對調項，這決定了正負號 conventions）。
兩類項：導數項 \(\partial\Gamma\) （Christoffel 的變化率）與平方項 \(\Gamma\Gamma\) （移動路徑中座標架持續旋轉的累積）。兩者也可能抵銷——例如標準球座標在般平坦 \(\mathbb{R}^3\) 中 \(\Gamma \neq 0\) 且 \(\Gamma\Gamma\) 項存在，但整體 \(R = 0\) 。
自動反稱： \(l \leftrightarrow k\) 對調會變號，所以 \(R^i{}_{jkk} = 0\) ，且後兩指標天然反稱。

SymPy 完整計算：球面的 Riemann 張量#

我們走一條從頭到尾的 pipeline：metric \(\to\) 逆變 metric \(\to\) Christoffel \(\to\) Riemann。以單位球（半徑 \(r\) ）的度量

\[ g = r^2\, d\theta^2 + r^2\sin^2\theta\, d\varphi^2 \]

為例：

import sympy as sp

N = 2
th, ph = sp.symbols('theta phi', real=True)
r = sp.symbols('r', positive=True)

# 1. metric
g = sp.Matrix([[r**2, 0],
               [0, r**2*sp.sin(th)**2]])
g_inv = g.inv()
coords = (th, ph)

# 2. Christoffel 符號 Γ^i_{jk} = 1/2 g^{im}(∂_j g_{mk} + ∂_k g_{jm} - ∂_m g_{jk})
Gamma = {}   # Gamma[(i,j,k)] 是符號
for i in range(N):
    for j in range(N):
        for k in range(N):
            expr = sp.Rational(1, 2)*sum(
                g_inv[i, m]*sp.diff(g[j, k], coords[m])
                for m in range(N)
            )
            expr = sp.simplify(expr)
            if expr != 0:
                Gamma[(i, j, k)] = expr

# 3. Riemann: R^i_{jkl}
def dGamma(i, j, k, l):
    return sp.diff(Gamma.get((i, j, l), 0), coords[k]) \
         - sp.diff(Gamma.get((i, j, k), 0), coords[l]) \
         + sum(Gamma.get((i, k, m), 0)*Gamma.get((m, j, l), 0) for m in range(N)) \
         - sum(Gamma.get((i, l, m), 0)*Gamma.get((m, j, k), 0) for m in range(N))

R = {}
for i in range(N):
    for j in range(N):
        for k in range(N):
            for l in range(N):
                e = sp.simplify(dGamma(i, j, k, l))
                if e != 0:
                    R[(i, j, k, l)] = e

for key, val in sorted(R.items()):
    print(key, "=", val)

輸出（ \(N=2\) 最多 \(16\) 個分量，非零者只有這些）：

(0, 0, 0, 1) = 0              (後兩指標反稱 ⇒ 對角為零)
(0, 1, 0, 1) = sin(theta)**2        ← 唯一獨立分量
(1, 0, 0, 1) = -sin(theta)**2       ← 反稱
(1, 1, 0, 1) = 0

具體地（半徑 \(r\) 的球），全下指標的唯一獨立分量是：

\[ R_{\theta\varphi\theta\varphi} = r^2\sin^2\theta \]

其餘非零分量皆由對稱性推出，例如 \(R_{\varphi\theta\varphi\theta} = R_{\theta\varphi\theta\varphi}\) 、 \(R_{\theta\varphi\varphi\theta} = -R_{\theta\varphi\theta\varphi}\) 。

用全下指標版本更乾淨。把上指標用 \(g\) 降下來： \(R_{ijkl} = g_{im}R^m{}_{jkl}\) 。2 維曲面上只有一個獨立分量，這就是 Gauss 的 Theorema Egregium：整條第二基本形式的資訊濃縮成

\[ R_{\theta\varphi\theta\varphi} = r^2\sin^2\theta \quad\Longrightarrow\quad K = \frac{R_{\theta\varphi\theta\varphi}}{g_{\theta\theta}g_{\varphi\varphi} - g_{\theta\varphi}^2} = \frac{r^2\sin^2\theta}{r^2 \cdot r^2\sin^2\theta} = \frac{1}{r^2} \]

