09.4 電磁場的相對論形式#

本節目標#

把 \(\mathbf{E}\) 、 \(\mathbf{B}\) 統一成反對稱的電磁場張量 \(F_{\mu\nu}\) ，學會矩陣呈現與指標約定。
把 Maxwell 四方程壓成兩條： \(\partial_\mu F^{\mu\nu} = \mu_0 J^\nu\) 與 \(\partial_{[\alpha}F_{\beta\gamma]} = 0\) （即 \(dF = 0\) ，回收第 5 章的外微分）。
理解 Lorentz 變換下 \(\mathbf{E}\) 與 \(\mathbf{B}\) 如何互換：它們不是兩個東西，是同一張量的不同切片。
用 SymPy 驗證 Lorentz 不變量 \(F_{\mu\nu}F^{\mu\nu} = 2\left(B^2 - \dfrac{E^2}{c^2}\right)\) 。
動手實驗：對一個純電場做 boost，觀察磁場「憑空出現」。

統一 \(\mathbf{E}\) 與 \(\mathbf{B}\) ：電磁場張量#

19 世紀的人以為世界有兩種場：電場與磁場。1905 年之後我們知道：兩者是同一個幾何對象在不同觀察者眼中的投影。這個對象是反對稱二階張量

\[ F_{\mu\nu} = -F_{\nu\mu}, \]

共 \(4\times 4\) 矩陣、反對稱故只有 6 個獨立分量——恰好容納 \(\mathbf{E}\) 的 3 個分量與 \(\mathbf{B}\) 的 3 個分量。我們採用號差 \((-,+,+,+)\) 、座標 \(x^\mu = (ct, x, y, z)\) 的約定，矩陣呈現為：

\[ F_{\mu\nu} = \begin{pmatrix} 0 & -E_x/c & -E_y/c & -E_z/c \\ E_x/c & 0 & -B_z & B_y \\ E_y/c & B_z & 0 & -B_x \\ E_z/c & -B_y & B_x & 0 \end{pmatrix}, \qquad F^{\mu\nu} = \begin{pmatrix} 0 & E_x/c & E_y/c & E_z/c \\ -E_x/c & 0 & -B_z & B_y \\ -E_y/c & B_z & 0 & -B_x \\ -E_z/c & -B_y & B_x & 0 \end{pmatrix} \]

怎麼記？口訣：第一列（行）是電場，內部 \(3\times 3\) 塊是磁場。降指標矩陣中 \(F_{0i} = -E_i/c\) 、 \(F_{ij} = -\epsilon_{ijk}B_k\) 。這個表就是本節所有計算的「字典」。

為什麼是反對稱？ 因為 \(F_{\mu\nu}\) 本身就是一個 2-形式 \(F = \frac12 F_{\mu\nu}\,dx^\mu\wedge dx^\nu\) （第 5.1 節的楔積！），而 2-形式天生反對稱。電磁學本質上是時空上的微分幾何。

Maxwell 四方程 → 兩條方程#

用 \(F_{\mu\nu}\) 與四維電流密度 \(J^\mu = (c\rho,\ \mathbf{J})\) ，Maxwell 的四條方程壓縮成兩條：

（1）含源方程（Gauss 電場定律 + Ampère–Maxwell 定律）：

\[ \partial_\mu F^{\mu\nu} = \mu_0 J^\nu \]

取 \(\nu = 0\) 分量： \(\partial_i F^{i0} = \mu_0 c\rho\) ，展開正是 \(\nabla\cdot\mathbf{E} = \rho/\epsilon_0\) ；取 \(\nu = i\) 分量得 Ampère–Maxwell 定律。

（2）無源方程（Gauss 磁場定律 + Faraday 電磁感應定律）：

\[ \partial_{[\alpha}F_{\beta\gamma]} = 0 \quad\Longleftrightarrow\quad dF = 0 \]

右邊是外微分語言：對 2-形式 \(F\) 取外微分得 3-形式 \(dF\) ，其分量正是 \(3\,\partial_{[\alpha}F_{\beta\gamma]}\) 。第 5.2 節學過 \(d^2 = 0\) ；這裡的反面敘述更深刻—— \(dF = 0\) 加上局部恰當性，允許我們寫 \(F = dA\) （ \(A\) 是四維勢 \(A_\mu = (-\phi/c,\ \mathbf{A})\) ），這就是「磁單極不存在 ⇒ 世界可以用勢描述」的微分幾何根據。 \(\nabla\cdot\mathbf{B} = 0\) 對應 \(dF\) 的 \((1,2,3)\) 分量，Faraday 定律對應 \((0,i,j)\) 分量。

