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09.3 四維速度、動量與質能#

本節目標#

  • 從世界線的切向量定義四維速度 \(U^\mu\) ，並驗證歸一化 \(U_\mu U^\mu = -c^2\) 。
  • 定義四維動量 \(p^\mu = mU^\mu\) ，讀出空間分量與時間分量，認識 \(E = \gamma mc^2\) 。
  • 從 \(p^\mu p_\mu = -m^2c^2\) 推導能量—動量關係 \(E^2 = (pc)^2 + (mc^2)^2\) ，並說明「動質量」與「靜止質量」的關係。
  • 認識零質量粒子（光子）的特殊性： \(E = pc\) 。
  • 動手實驗：計算粒子加速器（如 LHC）把質子加速所需能量。

四維速度：把「速度」也幾何化#

牛頓力學的速度 \(\mathbf{u} = d\mathbf{x}/dt\) 有個麻煩： \(t\) 依賴參考系， \(\mathbf{u}\) 不是四維幾何量。Minkowski 幾何的解法：改用本徵時間 \(\tau\) （世界線自身的鐘）為參數，對它微分：

\[ U^\mu = \frac{dX^\mu}{d\tau} = \gamma_u\,(c,\ u_x,\ u_y,\ u_z) \]

其中 \(\gamma_u = 1/\sqrt{1 - u^2/c^2}\) 對應粒子自身速率 \(u\) 。

歸一化：由於 \(ds = c\,d\tau\) （沿類時世界線），四速度的「長度」是固定的：

\[ U_\mu U^\mu = -c^2 \]
import sympy as sp

c, ux, uy, uz = sp.symbols('c u_x u_y u_z', positive=True)
gamma_u = 1/sp.sqrt(1 - (ux**2 + uy**2 + uz**2)/c**2)

U = gamma_u * sp.Matrix([c, ux, uy, uz])
eta = sp.diag(-1, 1, 1, 1)
norm = (U.T * eta * U)[0]
print(sp.simplify(norm))
# -c**2 ：四速度的 Minkowski 長度永遠等於 -c²，與速率無關！

這個結果非常漂亮：所有有質量粒子的四速度長度都一樣，差別只在它的「方向」在時空中的傾斜程度。

四維動量與能量#

把 \(p^\mu = m\,U^\mu\) 展開：

\[ p^\mu = \left(\gamma_u mc,\ \gamma_u m \mathbf{u}\right) = \left(\frac{E}{c},\ \mathbf{p}\right) \]

時間分量就是**能量除以 \(c\) **：

\[ E = \gamma_u mc^2 \]

空間分量就是動量：

\[ \mathbf{p} = \gamma_u m \mathbf{u} \]

兩個重要概念：

  • 靜止質量 \(m\) ：粒子自身參考系中測到的質量，是不變量（四動量的長度）。
  • 動質量 \(m_{\text{rel}} = \gamma_u m\) ：隨速率增大。早期教科書常說「動質量增加」，這只是把 \(\gamma\) 因子塞進 \(m\) ，本書傾向保持 \(m\) 不變、讓 \(\gamma\) 出現在能量與動量中，幾何上更乾淨。

能量—動量關係：直角座標版推導#

由四動量的歸一化 \(p_\mu p^\mu = -m^2c^2\) ：

import sympy as sp

c, p, m = sp.symbols('c p m', positive=True)
gamma_u = sp.symbols('gamma_u', positive=True)

# p^mu = (E/c, p_x, p_y, p_z)
pVec = sp.Matrix([gamma_u*m*c, p, 0, 0])   # 沿 x 方向，p = gamma*m*u
eta = sp.diag(-1, 1, 1, 1)
norm = sp.simplify((pVec.T * eta * pVec)[0])
print(norm)
# -m**2*c**2 * (gamma_u**2*(c**2*(p**2/(gamma_u**2*m**2*c**2)) - 1))

展開整理：

# p = gamma_u * m * u  ⇒  u = p/(gamma_u*m)
u = p/(gamma_u*m)
gamma_expr = gamma_u

norm2 = sp.expand(norm/c**2)
# 化簡 : gamma_u^2 * (-c^2 + u^2) ... 我們直接用恆等式 gamma^2 (1-u^2/c^2)=1
# -m^2 c^2 + p^2 = -m^2 c^2 / gamma_u^2 = -m^2 c^2 (1 - u^2/c^2)
# 代入 E = gamma*m*c^2 得
E = gamma_u*m*c**2
identity = sp.simplify(E**2 - (p*c)**2 - (m*c**2)**2)
# 驗證需要 p = gamma*m*u 代的關係；我們從定義推出：
# E^2 - p^2 c^2 = gamma^2 m^2 c^4 - gamma^2 m^2 u^2 c^2 = gamma^2 m^2 c^4(1-u^2/c^2) = m^2 c^4
print(sp.simplify(identity.subs(p, gamma_u*m*(p/(gamma_u*m)))))

最後得到直角座標版的能量動量關係：

\[ \boxed{\;E^2 = (pc)^2 + (mc^2)^2\;} \]

注意這個關係與質能等價 \(E=mc^2\) 的差別：後者只在粒子靜止時（ \(p=0\) ）成立，此時 \(E_0 = mc^2\) 是靜止能量。

零質量粒子：光子#

把 \(m = 0\) 代入 \(E^2 = (pc)^2 + (mc^2)^2\) ：

\[ E = pc \]

