6.3 特徵值與對角化：找到變換的「天然座標軸」#

本節目標#

理解特徵值與特徵向量的定義與幾何意義（伸縮方向）
學會用 eigenvals()、eigenvects()、charpoly() 做特徵分析
學會用 diagonalize() 對角化矩陣，並用 \(A = PDP^{-1}\) 快速計算 \(A^n\)
實驗：畫出矩陣對單位圓的變換，親眼看到特徵方向

特徵值與特徵向量：不轉彎的方向#

一個線性變換 \(A\) 作用在向量上，通常會同時旋轉和伸縮。但總有某些特別的方向， \(A\) 作用上去只伸縮、不轉彎：

\[ A\mathbf{v} = \lambda \mathbf{v} \]

滿足此式的非零向量 \(\mathbf{v}\) 稱為特徵向量（eigenvector），對應的倍率 \(\lambda\) 稱為特徵值（eigenvalue）。

幾何意義： \(\mathbf{v}\) 指出「變換下的不動方向」， \(\lambda\) 說明該方向被拉長（ \(|\lambda| > 1\) ）、壓縮（ \(|\lambda| < 1\) ）或翻轉（ \(\lambda < 0\) ）。例如 \(\lambda = 2\) 表示沿這個方向一切長度加倍。

如何求特徵值？把定義改寫成 \((A - \lambda I)\mathbf{v} = \mathbf{0}\) 。要存在非零解 \(\mathbf{v}\) ，係數矩陣必須不可逆（否則只有零解），也就是：

\[ \det(A - \lambda I) = 0 \]

這條以 \(\lambda\) 為未知數的方程稱為特徵多項式。

用 eigenvals() 求特徵值#

from sympy import Matrix

A = Matrix([[4, 1],
            [2, 3]])

print(A.eigenvals())
# {5: 1, 2: 1}

輸出是字典：鍵是特徵值，值是它的代數重數（重根次數）。這裡特徵值是 \(\lambda = 5\) 和 \(\lambda = 2\) 。

檢驗一下定義 \(A\mathbf{v} = \lambda \mathbf{v}\) ：

v = Matrix([1, 1])   # 待會會看到它是 λ=5 的特徵向量
print(A * v)         # Matrix([[5], [5]]) ← 正好是 5*v！

用 eigenvects() 一次拿到全部#

eigenvects() 回傳特徵值、重數與對應特徵向量空間的一組基底：

from sympy import Matrix

A = Matrix([[4, 1],
            [2, 3]])

for val, mult, vecs in A.eigenvects():
    print(f"特徵值 {val}（重數 {mult}），特徵向量：{vecs}")
# 特徵值 5（重數 1），特徵向量：[Matrix([[1/2], [1]])]
# 特徵值 2（重數 1），特徵向量：[Matrix([[-1], [1]])]

驗證第二組： \(A \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 \\ 2 \end{pmatrix} = 2 \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \end{pmatrix}\) ，確實是 \(\lambda = 2\) 。

特徵多項式 charpoly#

特徵多項式可以用 charpoly() 取得：

from sympy import Matrix, Symbol

lam = Symbol('lambda')
A = Matrix([[4, 1],
            [2, 3]])

cp = A.charpoly(lam)
print(cp.as_expr())     # lambda**2 - 7*lambda + 10
print(cp.as_expr().factor())   # (lambda - 5)*(lambda - 2)

手算核對： \(\det(A - \lambda I) = (4-\lambda)(3-\lambda) - 2 = \lambda^2 - 7\lambda + 10\) 。特徵多項式的根就是特徵值。兩個根的和等於矩陣的蹤（trace，對角線和： \(4+3=7\) ），積等於行列式（ \(10\) ），這兩個小結論常常能心算驗證答案。

對角化 diagonalize()#

如果 \(n \times n\) 矩陣有 \(n\) 個線性獨立的特徵向量，就能寫成

\[ A = P D P^{-1} \]

其中 \(D\) 是對角矩陣（對角線放特徵值）， \(P\) 的行是對應的特徵向量。diagonalize() 一次回傳 \(P\) 和 \(D\) ：

from sympy import Matrix

A = Matrix([[4, 1],
            [2, 3]])

P, D = A.diagonalize()
print(P)   # Matrix([[1/2, -1], [1, 1]])：行是特徵向量
print(D)   # Matrix([[5, 0], [0, 2]])：對角線是特徵值

