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5.1 極限#

本節目標#

  • 建立「極限是趨近、不是抵達」的直覺
  • 學會用 limit() 計算極限，包括單側極限
  • 親手做經典實驗： \(\dfrac{\sin x}{x} \to 1\) ，體驗 subs 為什麼會失敗
  • 觀察極限不存在的兩種典型樣貌

極限的直覺：趨近，但不抵達#

考慮函數 \(f(x) = \dfrac{x^2 - 1}{x - 1}\) 。在 \(x = 1\) 這一點，分母為零，函數沒有定義。但我們可以問一個更細膩的問題：

當 \(x\) 非常非常接近 \(1\) （但不到達 \(1\) ）時， \(f(x)\) 的值會非常接近什麼？

先化簡：當 \(x \ne 1\) 時， \(f(x) = \dfrac{(x-1)(x+1)}{x-1} = x + 1\) 。所以答案顯然是 \(2\) 。

注意重點：我們從來沒有把 \(x = 1\) 代進去，而是問「無限趨近時的落點」。這就是極限的核心思想——

\[ \lim_{x \to a} f(x) = L \quad \text{意思是：} x \text{ 越來越接近 } a \text{（但不等於 } a \text{）時，} f(x) \text{ 越來越接近 } L \]

極限描述的是 \(a\) 附近的行為，與 \(f(a)\) 本身是否存在、等於多少，完全無關。

SymPy 的 limit()#

from sympy import symbols, limit, sin, cos, exp, oo

x = symbols('x')

# 化簡前的原式：在 x=1 沒有定義，但極限存在
limit((x**2 - 1) / (x - 1), x, 1)        # 結果：2

limit(expr, x, a) 回傳 \(\lim_{x \to a} \text{expr}\) ，而且 SymPy 會做精確的符號運算，不是數值逼近。

用 subs 會失敗的地方，limit 能給答案#

「直接代入」和「取極限」是兩件事。subs 是代入，遇到 \(\frac{0}{0}\) 時就束手無策：

expr = sin(x) / x
expr.subs(x, 0)     # 結果：nan（0/0，未定義！）
limit(expr, x, 0)   # 結果：1（極限存在！）

這正是下一節實驗的主角。

動手實驗：經典極限 \(\dfrac{\sin x}{x} \to 1\)#

這是微積分史上最重要的極限之一（微分公式 \((\sin x)' = \cos x\) 全靠它）。我們用三個步驟完整體驗。

第一步：直接代入，失敗。

from sympy import symbols, sin, limit
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

x = symbols('x')
f = sin(x) / x

print(f.subs(x, 0))     # nan —— 0/0，代入失敗

第二步：數值表格，觀察趨勢。

for v in [0.5, 0.1, 0.01, 0.001, -0.001]:
    print(f"x = {v:>7}, sin(x)/x = {float(f.subs(x, v)):.10f}")

輸出會顯示 \(x\) 越接近 \(0\) ， \(\frac{\sin x}{x}\) 越接近 \(1\) （從兩側都是）。

第三步：符號極限 + 畫圖確認。

print(limit(f, x, 0))   # 1

xs = np.linspace(-10, 10, 400)
ys = np.sin(xs) / xs
plt.plot(xs, ys)
plt.scatter([0], [1], color='red', zorder=3, label='lim = 1')
plt.axhline(1, ls='--', color='gray')
plt.title('$\\sin(x)/x$,  x=0 處其實沒有定義')
plt.legend()
plt.show()

畫出來會發現：曲線在 \(x=0\) 處被挖掉一個點，但兩側曲線平滑地「會合」在高度 \(1\) 。極限就是這個會合點。

單側極限與極限存在的條件#

\(x\) 趨近 \(a\) 有兩個方向：從左邊（小於 \(a\) ）或從右邊（大於 \(a\) ）。limit() 用 dir 參數控制方向：

# dir='+' 表示從右側趨近（預設）
# dir='-' 表示從左側趨近
limit(1/x, x, 0, dir='+')   # oo   （從右邊趨近 0，跑到 +∞）
limit(1/x, x, 0, dir='-')   # -oo  （從左邊趨近 0，跑到 -∞）

