07.1 數列與級數#
本節目標#
- 認識數列（sequence）與級數（series）的數學概念，理解 \(\sum\) 符號的意義。
- 學會用 SymPy 的
summation()計算有限和與無窮級數。 - 驗證經典公式： \(\sum_{k=1}^n k = \frac{n(n+1)}{2}\) 與 \(\sum_{k=1}^n k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}\) 。
- 判斷無窮級數的收斂與發散，動手實驗用級數逼近 \(\pi\) 。
一、數列與級數的概念#
數列就是一串按規則排列的數： \(a_1, a_2, a_3, \ldots\) 。例如
把數列的項加起來就得到級數。記號
代表前 \(n\) 項之和；當 \(n \to \infty\) 時就是無窮級數。無窮級數可能收斂（有有限和）也可能發散（和無限大或不存在）。
在 SymPy 中，我們用符號變數 \(k\) 、 \(n\) 來表示，先宣告它們是正整數：
from sympy import symbols, summation, oo, simplify, Rational, pi, sqrt, limit
k, n = symbols('k n', integer=True, positive=True)
二、summation()：有限和的計算#
summation(表示式, (索引變數, 下限, 上限)) 直接對應 \(\sum\) 記號：
# sum_{k=1}^{n} k
S1 = summation(k, (k, 1, n))
print(S1) # n**2/2 + n/2，也就是 n(n+1)/2
# sum_{k=1}^{n} k^2
S2 = summation(k**2, (k, 1, n))
print(simplify(S2)) # n*(n+1)*(2*n+1)/6
驗證這兩個經典公式——把 SymPy 的答案與公式相比較：
formula1 = n*(n + 1)/2
formula2 = n*(n + 1)*(2*n + 1)/6
print(simplify(S1 - formula1)) # 0，公式一成立
print(simplify(S2 - formula2)) # 0，公式二成立
也可以對一般式求和，例如 \(\sum_{k=1}^{n} k^3\) ：
S3 = simplify(summation(k**3, (k, 1, n)))
print(S3) # n**2*(n + 1)**2/4
# 有趣的事實：1^3+2^3+...+n^3 = (1+2+...+n)^2
print(simplify(S3 - S1**2)) # 0
三、無窮級數：summation 帶 oo#
oo 是 SymPy 的無窮大符號。把上限設為 oo 就能算無窮級數：
# 幾何級數 sum_{k=0}^{oo} x^k = 1/(1-x)，當 |x| < 1
x = symbols('x')
print(summation(x**k, (k, 0, oo))) # 1/(1 - x)（會附帶收斂條件說明）
# 代入 x = 1/2：1 + 1/2 + 1/4 + ... = 2
print(summation(Rational(1, 2)**k, (k, 0, oo))) # 2
# 巴塞爾問題：sum 1/k^2 = pi^2/6
print(summation(1/k**2, (k, 1, oo))) # pi**2/6
幾何級數的一般驗證：首項 \(a\) 、公比 \(r\) （ \(|r|<1\) ）時，和為 \(\frac{a}{1-r}\) ：
a, r = symbols('a r', positive=True)
geo = summation(a*r**k, (k, 0, oo))
print(simplify(geo - a/(1 - r))) # 0（在 |r|<1 時成立）
四、調和級數發散的驗證#
調和級數 \(\sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k}\) 的項越來越小，但總和卻發散。SymPy 直接算會報告它發散：
h = summation(1/k, (k, 1, oo))
print(h) # oo
更直觀的實驗：計算部分和 \(H_n = \sum_{k=1}^{n} 1/k\) 隨 \(n\) 增大的趨勢。理論上 \(H_n \approx \ln n + \gamma\) （ \(\gamma\) 是 Euler–Mascheroni 常數）：
from sympy import log, N
H = summation(1/k, (k, 1, n))
for Nn in [10, 100, 1000, 10**6]:
val = H.subs(n, Nn).evalf()
print(f"n = {Nn:>8}, H_n ≈ {val:.6f}, ln(n) ≈ {log(Nn).evalf():.6f}")
# 可以看到 H_n 與 ln(n) 同步緩慢成長 -> 發散
也可以看「項的極限」：若一般項不趨近 0，級數必發散：
from sympy import limit_seq
print(limit_seq(1/k, k)) # 0（極限是 0，但級數仍發散，是必要條件非充分條件）