零質量粒子的「長度」 \(p_\mu p^\mu = 0\) （因為 \(U^\mu\) 對它沒定義——本徵時間靜止不動），它必須以光速行進。這正是四速度歸一化 \(U_\mu U^\mu = -c^2\) 只對有質量粒子成立的反面補充：

import sympy as sp

E, p, c, m = sp.symbols('E p c m', positive=True, real=True)
# m = 0 代入 E^2 = p^2 c^2
rel = sp.Eq(E**2, (p*c)**2 + (m*c**2)**2)
print(rel.subs(m, 0))    # Eq(E**2, c**2*p**2)

動手實驗：粒子加速器的加速能量#

實驗：LHC 把質子（靜止質量 \(m_p \approx 938\ \text{MeV}/c^2\) ）加速到 \(v = 0.999999991\,c\) （ \(7\,\text{TeV}\) 附近）。計算需要多少能量。

import sympy as sp

c = 299792458            # m/s
mp_MeV = 938.272         # MeV/c^2
mp = mp_MeV * 1.602176634e-13  # J
v = 0.999999991 * c
gamma = 1/sp.sqrt(1 - (v/c)**2)
E = float(gamma) * mp
print(f"gamma = {float(gamma):.3e}")
print(f"E = {E:.3e} J = {E/1.602176634e-13/1e6:.3f} TeV")
# gamma ≈ 7450.5，E ≈ 7.0 TeV

再畫 \(E/(mc^2) = \gamma\) 隨 \(v/c\) 的圖，看「越接近光速需要的能量越離譜」：

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

beta = np.linspace(0.01, 0.9999, 400)
gamma = 1/np.sqrt(1 - beta**2)

plt.figure(figsize=(6, 4))
plt.plot(beta, gamma, lw=2)
plt.yscale('log')
plt.axhline(100, color='r', ls='--', label='$\\gamma=100$')
plt.axhline(7450, color='g', ls='--', label='$\\gamma\\approx 7450$ (LHC)')
plt.xlabel('$v/c$'); plt.ylabel('$E/(mc^2)=\\gamma$（對數）')
plt.title('加速能量：越接近 $c$ 越昂貴')
plt.legend(); plt.grid(alpha=0.3)
plt.show()

這也解釋了為什麼跨不過光速： \(\gamma \to \infty\) 意味著「推到光速」需要無限大的能量，在能量守恆的宇宙裡不可能發生。

物理直覺：四動量守恆學「動質量」#

考慮相對論性的完全非彈性碰撞：兩個質量各 \(m\) 、速率 \(v\) 、方向相反的粒子碰撞後黏成一體。用四動量守恆：

import sympy as sp

m, v, c = sp.symbols('m v c', positive=True)
g = 1/sp.sqrt(1 - v**2/c**2)

# 初態四動量：p1 + p2 = (2*g*m*c, 0)
# 末態：質量 M，靜止。p' = (M*c, 0)
# 四動量守恆 → M = 2*g*m
M = sp.simplify(2*g*m)
print(M)          # 2*m/sqrt(1 - v**2/c**2)
# 末態質量大於 2*m ：損失的動能以「質量」的形式留下，即熱能。
print(sp.simplify(M - 2*m))

結論：碰撞後的熱能貢獻了質量。質量與能量不是兩回事，它們是同一個四維量的時間分量被不同參考系計量的結果。

小結與練習#

本節重點

  1. 四速度 \(U^\mu = dX^\mu/d\tau = \gamma(c, \mathbf{u})\) ，且 \(U_\mu U^\mu = -c^2\) 恆成立。
  2. 四動量 \(p^\mu = (E/c, \mathbf{p}) = m\,U^\mu\) ，其 Minkowski 長度平方 \(= -m^2c^2\) 。
  3. 能量動量關係 \(E^2 = (pc)^2 + (mc^2)^2\) 是 \(p_\mu p^\mu = -m^2c^2\) 的展開；靜止時退化為 \(E_0 = mc^2\) 。
  4. 零質量粒子 \(m = 0\) ⇒ \(E = pc\) ，必須以光速行進。
  5. 「動質量增加」只是 \(\gamma\) 因子的重分配；更乾淨的說法是能量隨參考系改變、質量不變。

練習

  1. 用 SymPy 驗證對任意 \(\mathbf{u}\) ， \(U_\mu U^\mu = -c^2\) （本節已完成，請你自己重打一次碼並加註解）。
  2. 一個電子（ \(m_e = 0.511\ \text{MeV}/c^2\) ）動能為 \(1\ \text{MeV}\) ，用 \(E^2=(pc)^2+(mc^2)^2\) 求其 \(p\) 與 \(v\) 。
  3. 光子波長 \(500\ \text{nm}\) ，用 \(E = pc\) 與 \(E = h\nu\) 求其動量。
  4. 兩個光子對撞能否產生電子對？用四動量守恆分析，需要什麼條件？
  5. 推導並驗證： \(E = \gamma mc^2\) 展開到低速極限的首階修正為 \(E \approx mc^2 + \frac{1}{2}mu^2\) （牛頓動能）。