極限存在的條件：左極限與右極限都存在且相等。

\[ \lim_{x \to a} f(x) = L \iff \lim_{x \to a^-} f(x) = \lim_{x \to a^+} f(x) = L \]

經典例子——階躍函數：

from sympy import Abs, sign

# |x|/x 在 x<0 是 -1，在 x>0 是 1
limit(Abs(x)/x, x, 0, dir='-')   # -1
limit(Abs(x)/x, x, 0, dir='+')   # 1
# 左右極限不等 → 極限不存在

畫圖看很清楚：這是一個「斷崖」，左右兩半各自水平，中間對不起來。

更多例子： \(\lim_{x\to0}\dfrac{e^x-1-x}{x^2}\)#

這一題代入是 \(\frac{0}{0}\) ，而且不容易肉眼看出答案：

expr2 = (exp(x) - 1 - x) / x**2

expr2.subs(x, 0)          # nan
limit(expr2, x, 0)        # 1/2

答案 \(\frac{1}{2}\) 其實正是泰勒展開（見 5.4 節） \(e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2} + \cdots\) 的係數線索：分子主項是 \(\frac{x^2}{2}\) ，除以 \(x^2\) 就是 \(\frac{1}{2}\) 。

再試幾個：

limit((cos(x) - 1) / x, x, 0)            # 0
limit((1 + 1/x)**x, x, oo)               # E ← e 的定義！
limit((x**3 - 8) / (x - 2), x, 2)        # 12（因式分解型）

極限不存在的觀察#

極限不存在至少有兩種典型樣貌，值得親眼看看。

樣貌一：發散到無窮大—— \(f(x) = \dfrac{1}{x^2}\) ， \(x \to 0\) ：

limit(1/x**2, x, 0, dir='+')   # oo
limit(1/x**2, x, 0, dir='-')   # oo（兩側都爆）

雖然兩側一致，但「極限是 \(\infty\) 」的正式說法是極限不存在（發散）—— \(f(x)\) 沒有接近任何一個有限的數 \(L\) 。

樣貌二：無限震盪—— \(f(x) = \sin(1/x)\) ， \(x \to 0\) ：

limit(sin(1/x), x, 0)   # 不收斂，SymPy 回傳 sin(1/x) 或拋出提示

畫圖最有感覺：

xs = np.linspace(0.001, 0.2, 2000)
plt.plot(xs, np.sin(1/xs))
plt.title('$\\sin(1/x)$ 靠近 0 時無限震盪')
plt.show()

越靠近 \(0\) ，曲線震盪得越快、越密，永遠停不下來——它不趨近任何值。畫圖時甚至會因為取樣不足而出現「假圖樣」（aliasing），這本身就說明了震盪有多瘋狂。

小結與練習#

  • 極限描述「無限趨近時的落點」，與函數在該點是否有定義無關。
  • subs 是代入、limit 是取極限；遇到 \(\frac{0}{0}\) 時只有後者有用。
  • dir='-' / dir='+' 控制單側極限；左右極限相等極限才存在。
  • 極限不存在的兩種樣貌：發散到無窮（ \(1/x^2\) ）、無限震盪（ \(\sin(1/x)\) ）。

練習

  1. 用數值表格與 limit 各自驗證 \(\lim_{x \to 0} \dfrac{\tan x}{x} = 1\) 。
  2. 計算 \(\lim_{x \to \infty} \left( \sqrt{x^2 + x} - x \right)\) （提示：答案不是 \(0\) ）。
  3. 定義 \(f(x) = \dfrac{x^3 - 1}{x - 1}\) ，用 limit 求 \(x \to 1\) 的極限，並畫圖觀察可去斷點。
  4. 嘗試 \(\lim_{x \to 0} \cos(1/x)\) ，判斷極限是否存在，並畫圖佐證。