5.4 泰勒展開#

本節目標#

• 理解泰勒級數的核心思想：用多項式逼近任意光滑函數
• 會用 series() 展開 \(\sin x\) 、 \(e^x\) 、 \(\ln(1+x)\) ，並用 removeO() 取出多項式
• 做截斷誤差實驗：疊圖觀察各階泰勒多項式的「貼合範圍」
• 用泰勒展開優雅地重解 5.1 節的 \(\lim \frac{\sin x}{x}\)

核心思想：用多項式當替身#

多項式是最好計算的函數——加減乘就能算。如果一個複雜函數（如 \(\sin\) 、 \(e^x\) ）在某一點附近能被一個多項式「冒充」，所有難算的問題都變簡單。

泰勒的想法：在 \(x = 0\) （即 Maclaurin 情形）附近，要求這個多項式 \(p(x)\) 與原函數 \(f(x)\) 的值、一階導數、二階導數、…… 全部相同：

滿足這些條件的 \(n\) 次多項式是唯一的：

係數模式 \(\dfrac{f^{(k)}(0)}{k!}\) 的由來：對 \(x^k\) 連微 \(k\) 次會掉下 \(k!\) ，剛好把分母抵掉。

series()：SymPy 的一行展開#

from sympy import symbols, series, sin, cos, exp, log, limit

x = symbols('x')

series(sin(x), x, 0, 8)
# x - x**3/6 + x**5/120 - x**7/5040 + O(x**8)

series(exp(x), x, 0, 6)
# 1 + x + x**2/2 + x**3/6 + x**4/24 + x**5/120 + O(x**6)

series(log(1 + x), x, 0, 6)
# x - x**2/2 + x**3/3 - x**4/4 + x**5/5 + O(x**6)

• series(expr, x, 0, n)：在 \(x = 0\) 附近展開到 \(x^{n-1}\) 階。
• 結尾的 O(x**8) 是皮亞諾餘項，表示「 \(8\) 次以上的項被截斷了」。
• 三個展開式都與 5.2 節的觀察吻合： \(\sin\) 的導數四階循環，所以只有奇數次項； \(e^x\) 各階導數在 \(0\) 都是 \(1\) ，係數是 \(\frac{1}{k!}\) 。

removeO()：把餘項剝掉，得到乾淨的多項式（可直接代入、畫圖）：

p = series(sin(x), x, 0, 8).removeO()
print(p)           # x - x**3/6 + x**5/120 - x**7/5040
p.subs(x, 0.1)     # 0.0998334166468254

動手實驗：截斷誤差與疊圖#

泰勒多項式只在展開點附近可靠。各階多項式到底貼得多近、多遠就失效？畫圖最清楚：

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from sympy import lambdify

f = sin(x)
xs = np.linspace(-2* np.pi, 2*np.pi, 400)

plt.plot(xs, np.sin(xs), 'k', lw=2, label='$\\sin x$')
for n in [1, 3, 5, 9]:
    p = series(f, x, 0, n + 1).removeO()
    pf = lambdify(x, p, 'numpy')
    plt.plot(xs, pf(xs), '--', label=f'Taylor n={n}')

plt.ylim(-2, 2)
plt.axhline(0, color='gray', lw=0.5)
plt.axvline(0, color='gray', lw=0.5)
plt.legend()
plt.title('$\\sin x$ 與各階泰勒多項式')
plt.show()

觀察重點：

1. 階數越高，多項式與 \(\sin x\) 的「貼合區間」越寬。
2. 貼合區間之外，多項式會爆炸性偏離（ \(n=9\) 的多項式在 \(\pm 2\pi\) 外早已衝天）——泰勒逼近是局部的。
3. \(\sin\) 是奇函數，展開式只有奇次項——偶數階的圖與低一階的完全重合。

再做定量實驗：固定 \(x = 0.5\) ，看誤差隨階數下降：

from sympy import Abs

x0 = 0.5
true_val = f.subs(x, x0).evalf()
for n in [1, 3, 5, 7, 9, 11]:
    p = series(f, x, 0, n + 1).removeO()
    err = Abs(p.subs(x, x0) - true_val).evalf()
    print(f"n={n:>2}  誤差 = {err:.3e}")

