2.1 凱薩密碼與移位密碼#

概念說明#

凱薩密碼是最古老的替代密碼之一：把明文中每個字母在字母表上往後平移固定 k 位。例如 k=3 時，A→D、B→E、Z→C。它是一種單表替代密碼——整份訊息從頭到尾使用同一張替換表。

廣義的移位密碼（shift cipher）就是把凱薩密碼的位移量一般化為任意整數 k（0~25）。金鑰空間只有 26 個，小到可以人工窮舉，因此它從來就不是安全密碼；但它是理解「替代」、「金鑰」、「模運算」三個核心概念的最佳起點。

數學描述#

把字母 A~Z 編號為 0~25，則：

加密：C = (P + k) mod 26
解密：P = (C - k) mod 26

其中 mod（取餘數）讓字母繞圈：Z(25) + 1 → A(0)。這是第 8 章「模運算」的第一次登場。

演算法步驟#

將明文統一轉為大寫、去除非字母字元（或保留原樣只處理字母）。
對每個字母 p，計算 (字母編號 + k) mod 26。
將結果編號轉回字母，得到密文。
解密時以 -k 做同樣的運算即可。

Python 實作#

def shift_encrypt(text: str, k: int) -> str:
    result = []
    for ch in text:
        if ch.isalpha():
            base = ord('A') if ch.isupper() else ord('a')
            result.append(chr((ord(ch) - base + k) % 26 + base))
        else:
            result.append(ch)  # 非字母原樣保留
    return ''.join(result)

def shift_decrypt(text: str, k: int) -> str:
    return shift_encrypt(text, -k)

msg = "The Caesar cipher is easy to break"
ct = shift_encrypt(msg, 3)
print(ct)                    # Wkh Fdhvdu flskhu lv hdvb wr euhdn
print(shift_decrypt(ct, 3))  # 還原明文

# 窮舉攻擊：26 把金鑰全部試一次
for k in range(26):
    pt = shift_decrypt(ct, k)
    if "cipher" in pt:
        print(f"金鑰 = {k}, 明文 = {pt}")
        break

安全性分析#

金鑰空間只有 26：以現代運算力，窮舉不到一毫秒；即使人工，也只有 26 行可讀。這違反了「金鑰空間須足夠大」的基本要求（1.3 節）。
單表替代的統計弱點：即使把金鑰空間擴大（如任意打亂 26 個字母的對應，金鑰空間 26!≈4×10^26），頻率分析仍然有效——因為明文中 E 最常出現的統計特性被原封不動地帶進密文（2.2 節）。
已知明文攻擊直接讀出金鑰：只要知道一組明文—密文對，k = (C - P) mod 26 立即現形。

教學提醒：本節程式碼僅供理解原理，絕不可用於實務保密。

練習#

用 k=11 加密 ATTACK AT DAWN，再用程式解密驗證。
拿到一段不知金鑰的移位密文，寫一個「自動破解器」：對所有 26 個 k 計算解密結果，用英文常用字母頻率（如 E、T、A）評分，回傳最可能者。
若把凱薩密碼改為「每個字母移不同量」（例如依金鑰字串循環取位移量），它就變成了哪一種古典密碼？（提示：下一節會用到）