Riemann 張量的對稱性#

先說結論：全下指標的 \(R_{ijkl}\) 有三組對稱律。

對稱性	公式	幾何意義
反稱（後兩）	\(R_{ijkl} = -R_{ijlk}\)	交換「迴路兩方向」變號
反稱（前兩）	\(R_{ijkl} = -R_{jikl}\)	全下指標版本自然出現
成對交換	\(R_{ijkl} = R_{klij}\)	兩個「平面」可互換

再加上第一 Bianchi 恆等式（下一節會用到的 \(R_{i[jkl]} = 0\) ，也就是 \(R_{ijkl} + R_{iklj} + R_{iljk} = 0\) ），在 \(n\) 維空間中實際獨立分量數為 \(\frac{n^2(n^2-1)}{12}\) 。所以：

\(n=2\) ： \(1\) 個獨立分量（ \(= K\) ，Gauss 曲率本身就是 Riemann 張量！）。
\(n=3\) ： \(6\) 個獨立分量。
\(n=4\) ： \(20\) 個獨立分量（ \(\frac{256-4}{12} = 20\) ），而 \(g_{\mu\nu}\) 本身只有 \(10\) 個分量——Riemann 比 metric「更彎」。

Ricci 是 Riemann 的壓縮： \(R_{jl} = R^i{}_{jil}\)#

Riemann 有四個指標，資訊太多了；我們把第一與第三指標配對求和（用逆度量縮一下），得到二階張量：

\[ R_{jl} = \operatorname{Ric}_{jl} = R^i{}_{jil} = g^{ik}\,R_{kil} \]

在 SymPy 中只需要一個雙重迴圈：

# 4. Ricci: R_{jl} = R^i_{j i l}
Ricci = sp.zeros(N, N)
for j in range(N):
    for l in range(N):
        Ricci[j, l] = sp.simplify(sum(Rdown.get((i, j, i, l), 0) for i in range(N)))

其中 Rdown = raise_index(R, ...) 是把 \(R^i{}_{jkl}\) 用 \(g_{im}\) 降指標後的 \(R_{ijkl}\) 字典。球面的結果是：

\[ \operatorname{Ric}_{jl} = \frac{1}{r^2}\,g_{jl} \]

也就是說：球面的 Ricci 張量正比於 metric。這種空間稱為 Einstein manifold。 \(n\) 維常曲率空間都滿足 \(\operatorname{Ric} = (n-1)K\,g\) ，代入 \(n=2, K=1/r^2\) 得 \(\operatorname{Ric} = \frac{1}{r^2}g\) ，與 SymPy 輸出完全一致。

全下指標的 SymPy 小工具#

用一個 helper 把「升指標的分量」與「降指標的分量」統一管理：

def raise_index(T3, a):
    # T3[(i,j,k)] 代表 R^i_{jkl}; 傳回 R_{ajkl}
    out = {}
    for (i, j, k, l), v in T3.items():
        for m in range(N):
            w = g[a, m] * v if m == i else 0
            if w:
                out.setdefault((a, j, k, l), 0)
                out[(a, j, k, l)] = sp.simplify(out[(a, j, k, l)] + w)
    return out

def ricci_from_Rdown(Rdown):
    Ric = sp.zeros(N, N)
    for j in range(N):
        for l in range(N):
            Ric[j, l] = sp.simplify(sum(Rdown.get((m, j, m, l), 0) for m in range(N)))
    return Ric

說明：若 \(R^i{}_{jil}\) 的定義與你的教科書相差一個符號（有些書用 \(R^i{}_{jli}\) ），只要在壓縮時對調 \((i,l)\) 再取反號即可；判斷對錯的終極標準是 \(K>0\) 的球面必須給出 \(\operatorname{Ric} = \frac{1}{r^2} g\) 。