電荷守恆是自動的：對含源方程取 \(\partial_\nu\) ：

\[ \partial_\nu\partial_\mu F^{\mu\nu} = 0 \quad(\text{對稱微分} \times \text{反對稱張量}) \;\Rightarrow\; \partial_\nu J^\nu = 0 \]

連續性方程不需要另假設——它是場方程結構的必然結果。

Lorentz 變換：E 與 B 互換#

\(F_{\mu\nu}\) 是 \((0,2)\) 張量，Lorentz 變換 \(\Lambda\) 之下：

\[ F'_{\mu\nu} = \Lambda_\mu{}^\alpha\,\Lambda_\nu{}^\beta\,F_{\alpha\beta} \]

這條定律的物理含義驚人：一個觀察者的純電場，在另一個觀察者眼中通常是電場加磁場的混合。以沿 \(x\) 方向速度 \(v\) 的 boost 為例，新舊場的關係（ \(\gamma = 1/\sqrt{1-v^2/c^2}\) ）：

\[ E'_y = \gamma\left(E_y - vB_z\right), \qquad B'_z = \gamma\left(B_z - \frac{v}{c^2}E_y\right), \qquad E'_x = E_x,\ B'_x = B_x \]

也就是說 \(\mathbf{E}\) 與 \(\mathbf{B}\) 像「同一枚硬幣的兩面」：boost 會把一部分 \(\mathbf{E}\) 轉成 \(\mathbf{B}\) ，反之亦然。教科書裡「磁場是電場的相對論效應」這句名言，數學上就是 \(F_{\mu\nu}\) 的矩陣在 boost 下第一列與內部塊互相混入。

SymPy 驗證不變量#

Lorentz 變換不會改變用度規收縮出的純量。最重要的不變量：

\[ F_{\mu\nu}F^{\mu\nu} = 2\left(B^2 - \frac{E^2}{c^2}\right) \]

（另有偽純量 \(F_{\mu\nu}\,\tilde F^{\mu\nu} \propto \mathbf{E}\cdot\mathbf{B}\) ，留作練習。）用 SymPy 做符號驗證：

import sympy as sp

c = sp.Symbol('c', positive=True)
Ex, Ey, Ez, Bx, By, Bz = sp.symbols('E_x E_y E_z B_x B_y B_z', real=True)

# 降指標電磁場張量（號差 (-,+,+,+)）
F = sp.Matrix([
    [0, -Ex/c, -Ey/c, -Ez/c],
    [Ex/c, 0, -Bz, By],
    [Ey/c, Bz, 0, -Bx],
    [Ez/c, -By, Bx, 0]
])
eta = sp.diag(-1, 1, 1, 1)          # Minkowski 度規（第 9.1 節）

# 升兩個指標: F^{μν} = η^{μα} η^{νβ} F_{αβ}
F_up = eta * F * eta
invariant = sp.simplify(sum(F_up[m, n] * F[m, n] for m in range(4) for n in range(4)))

B2 = Bx**2 + By**2 + Bz**2
E2 = Ex**2 + Ey**2 + Ez**2
print(sp.simplify(invariant - 2*(B2 - E2/c**2)))   # 期望輸出: 0

輸出 0：驗證成功。注意 \(F^{\mu\nu}F_{\mu\nu}\) 對任意 Lorentz 變換不變的根據是：兩個降指標、兩個升指標的完全收縮是純量，而張量方程在 Lorentz 變換下形式不變（第 9.2 節）。

動手實驗：Lorentz 變換一個 E/B 場#

實驗：在實驗室系中只有 \(y\) 方向電場（純電場， \(\mathbf{B}=0\) ），對其施加沿 \(x\) 方向速度 \(v\) 的 boost，看看新座標系看到什麼。

import sympy as sp

c = sp.Symbol('c', positive=True)
v = sp.Symbol('v', real=True)
beta, gamma = v/c, 1/sp.sqrt(1 - v**2/c**2)
Ey = sp.Symbol('E_y', real=True)