誤差以驚人的速度墜落（ \(\sin\) 的泰勒餘項約為 \(\frac{|x|^{n+1}}{(n+1)!}\) ，階乘衰減極快）。

用泰勒展開重解 \(\lim_{x \to 0} \dfrac{\sin x}{x}\)#

5.1 節我們用 limit() 得到答案 \(1\) ，但那是「CAS 說了算」。泰勒展開讓你親手看清原因：

當 \(x \to 0\) ， \(\frac{x^2}{6}\) 之後的項統統消失，極限就是多項式首項 \(1\) 。

from sympy import simplify

ratio = series(sin(x), x, 0, 5).removeO() / x
print(ratio)                 # x**4/24 - x**2/6 + 1
limit(ratio, x, 0)           # 1

同樣手法處理 5.1 節那題 \(\frac{e^x - 1 - x}{x^2}\) ：

num = series(exp(x), x, 0, 4).removeO()   # x**3/6 + x**2/2 + x + 1
simplify((num - 1 - x) / x**2)            # x/6 + 1/2 →  極限 = 1/2

一次展開，分子中 \(1 + x\) 被抵消、剩下 \(\frac{x^2}{2}\) 主項——「 \(0/0\) 型極限」的迷霧徹底撥開。這正是泰勒展開在求極限上的威力：把比較誰衰減得快，變成比較多項式的最低次項。

動手實驗：算 \(\sin(0.1)\) 用幾階夠準？#

真實場景：計算機與數學函式庫算 \(\sin\) 時，就是用多項式（泰勒變體）。用幾階才夠？

import math

x0 = 0.1
target = math.sin(x0)

print(f"真值（Python 內建）: {target:.16f}\n")
for n in range(1, 10, 2):
    p = series(sin(x), x, 0, n + 1).removeO()
    val = float(p.subs(x, x0))
    print(f"n={n:>2}  近似 = {val:.16f}  誤差 = {abs(val - target):.2e}")

典型輸出：

n= 1  近似 = 0.1000000000000000  誤差 = 1.67e-04
n= 3  近似 = 0.0998333333333333  誤差 = 8.33e-08
n= 5  近似 = 0.0998334166666667  誤差 = 8.33e-12
n= 7  近似 = 0.0998334166666667  誤差 = 1.39e-16   ← 已達雙精度極限

結論： \(x = 0.1\) 很小，三階（ \(n=3\) ）就有 \(10^{-8}\) 精度，五階達 \(10^{-12}\) ，七階已經到達 float 的極限（約 \(10^{-16}\) ）——再高階毫無意義。若把 \(x_0\) 改成 \(1.0\) 重跑，需要的階數明顯增加——越遠離展開點，需要越高階，與疊圖實驗的結論一致。

把實驗延伸一下：對固定的目標精度（如 \(10^{-10}\) ），畫出「所需最低階數 vs \(x_0\) 」的關係圖，體會收斂半徑的概念。

小結與練習#

• 泰勒多項式在展開點附近與原函數的值與各階導數完全吻合。
• series(expr, x, 0, n) 展開，removeO() 剝掉餘項取多項式。
• 逼近是局部的：階數越高貼合區間越寬，但區間外會爆炸偏離。
• 泰勒展開是求 \(\frac{0}{0}\) 型極限的利器：展開、抵消、讀出首項。

練習

1. 展開 \(\cos x\) 到 \(x^8\) ，驗證只有偶次項，並畫疊圖。
2. 用泰勒展開手推 \(\lim_{x \to 0} \dfrac{1 - \cos x}{x^2}\) ，再用 SymPy 驗證。
3. 展開 \(\ln(1+x)\) 到 10 階，代入 \(x = 1\) 得到 \(\ln 2\) 的級數近似；需要幾項才能達到 \(10^{-4}\) 精度？
4. 對 \(f(x) = e^x\) 在 \(x = 1\) 附近展開（series(exp(x), x, 1, n)），與在 \(0\) 附近展開比較：哪個在 \(x = 2\) 處更準？為什麼？