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5.1 傅立葉轉換與頻域處理#

概念說明#

傅立葉轉換 (Fourier Transform) 的核心思想：任何訊號都能分解成不同頻率的正弦波之和。對一維訊號 f(x)，離散傅立葉轉換 (DFT) 定義為：

F(u) = Σₓ f(x) · e^(−j2πux/N)，　u = 0…N−1

二維影像版本：F(u, v) = Σ_y Σ_x I(x, y) · e^(−j2π(ux/M + vy/N))。F 是複數陣列，|F(u,v)| 稱為頻譜 (spectrum)（各頻率成分的強度），angle(F) 是相位（成分的位置關係）。逆轉換能完全無損地還原原影像——轉換不改變資訊，只改變表示法。

頻率的意義：u、v 小 → 緩慢變化（大面積的明暗、整體照明）；u、v 大 → 快速變化（細節、邊緣、雜訊、紋理）。F(0,0) 特別重要：它是所有像素之和 = N² × 平均值，稱為直流 (DC) 項。

卷積定理是頻域處理的支柱：

空間域卷積 = 頻域乘法：I ⋆ K ⟺ F · G

這帶來兩件事：(1) 濾波器有了頻域身分——高斯模糊是低通濾波、銳化是高通增強、Sobel 是帶通；(2) 對大核心，先轉頻域相乘再轉回來比直接卷積快，FFT 的 O(N log N) 擊敗直接卷積的 O(N·k²)。

實務細節：numpy 的 fft2 把低頻放在四角，用 fftshift 把零頻移到中心，頻譜才好解讀；直接顯示 |F| 會因動態範圍太大而看不見細節，要用 log(1+|F|)。相位比頻譜更關鍵：交換兩張影像的相位（保留各自頻譜），結果長得像「有相位的那張」——這個著名實驗證明影像的結構資訊主要在相位裡。

演算法步驟（頻域低通濾波）#

  1. 影像轉 float64，用 fft2 轉頻域，fftshift 置中。
  2. 建立濾波器 H(u,v)（如以中心為圓心的圓形遮罩，半徑 D）。
  3. 相乘：G = F · H。
  4. ifftshift 還原排列，ifft2 轉回空間域，取實部。

Python 程式碼範例#

import numpy as np
from PIL import Image

# 影像：大塊亮區 + 高頻雜訊
rng = np.random.default_rng(6)
img = np.full((64, 64), 120.0)
img[16:48, 16:48] = 200
img += rng.normal(0, 20, (64, 64))

F = np.fft.fftshift(np.fft.fft2(img))
spectrum = np.log1p(np.abs(F))

print("DC 項 =", F[32, 32].real.round(0), "（= 64*64*平均值 =", (64*64*img.mean()).round(0), "）")

# 圓形低通濾波器（半徑 8）
yy, xx = np.mgrid[0:64, 0:64]
D = np.sqrt((yy-32)**2 + (xx-32)**2)
H = (D <= 8).astype(float)
lowpass = np.abs(np.fft.ifft2(np.fft.ifftshift(F * H)))

H2 = (D > 24).astype(float)
highpass = np.abs(np.fft.ifft2(np.fft.ifftshift(F * H2)))

print("原圖標準差:", img.std().round(1))
print("低通後標準差:", lowpass.std().round(1), "（雜訊被去除）")
print("高通殘餘平均絕對值:", highpass.mean().round(2), "（只剩邊緣與雜訊）")

# 驗證卷積定理：高斯模糊 == 頻域低通
g = gaussian = np.exp(-D**2 / (2*8.0**2)); g /= g.sum()
spatial = np.abs(np.fft.ifft2(np.fft.ifftshift(F * np.fft.fft2(np.fft.ifftshift(g)))))
print("空域與頻域高斯結果最大誤差:", np.abs(spatial - lowpass * 0 + spatial - spatial).max())
# 相位的重要性
img2 = rng.integers(0, 256, (64, 64)).astype(float)
F2 = np.fft.fftshift(np.fft.fft2(img2))
mix = np.fft.ifft2(np.fft.ifftshift(np.abs(F) * np.exp(1j*np.angle(F2))))
print("用雜訊相位+原圖頻譜還原的圖，與原圖相關係數:",
      round(np.corrcoef(img.ravel(), mix.real.ravel())[0,1], 3))

執行後：DC 項恰等於 N² 乘平均值，驗證了它的物理意義；低通濾波後標準差大幅下降（雜訊消失、方塊輪廓保留）；高通殘餘只在邊緣與雜訊處有值；相位交換實驗的相關係數接近 0，說明相位才是結構的載體。

複雜度分析#

直接 DFT 是 O(N²) 每一維；FFT (Cooley–Tukey, 1965) 利用對稱性與分治達到 O(N log N)。二維 FFT 對 H×W 影像為 O(H·W·log(H·W))——對 512×512 約 230 萬次運算，而 51×51 直接卷積需 6.7 億次乘加，這就是頻域處理的威力。fftshift 等排列 O(H·W)。空間：F 為複數佔 2 倍記憶體，總 O(H·W)。限制：FFT 對任意尺寸皆可（混合基），但 2 的次方最快；濾波器邊界假設循環捲繞，實務需填充 (padding) 避免環繞偽影。

練習#

  1. 對一張條紋影像（sin 波）做 FFT，確認頻譜出現兩個對稱尖峰，並計算尖峰位置與理論頻率的對應。
  2. 實作「理想低通 vs 高斯低通」濾波器，觀察理想濾波器的振鈴 (ringing) 偽影，並解釋為何矩形頻域遮罩會造成吉布斯現象。
  3. 交換兩張影像（人臉與風景）的相位與頻譜，輸出還原結果，用相關係數量化「結構在相位」的論斷。