# 驗證 A = P*D*P^{-1}
print(P * D * P.inv() == A)   # True
print(D == P.inv() * A * P)   # True

為什麼要對角化？因為對角矩陣的次方極好算——只要把對角線元素各自乘方。於是：

\[ A^n = (P D P^{-1})(P D P^{-1}) \cdots = P D^n P^{-1} \]

from sympy import Matrix

A = Matrix([[4, 1],
            [2, 3]])
P, D = A.diagonalize()

n = 10
print(A**10)              # 直接算
print(P * D**10 * P.inv())   # 對角化算，結果相同

不是所有矩陣都能對角化（例如 \(A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\) 特徵值 1 重根，但特徵向量只有一個方向）。可以先用 is_diagonalizable() 檢查：

print(A.is_diagonalizable())                 # True
print(Matrix([[1, 1], [0, 1]]).is_diagonalizable())  # False

應用預告：Fibonacci 數列（7.3 節）#

Fibonacci 數列 \(F_{n+1} = F_n + F_{n-1}\) 可以寫成矩陣遞迴：

\[ \begin{pmatrix} F_{n+1} \\ F_n \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} F_n \\ F_{n-1} \end{pmatrix} \]

對這個矩陣做特徵分析，就能得到 Fibonacci 數列的封閉公式（Binet 公式）：

from sympy import Matrix

F = Matrix([[1, 1],
            [1, 0]])
print(F.eigenvals())   # {(1 + sqrt(5))/2: 1, (1 - sqrt(5))/2: 1}

特徵值正是黃金比例 \(\varphi = \frac{1+\sqrt{5}}{2}\) 與其共軛！詳細推導與 \(A^n\) 的應用留待 7.3 節。

動手實驗：畫出矩陣對單位圓的變換#

線性變換把單位圓變成橢圓。橢圓的主軸方向正是特徵向量方向，主軸半長正是特徵值的絕對值。讓我們畫圖驗證：

import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
from sympy import Matrix

A = Matrix([[3, 1],
            [1, 3]])

# 單位圓上的點
theta = np.linspace(0, 2 * np.pi, 200)
circle = np.vstack([np.cos(theta), np.sin(theta)])   # 2 x 200

# 作用變換
Anp = np.array(A, dtype=float)
ellipse = Anp @ circle

# 特徵向量（畫成直線）
for val, mult, vecs in A.eigenvects():
    v = np.array(vecs[0], dtype=float).flatten()
    v = v / np.linalg.norm(v)
    plt.plot([-5 * v[0], 5 * v[0]], [-5 * v[1], 5 * v[1]],
             '--', label=f"特徵方向 λ={val}")

plt.plot(circle[0], circle[1], 'gray', label='單位圓')
plt.plot(ellipse[0], ellipse[1], 'b', label='變換後的橢圓')
plt.axis('equal')
plt.legend()
plt.title("矩陣 $A = [[3,1],[1,3]]$ 對單位圓的變換")
plt.show()

執行後你會看到：圓被拉成一個橢圓，而虛線畫的兩條特徵方向恰好是橢圓的長短軸。特徵值 \(\lambda = 4, 2\) 分別對應長軸半長 \(4\) 、短軸半長 \(2\) 。

換一個會「翻轉」的矩陣玩玩：

B = Matrix([[0, 1],
            [1, 0]])   # 沿直線 y=x 鏡射
print(B.eigenvals())   # {1: 1, -1: 1}

\(\lambda = 1\) 的特徵向量在鏡射軸上（不變）， \(\lambda = -1\) 的特徵向量垂直於鏡射軸（方向反轉）——負特徵值就代表「翻轉」。

小結與練習#

本節重點：

特徵向量是變換下「不轉彎」的方向，特徵值是該方向的伸縮倍率
特徵值來自特徵多項式 \(\det(A - \lambda I) = 0\) ；eigenvals()、eigenvects()、charpoly() 是三件套
對角化 \(A = PDP^{-1}\) 把 \(A^n\) 變成 \(PD^nP^{-1}\) ；diagonalize() 回傳 \(P, D\)
不是所有矩陣都可對角化（特徵向量不夠時不行）
Fibonacci 矩陣的特徵值是黃金比例——伏筆在 7.3 節

練習：

求 \(A = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}\) （旋轉 \(90°\) ）的特徵值，並解釋為什麼實數特徵值不存在（提示：旋轉不改變長度，哪來的伸縮方向？）。
對 \(A = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 5 \end{pmatrix}\) 求特徵值與特徵向量，你能不經計算就說出答案嗎？（提示：對角矩陣的特徵結構一目了然）
用 diagonalize() 求 \(A = \begin{pmatrix} 4 & 1 \\ 2 & 3 \end{pmatrix}\) 的 \(A^5\) ，並與 A**5 對照。
驗證：特徵值總和等於 A.trace()，特徵值乘積等於 A.det()（任取一個 \(3 \times 3\) 矩陣）。
修改實驗程式，用 \(A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\) （剪切變換）畫單位圓的變換。觀察：它可對角化嗎？橢圓的主軸和特徵向量還重合嗎？