用 SymPy 學數學：讓 Python 當你的數學助理#

本書是一本 用 SymPy（Python 的符號計算函式庫）親手運算來學數學 的書。

《用 Lean 學數學》教你「證明」；本書教你「計算與探索」。數學家的工作不只有寫證明 —— 更多時間花在 做實驗：展開多項式、解方程、畫函數圖形、算極限、驗證猜測。SymPy 讓你在瀏覽器與終端機裡完成這一切，而且 每一步都保留符號形式（不像計算機只能給你 \(0.6666\cdots\) ，SymPy 告訴你答案是 \(\frac{2}{3}\) ）。

本書每章對應一門標準數學課程：代數運算、方程、函數圖形、微積分、線性代數、級數、機率統計。讀完本書，你將擁有一套 用程式探索數學 的完整工具箱 —— 這是資料科學、機器學習與所有理工科研究的基本功。

本書特色#

• 符號優先：全書堅持用符號運算訓練數學直覺，避免過早退化成數值計算
• 對照表：每個概念同時給出「手算過程」與「SymPy 程式碼」的對照，程式碼就是標準答案
• 探索導向：每節都有「動手實驗」，讓你改參數、看圖形、找規律、猜定理
• 接軌實務：最後一章銜接 NumPy/Matplotlib/Jupyter 的科學計算工作流
• 零背景入門：只需高中數學與一點 Python 基礎，第一章就帶你裝好環境

目錄#

• 第1章-為什麼用 SymPy 學數學

  • 1.1-符號計算 vs 數值計算： \(\frac{2}{3}\) 與 \(0.6666\cdots\) 的差別
  • 1.2-SymPy 簡介：Python 生態中的數學助理
  • 1.3-環境建置：Anaconda、Jupyter 與 sympy
  • 1.4-第一次會話：symbols、expand 與 pretty printing

• 第2章-代數運算

  • 2.1-多項式：expand、factor 與 collect
  • 2.2-有理式與化簡：simplify、cancel 與 apart
  • 2.3-指數、對數與三角函數的恆等式
  • 2.4-等式與假設：Eq、assumptions 與 solve 結構

• 第3章-方程與不等式

  • 3.1-一元方程：solve 與求根公式
  • 3.2-方程組：solve 的矩陣形式與 linsolve
  • 3.3-不等式與區間：reduce_inequalities 與解集合
  • 3.4-數值解與根的定位：nsolve、plotting 找根

• 第4章-函數與圖形

  • 4.1-函數即物件：Lambda、lambdify 與求值
  • 4.2-畫圖：plot、plot_parametric 與 plot3d
  • 4.3-函數的性質：單調、對稱、極值的探索
  • 4.4-反函數與函數變換：從 \(f(x)\) 到 \(f(x-2)+1\)

• 第5章-微積分

  • 5.1-極限：limit 與 ε 語意的驗證
  • 5.2-微分：diff、鏈鎖律與隱函數微分
  • 5.3-積分：integrate 的定積分與不定積分
  • 5.4-泰勒展開：series 與逼近的藝術

• 第6章-線性代數

  • 6.1-矩陣：Matrix、乘法與基本變換
  • 6.2-行列式與反矩陣：det、inv 與線性方程組
  • 6.3-特徵值與對角化：eigenvals、diagonalize
  • 6.4-應用：最小平方法與線性變換的幾何

• 第7章-級數與離散數學

  • 7.1-數列與級數：sequence、summation 與收斂判別
  • 7.2-組合數學：binomial、factorial 與二項式定理
  • 7.3-遞迴關係式：rsolve 與 Fibonacci
  • 7.4-圖論初步：物件建模與計數

• 第8章-機率與統計

  • 8.1-離散機率：骰子、排組與條件機率
  • 8.2-隨機變數：sympy.stats 的 Die、Normal 與期望值
  • 8.3-連續分布：積分視角下的常態分布
  • 8.4-敘述統計與資料感：mean、variance 與視覺化

• 第9章-進階專題

  • 9.1-多變數微積分：偏導、梯度與 Lagrange 乘數法
  • 9.2-微分方程：dsolve 從一階到二階
  • 9.3-數論專題：isprime、factorint 與模算術
  • 9.4-SymPy 內部機制：expression tree 與 custom function

• 第10章-綜合專案與科學計算工作流

  • 10.1-專案一：用程式重做你的微積分作業
  • 10.2-專案二：常微分方程建模（人口、彈簧、疫情）
  • 10.3-專案三：SymPy + NumPy + Matplotlib 的完整工作流
  • 10.4-下一步：SymPy 之後的世界（SciPy、ML、Lean）

閱讀方式#

• 邊讀邊打：所有程式碼都建議在 Jupyter Notebook 中實際執行，並 改參數做實驗
• 先手算後驗證：每個例子先自己算，再用 SymPy 檢查 —— 程式是助理不是代打
• 動手實驗：每節的「實驗」單元是本書精華，別跳過
• 章節有依賴性，建議按順序讀；趕時間者可先讀 1、2、5 三章建立核心能力

需要的背景知識#

• 高中數學（函數、多項式、基本微積分概念會在第 5 章重新教）
• 一點 Python 基礎（變數、函數呼叫）；第 1 章會補齊所需的一切
• 不需要安裝付費軟體：全部使用免費開源工具

與本系列其他書的關係#

• 《用 Lean 學數學》：教你 證明 數學；本書教你 計算與探索 數學 —— 兩者互補
• 《Lean 與 AI 數學證明》：Lean 的歷史與 AI 前沿故事線