1.2 SymPy 簡介#

本節目標#

• 認識 SymPy：它是什麼、能做什麼
• 了解 SymPy 在 Python 科學計算生態中的位置
• 知道它與 Mathematica、Maple 等商業軟體的差異

SymPy 是什麼？#

SymPy 是一個純 Python 寫成的電腦代數系統（CAS），可以做：

• 多項式展開、因式分解、化簡
• 解方程式（代數方程、微分方程）
• 微積分：極限、微分、積分、級數展開
• 線性代數：矩陣運算、行列式、特徵值
• 離散數學：排列組合、數論

它最大的特色是純 Python——不依賴任何編譯過的底層套件，安裝只有幾 MB，任何能跑 Python 的地方都能跑 SymPy。

SymPy 在 Python 科學生態中的位置#

Python 的科學計算生家族譜大致是：

科學計算基礎層：NumPy（陣列與數值運算）、SciPy（數值演算法）
視覺化層：      Matplotlib（繪圖）
符號計算層：    SymPy（數學表達式）
資料層：        pandas（表格資料）

SymPy 與 NumPy 的關係尤其值得釐清，兩者很容易混淆：

兩者可以合作：SymPy 算出符號公式後，可以用 lambdify() 把公式轉成 NumPy 函數，快速代入大量數值——先「求真」再「求快」，這是實務上常見的工作流程。

import sympy as sp
import numpy as np

x = sp.Symbol('x')
f = sp.integrate(sp.sin(x)**2, x)      # 符號積分
print(f)                                # x/2 - sin(2x)/4

g = sp.lambdify(x, f, 'numpy')          # 轉成 NumPy 函數
print(g(np.array([0.5, 1.0, 2.0])))     # 大量數值代入

與 Mathematica / Maple 的差異#

對數學系與工程系學生來說，SymPy 覆蓋的範圍（微積分、線性代數、常微分方程）已足夠應付大學低年級課程；而「免費 + 就是 Python」這兩點，讓它成為入門 CAS 的最佳選擇。

安裝方式#

只要電腦有 Python（3.8 以上），一行指令就裝好：

pip install sympy

驗證安裝：

python -c "import sympy; print(sympy.__version__)"

若你使用 Anaconda，SymPy 通常已經內建，連裝都不用裝（下一節會詳談環境建置）。

GitHub 生態#

SymPy 的原始碼在 github.com/sympy/sympy，擁有上萬顆星標，是由全球社群維護的活躍開源專案。圍繞它還有一批衍生工具：

• SymPy Gamma：線上版 SymPy，網頁上直接輸入數學式運算
• SymPy Live：瀏覽器裡的 SymPy 互動 shell
• Jupyter：與 Jupyter Notebook 深度整合，可直接顯示漂亮的數學式
• sympy.physics 等模組：力學、量子力學等領域應用

遇到問題時，官方文件（docs.sympy.org）與 GitHub Issues 是最好的求助管道。

動手實驗#

實驗 1：安裝並驗證 SymPy，記下你的版本號：

pip install sympy
python -c "import sympy; print(sympy.__version__)"

實驗 2：一分鐘體驗 SymPy 的威力。執行以下程式碼，逐行理解輸出：

from sympy import symbols, solve, diff, integrate, sin, x  # 見下方修正

正確寫法（x 要自己宣告）：

from sympy import symbols, solve, diff, integrate, sin

x = symbols('x')
print(solve(x**2 - 2, x))        # 解方程：[-sqrt(2), sqrt(2)]
print(diff(sin(x)*x**2, x))      # 微分：2*x*sin(x) + x**2*cos(x)
print(integrate(1/x, x))         # 積分：log(x)

實驗 3：體驗符號與數值結合的威力——算出圓面積公式再代入數值：

from sympy import symbols, pi, lambdify
import numpy as np

r = symbols('r', positive=True)
area = pi * r**2
g = lambdify(r, area, 'numpy')
print(g(np.array([1.0, 2.0, 3.0])))

小結與練習#

• SymPy 是純 Python、免費開源的 CAS，擅長精確的符號運算。
• SymPy 管「符號、精確」，NumPy 管「數值、速度」，透過 lambdify() 可以互補合作。
• 相比 Mathematica / Maple，SymPy 免費、輕量、可嵌入 Python 生態，是學習者的首選。

練習

1. 用 SymPy 解 \(x^3 - 1 = 0\) ，觀察輸出中出現了什麼特別的數（提示：虛數與複數根）。
2. 對照表格說明：下列任務該用 SymPy 還是 NumPy？(a) 化簡 \(\sin^2 x + \cos^2 x\) ；(b) 對 100 萬個感測器讀值求平均。
3. 上 SymPy Gamma（gamma.sympy.org）輸入 integrate(x^2, x)，比較與本地 SymPy 輸出是否一致。