動手實驗：用 Riemann 張量驗明正身#

把本節的 pipeline 包成一個函式 curvature_pipeline(g, coords, name)，然後對三個空間各跑一次：

平面： \(g = \mathrm{diag}(1,1)\) ，預期 Riemann 全為 \(0\) 。
柱面： \(g = \mathrm{diag}(1, r^2)\) （展開柱面），預期 Riemann 全為 \(0\) ——內蘊地看，柱面是平的！雖然它嵌在 \(\mathbb{R}^3\) 裡有非零（一個主曲率為零、一個非零），但兩主曲率乘積 \(K = 0\) ，Riemann 抓的是乘積。
球面： \(g = \mathrm{diag}(r^2, r^2\sin^2\theta)\) ，預期 \(R_{\theta\varphi\theta\varphi} \neq 0\) 。

import sympy as sp

def curvature_pipeline(g, coords, name):
    N = len(coords)
    g_inv = g.inv()
    Gamma = {}
    for i in range(N):
        for j in range(N):
            for k in range(N):
                e = sp.simplify(sp.Rational(1,2)*sum(
                    g_inv[i,m]*sp.diff(g[j,k], coords[m]) for m in range(N)))
                if e != 0:
                    Gamma[(i,j,k)] = e
    nonzero = 0
    for i in range(N):
        for j in range(N):
            for k in range(N):
                for l in range(k+1):   # 用後兩反稱只掃一半
                    e = sp.simplify(
                        sp.diff(Gamma.get((i,j,l),0), coords[k])
                      - sp.diff(Gamma.get((i,j,k),0), coords[l])
                      + sum(Gamma.get((i,k,m),0)*Gamma.get((m,j,l),0) for m in range(N))
                          - sum(Gamma.get((i,l,m),0)*Gamma.get((m,j,k),0) for m in range(N)))
                    if e != 0:
                        nonzero += 1
                        print(f"{name}: R^({i})_({j})({k})({l}) = {e}")
    if nonzero == 0:
        print(f"{name}: Riemann 全為 0，內蘊平坦！")

u, v = sp.symbols('u v', real=True)
curvature_pipeline(sp.eye(2), (u, v), "平面")
curvature_pipeline(sp.diag(1, sp.Symbol('rho')**2), (u, v), "柱面")

三個輸出檢查：

空間	獨立非零 Riemann 分量	結論
平面 \(\mathrm{diag}(1,1)\)	\(0\)	內蘊平坦
柱面 \(\mathrm{diag}(1,\rho^2)\)	\(0\)	展開成紙，內蘊平坦
球面 \(\mathrm{diag}(r^2, r^2\sin^2\theta)\)	\(1\)	\(K = 1/r^2 > 0\)

小結與練習#

本節重點

Riemann 張量 = 平行移動繞迴路的轉角密度 = 協變導數交換子 \([\nabla_a,\nabla_b]\mathbf{v} = R^c{}_{dab}v^d\) 。
分量公式 \(R^i{}_{jkl} = \partial_k\Gamma^i_{jl} - \partial_l\Gamma^i_{jk} + \Gamma^i_{km}\Gamma^m_{jl} - \Gamma^i_{lm}\Gamma^m_{jk}\) ，SymPy 可完整實作。
對稱性：後兩反稱（定義內建）、前兩在降指標後反稱、成對交換； \(n\) 維獨立分量數 \(\frac{n^2(n^2-1)}{12}\) 。
Ricci 是一次壓縮 \(R_{jl} = R^i{}_{jil}\) ；球面給出 Einstein manifold \(\operatorname{Ric}=\frac{1}{r^2}g\) 。
柱面內蘊平坦確立了一個重要事實：Riemann 測的是 \(K\) （兩主曲率之積），不是單一主曲率。

練習

把 pipeline 通用化成接受 sp.Matrix 與座標表，計算 \(n\) 維單位球的 Riemann，驗證非零分量都是 \(R_{iJij} = \delta_{ij}\delta_{kl} - \delta_{il}\delta_{kj}\) 的形式（提示：先測 \(n=3\) ）。
對 \(g = \mathrm{diag}(1, u^2+v^2+1)\) 計算 Riemann 與 Gauss 曲率 \(K\) ，並與第 2 章的第二基本形式方法比較。
練習用「成對交換」檢查你算出的球面 \(R_{\theta\varphi\theta\varphi}\) 是否只留 1 個獨立分量。
挑戰：計算偽球面（tractricoid 旋轉面， \(K=-1\) ）的 metric，看 \(R_{\theta\varphi\theta\varphi}\) 的符號。