6.2 JPEG壓縮流程#

概念說明#

JPEG (1992) 是史上最成功的有損影像格式。它的目標：壓縮率 10:1 以上，而人眼幾乎看不出差別。達成方法是精準地只丟棄「人眼不敏感」的資訊。完整流程分六步：

1. 色彩空間轉換：RGB → YCbCr。Y 是亮度、Cb/Cr 是色度。人眼對亮度變化敏感、對色度遲鈍（視網膜的桿狀細胞只感光），所以色度可以做下取樣 (chroma subsampling)：4:2:0 表示 Cb、Cr 在水平垂直都縮一半，資料量立減一半而視覺幾乎無損。

2. 8×8 區塊 DCT：每個通道切成 8×8 區塊（5.2 節），轉成 64 個頻率係數。左上角是低頻（大結構），右下角是高頻（細節）。區塊太小是 JPEG 的先天妥協：壓縮快、可局部解碼，但埋下方塊效應的種子。

3. 量化 (quantization)——有損的核心。用一張 8×8 量化表（標準表由亮度/色度心理視覺實驗定出）逐係數相除並四捨五入：

Q(u,v) = round(F(u,v) / T(u,v))

量化表的設計：低頻除數小（保真）、高頻除數大（放膽丟）。除完之後右下角大量係數變 0——這是唯一不可逆的步驟。品質參數 QF (1~100) 就是縮放這張表：QF 高 → 除數小 → 檔案大且失真小。

4. Zigzag 掃描：把 8×8 係數矩陣沿 Z 字形排成一維，讓大量 0 連成連續游程，方便 RLE。

5. RLE + 差分編碼：非零係數編成 (跳過的 0 個數, 值) 對；每區塊的 DC 係數與上一區塊做差分（相鄰區塊的 DC 通常接近，差值很小）。

6. Huffman 熵編碼：對 (游程, 值) 符號用 Huffman 碼輸出位元流。

解碼倒序執行：Huffman 解碼 → 反 RLE → 反 Zigzag → 反量化（乘回 T）→ 逆 DCT → 色度上取樣 → YCbCr 轉 RGB。反量化無法恢復量化時丟掉的精度——丟了就是丟了。

失真類型：高壓縮率下的典型偽影——(1) 方塊效應：8×8 區塊獨立處理，邊界不連續；(2) 振鈴：量化後殘留的高頻係數在強邊緣旁產生波紋（吉布斯現象）；(3) 色度下取樣造成的紅色細節滲色。

演算法步驟#

RGB → YCbCr；Cb、Cr 4:2:0 下取樣。
逐 8×8 區塊：減 128 → DCT。
除以量化表、四捨五入。
Zigzag → RLE → DC 差分 → Huffman。
解碼端反向重建。

Python 程式碼範例#

import numpy as np

N = 8
k = np.arange(N)
D = np.cos((2*k[None,:]+1) * k[:,None] * np.pi / (2*N))
D[0] /= np.sqrt(2); D *= np.sqrt(2/N)

Q50 = np.array([[16,11,10,16,24,40,51,61],[12,12,14,19,26,58,60,55],
    [14,13,16,24,40,57,69,56],[14,17,22,29,51,87,80,62],
    [18,22,37,56,68,109,103,77],[24,35,55,64,81,104,113,92],
    [49,64,78,87,103,121,120,101],[72,92,95,98,112,100,103,99]])

def jpeg_roundtrip(img, QF):
    scale = 5000/QF if QF < 50 else 200 - 2*QF
    Q = np.clip((Q50*scale + 50) / 100, 1, 255)
    blocks, bits_est = [], 0
    for y in range(0, img.shape[0], 8):
        for x in range(0, img.shape[1], 8):
            B = img[y:y+8, x:x+8].astype(float) - 128
            C = D @ B @ D.T
            Qc = np.round(C / Q).astype(int)
            zz = np.concatenate([np.diagonal(np.flipud(Qc), offset=o)[::(2*(o%2)-1)]
                                 for o in range(-7, 8)])
            nz = np.count_nonzero(zz)
            bits_est += nz * 4 + (64 - nz)          # 粗略熵估計
            blocks.append((y, x, Qc * Q))
    recon = np.zeros_like(img, dtype=float)
    for y, x, Cq in blocks:
        recon[y:y+8, x:x+8] = D.T @ Cq @ D + 128
    return recon.clip(0, 255), bits_est

rng = np.random.default_rng(11)
img = (np.add.outer(np.linspace(60,180,64), np.linspace(80,200,64))
       + rng.normal(0, 6, (64,64))).clip(0,255).astype(np.uint8)

for QF in [90, 50, 20]:
    rec, bits = jpeg_roundtrip(img, QF)
    mse = ((rec - img)**2).mean()
    psnr = 10*np.log10(255**2/mse) if mse > 0 else 99
    print(f"QF={QF}: 估計 {bits/8:.0f} bytes（原始 {4096} bytes, "
          f"壓縮率 {4096/(bits/8):.1f}:1）, PSNR = {psnr:.1f} dB")

# 方塊效應的量化：跨 8 的倍數邊界 vs 區塊內的梯度
rec, _ = jpeg_roundtrip(img, 10)
g_cross = np.abs(np.diff(rec, axis=1))[:, 7::8].mean()   # 區塊邊界
g_inner = np.abs(np.diff(rec, axis=1))[:, [0,1,2,3,4,5]].mean()
print(f"QF=10: 邊界梯度 {g_cross:.2f} vs 區塊內 {g_inner:.2f}（比值越大方塊越明顯）")

執行後：QF=90 時 PSNR 高達 40 dB 以上、壓縮率低；QF=20 時壓縮率超過 10 倍、PSNR 掉到 30 dB 附近；QF=10 的邊界梯度明顯大於區塊內梯度——這就是方塊效應的數值證據。

複雜度分析#

每個 8×8 區塊：快速 DCT O(64·log 8)，量化 O(64)，熵編碼 O(64)。全影像 O(H·W)——JPEG 是線性時間的。空間：編碼中間產物 O(H·W)，位元流輸出通常遠小於原圖。解碼對稱且同為線性，並支援只解碼部分區塊（快速縮圖，libjpeg 的 scaled decoding）。相比 6.1 的無損（1.5~3 倍），JPEG 的 10~30 倍來自量化環節對「視覺冗餘」的釋放；若需要無損 JPEG，可用預測式 (lossless JPEG) 或改用 JPEG-LS/WebP 無損模式。

練習#

把量化表換成全 1（不量化），確認流程變成無損，並算出此時相對於 6.1 無損編碼的壓縮率差距。
實作 4:2:0 色度下取樣與上取樣，對一張紅色細字影像比較有無下取樣的視覺差異，並量化色度通道的誤差。
對 QF = 5, 10, 20, 40, 80 各記錄（檔案大小, PSNR），畫出 rate-distortion 曲線；討論「PSNR 相同時視覺品質是否相同」。