print(limit_seq(k/(k + 1), k)) # 1，不為 0 -> 級數必發散
五、比值判別法實驗#
比值判別法（ratio test）：對正項級數 \(\sum a_k\) ，計算
- \(L < 1\) ：絕對收斂
- \(L > 1\) ：發散
- \(L = 1\) ：無法判定
用 SymPy 做幾個實驗：
from sympy import Limit, Abs
def ratio_test(a_k):
L = Limit(Abs((k + 1).subs(k, k) and a_k.subs(k, k + 1) / a_k), k, oo).doit()
return simplify(L)
# 指數型級數 sum 1/2^k：比值 = 1/2 -> 收斂
print(ratio_test(Rational(1, 2)**k)) # 1/2
# 階乘型級數 sum k!/k^k（直覺上收斂）：比值 = (1+1/k)^k -> 1/e < 1
from sympy import factorial, E
print(ratio_test(factorial(k)/k**k)) # E**(-1)
# 調和級數的比值恆為 1 -> 無法由比值判別
print(ratio_test(1/k)) # 1
注意： \(L=1\) 時判別法失效，調和級數（發散）與 \(\sum 1/k^2\) （收斂）比值都是 1，需要別的方法（如積分判別或 p 級數結論）。
六、動手實驗：算 π 的各種級數#
實驗 1：巴塞爾級數 \(\pi = \sqrt{6 \sum_{k=1}^{\infty} 1/k^2}\) ：
def pi_basel(terms):
s = summation(1/k**2, (k, 1, terms))
return sqrt(6 * s).evalf()
print(pi_basel(100)) # 3.1320...
print(pi_basel(1000)) # 3.1406...（收斂很慢）
實驗 2：Leibniz 級數 \(\frac{\pi}{4} = 1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{5} - \frac{1}{7} + \cdots\) ：
def pi_leibniz(terms):
s = summation((-1)**k / (2*k + 1), (k, 0, terms))
return (4 * s).evalf()
print(pi_leibniz(100)) # 3.1315...
print(pi_leibniz(10000)) # 收斂更慢
實驗 3：Ramanujan 型的快速級數（對照上面兩個的龜速）：
def pi_ramanujan(terms):
s = summation(factorial(4*k) * (1103 + 26390*k)
/ (factorial(k)**4 * 396**(4*k)), (k, 0, terms))
return (9801 / (2 * sqrt(2) * s)).evalf(50)
print(pi_ramanujan(1)) # 精準到小數點後 7 位以上
print(pi_ramanujan(2)) # 已達數十位精度
實驗 4：比較各方法逼近速度：
from sympy import Abs
for m in [5, 10, 20]:
e1 = Abs(pi_basel(m) - pi.evalf())
e2 = Abs(pi_leibniz(m) - pi.evalf())
print(f"項數 {m:>3}: Basel 誤差 {float(e1):.2e}, Leibniz 誤差 {float(e2):.2e}")
觀察重點： 1. 同樣項數下，各級數誤差差距可以非常大。 2. summation 對有限項求和時，有些級數能給出封閉形式，有些只能算數值。 3. 數學上「收斂」與「收斂得快」是兩回事——這正是數值分析的起點。
小結與練習#
本節我們學會了： - 用 summation() 表達 \(\sum\) ，計算有限和與無窮級數。 - 驗證了 \(\sum_{k=1}^n k = \frac{n(n+1)}{2}\) 、 \(\sum_{k=1}^n k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}\) 。 - 幾何級數收斂於 \(\frac{a}{1-r}\) （ \(|r|<1\) ），調和級數雖然項趨近 0 仍發散。 - 比值判別法 \(L<1\) 收斂、 \(L>1\) 發散、 \(L=1\) 無法判定。
練習： 1. 用 summation 求 \(\sum_{k=1}^{n} (2k-1)\) ，並說明它等於 \(n^2\) （奇數和公式）。 2. 求 \(\sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k(k+1)}\) 的值，並用部分分式解釋為什麼結果是 1。 3. 對 \(\sum_{k=1}^{\infty} \frac{k^2}{2^k}\) 先用比值判別法確認收斂，再用 summation 求出精確值（答案是 6）。 4. 用巴塞爾級數估計 \(\pi\) ，至少需要多少項才能讓誤差小於 \(10^{-6}\) ？寫迴圈找出答案。