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2.2 直方圖等化#

概念說明#

有些影像明明包含豐富的資訊，但因為曝光或感光元件特性的問題，像素值集中在很窄的範圍內，看起來灰灰的抬不起頭。直方圖等化 (Histogram Equalization) 的目標是：重新安排像素值，讓新的直方圖盡可能均勻分布在 0~255 的整個範圍。

直官地說：如果原影像中 30% 的像素都擠在值 120 附近，等化會把這 30% 攤開到很大的一段範圍，於是這群本來彼此幾乎相同灰階的區域，變出細微的差異層次，影像看起來細節變多。

其數學核心是累積分布函式 (CDF)。設 p(v) 為像素值 v 出現的機率，則

cdf(v) = Σ_{i=0..v} p(i)，累積分布

等化使用的對映函式就是 CDF 本身（乘上 255 取整）：

T(v) = floor(255 × cdf(v))

結果的直方圖在連續情況下確實會變成均勻分布；在離散情況下「接近均勻」但並非完美，因為個別值只能整體搬移而無法插值拆分。

本節也要介紹兩個重要變形：

局部／自適應等化 (CLAHE, Contrast-Limited Adaptive Histogram Equalization)：把影像切成小磚塊，每塊獨立等化，但限制任何一個 bin 的累計值上限（避免放大雜訊）。CLAHE 在醫學 X 光、水下影像與紅外線影像等區域性對比變化劇烈的情況特別有效。

演算法步驟#

  1. 統計直方圖 h(v)，v = 0…255。
  2. 計算累積分布 cdf(v) = Σ h(i)，將 cdf 正規化到 0…255：cdf_norm = cdf / N × 255。
  3. 建立查找表 LUT：LUT[v] = floor(cdf_norm(v))。
  4. 用 LUT 對影像逐像素映射：out[y,x] = LUT[in[y,x]]。

Python 程式碼範例#

import numpy as np
from PIL import Image

def hist_eq(img):
    h, _ = np.histogram(img, bins=256, range=(0, 256))
    cdf = h.cumsum()                       # 累積分布
    cdf_min = cdf[cdf > 0].min()           # 跳過空 bin 使對映更均勻
    n = img.size
    lut = ((cdf - cdf_min) * 255.0 / (n - cdf_min)).astype(np.uint8)
    return lut[img]                        # 用 LUT 逐像素映射

def clahe_like(img, tiles=(4, 4), clip=400):
    H, W = img.shape
    rh, rw = H // tiles[0], W // tiles[1]
    out = np.zeros_like(img)
    for ty in range(tiles[0]):
        for tx in range(tiles[1]):
            t = img[ty*rh:(ty+1)*rh, tx*rw:(tx+1)*rw]
            h, _ = np.histogram(t, bins=256, range=(0, 256))
            h = np.minimum(h, clip)        # 限制每 bin 上限
            cdf = h.cumsum()
            lut = (cdf * 255.0 / cdf.max()).astype(np.uint8)
            out[ty*rh:(ty+1)*rh, tx*rw:(tx+1)*rw] = lut[t]
    return out

img = np.array(Image.open("gradient2.png")) if False else \
      np.array((np.linspace(0,255,160).reshape(1,-1) + np.zeros((40,1))).astype(np.uint8))
# 上面造一張水平漸層影像，每列相同，方便觀察等化效果

eq = hist_eq(img)
Image.fromarray(eq).save("eq.png")
h0, _ = np.histogram(img, bins=256, range=(0, 256))
h1, _ = np.histogram(eq,  bins=256, range=(0, 256))
print("等化前: 使用 bin 數 =", (h0>0).sum(), "平均 =", f"{img.mean():.1f}")
print("等化後: 使用 bin 數 =", (h1>0).sum(), "平均 =", f"{eq.mean():.1f}")
print("等化後直方圖標準差(越小越均勻):", f"{h1.std():.1f}")

cl = clahe_like(img)
Image.fromarray(cl).save("clahe.png")
print("CLAHE 完成, 尺寸:", cl.shape)

執行後會看到：等化使用到的灰階 bin 數增加，直方圖變得接近均匀（標準差下降）；CLAHE 則在局部塊中避免大面積的純色被等化後「翻轉」到錯誤的一對比關係，是處理有陰影照片時更穩的選擇。

複雜度分析#

直方圖統計：O(N)。CDF 與 LUT：O(256) = O(1)。應用 LUT：O(N)。總時間 O(N)、額外空間 O(256)，非常有效。CLAHE：分為 t² 塊，每塊 O(tile 面積)，加邊緣插值後仍為 O(N)量級。

練習#

  1. 對你自己的暗照片跑直方圖等化，比較等化前後的直方圖，並解釋為什麼等化可能會放大雜訊。
  2. 修改 clahe_like，加入「用相鄰塊的 LUT 做雙線性插值」以消除塊狀邊界。
  3. 彩色影像應該對 RGB 各通道分別等化，還是先轉 HSV／YCbCr 後只對亮度通道等化？寫一個實驗程式驗證你的答案。