# 實驗室系：純 Ey 電場
Ex, Ez, Bx, By, Bz = 0, 0, 0, 0, 0
F_lab = sp.Matrix([
    [0, 0, -Ey/c, 0],
    [0, 0, 0, 0],
    [Ey/c, 0, 0, 0],
    [0, 0, 0, 0]
])

# 沿 x 方向的 boost 矩陣（座標 x^μ = (ct, x, y, z)）
Lam = sp.Matrix([
    [gamma, -gamma*beta, 0, 0],
    [-gamma*beta, gamma, 0, 0],
    [0, 0, 1, 0],
    [0, 0, 0, 1]
])

# F'_{μν} = Λ_μ^α Λ_ν^β F_{αβ}（降指標版直接雙乘）
F_prime = Lam.T * F_lab * Lam
print("F'_01 =", sp.simplify(F_prime[0, 1]))   # → -γ E_y/c（電場增強）
print("F'_12 =", sp.simplify(F_prime[1, 2]))   # → +γ β E_y = γ v E_y /c²（磁場出現！）

# 驗證不變量在此例的形狀
B2p = F_prime[2,1]**2 + F_prime[3,1]**2 + F_prime[1,2]**2
E2p = (c*F_prime[0,1])**2 + (c*F_prime[0,2])**2 + (c*F_prime[0,3])**2
print(sp.simplify(2*(B2p - E2p/c**2) - (-2*Ey**2/c**2)))   # 期望 0

兩個觀察值得停下來想：

\(F'_{12} = \gamma v E_y/c^2 \neq 0\) ：原本沒有磁場的空間，換個觀察者就有了磁場——磁場確實是電場的相對論「殘影」。
第二行印出 0：不變量在變換前後都是 \(-2E_y^2/c^2\) 。這給出一個漂亮的推論：若某參考系中 \(E > cB\) （ \(F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}<0\) ），則任何參考系中都是「電場佔優」，永遠找不到使場變純磁的 boost。

小結與練習#

本節重點

\(\mathbf{E}\) 、 \(\mathbf{B}\) 統一為反對稱張量 \(F_{\mu\nu}\) ：第一列（行）是電場、內部 \(3\times 3\) 塊是磁場；6 個獨立分量剛好裝下兩個三維向量。
Maxwell 四方程壓縮成兩條： \(\partial_\mu F^{\mu\nu} = \mu_0 J^\nu\) 與 \(\partial_{[\alpha}F_{\beta\gamma]} = 0\) ；後者就是 \(dF = 0\) （第 5 章外微分的物理應用），並蘊含 \(F = dA\) 的局部存在性。
電荷守恆 \(\partial_\nu J^\nu = 0\) 由「對稱微分壓反對稱張量得零」自動推出。
Lorentz 變換下 \(\mathbf{E}\) 、 \(\mathbf{B}\) 互相混合：純電場經 boost 會產生磁場。
不變量 \(F_{\mu\nu}F^{\mu\nu} = 2(B^2 - E^2/c^2)\) 把時空分為電場佔優區與磁場佔優區，且分類對所有觀察者一致。

練習

用 SymPy 展開 \(\partial_\mu F^{\mu\nu} = \mu_0 J^\nu\) 的 \(\nu=0\) 與 \(\nu=3\) 分量，驗證分別給出 Gauss 電場定律與 Ampère–Maxwell 定律。
寫出對偶張量 \(\tilde F^{\mu\nu} = \frac12\epsilon^{\mu\nu\alpha\beta}F_{\alpha\beta}\) ，用 SymPy 驗證偽純量 \(F_{\mu\nu}\tilde F^{\mu\nu} = -4\,\mathbf{E}\cdot\mathbf{B}/c\) ，並說明 \(\mathbf{E}\perp\mathbf{B}\) 的場（如平面波）此值為零。
實驗中令 \(v\) 趨近 \(c\) （即 \(\beta \to 1\) ），觀察 \(E'_y\) 與 \(B'_z\) 的極限，說明為何「追光觀察者」看不到靜止的電磁波。
挑戰：對沿 \(z\) 方向的純磁場 \(\mathbf{B} = B_0\hat z\) 做 \(x\) 方向 boost，找出 \(\mathbf{E}' = 0\) 的條件，並用不變量解釋。