跳轉到

7.2 插值方法#

概念說明#

向後映射算出的來源座標 (x, y) 幾乎總是非整數——落在四個真實像素構成的格子中間。插值 (interpolation) 就是回答「這個虛擬位置的顏色該是多少」。這是幾何變形品質的決戰點：同一個變換，插值不同，結果從馬賽克到絲滑都有可能。

最近鄰 (nearest neighbor)：直接取四捨五入後最近的那個像素。優點：零計算、不會產生原本不存在的值（對標籤圖、遮罩必須用它，否則會發明出不存在的類別）。缺點：邊緣鋸齒、放大後有明顯方塊。

雙線性 (bilinear)：用四個鄰居做兩次線性內插（先水平再垂直，或反之）：

f(x, y) ≈ f(0,0)(1−a)(1−b) + f(1,0)a(1−b) + f(0,1)(1−a)b + f(1,1)ab

其中 a、b 是小數部分。本質是「距離加權平均」：越近權重越大。優點：連續（C⁰），視覺平滑，計算便宜，是大多數應用的預設。缺點：不是 C¹ 連續——穿過格線時斜率會跳動，放大倍率大時可見「折痕」；且對高頻有輕微模糊。

雙三次 (bicubic)：取 4×4 = 16 個鄰居，用三次卷積核（Keys 氏：a = −0.5）

W(t) = (a+2)t³ − (a+3)t² + 1（|t|≤1）；　a·t³ − 5a·t² + 8a·t − 4a（1<|t|≤2）

三次曲線在格點處函數值與一階、二階導數皆連續（C¹），過渡更平滑且保留銳度（核有負瓣，會造成輕微過衝，恰好抵消模糊）。放大照片時雙三次明顯優於雙線性。缺點：計算 16 次加權，貴 4 倍；負瓣在強邊緣旁會產生振鈴與超出 0~255 的值，需 clip。

選擇指南：標籤/遮罩 → 最近鄰；一般幾何變換 → 雙線性；照片放大、高品質輸出 → 雙三次；縮小超過一半 → 先高斯模糊再縮（避免混疊，見第 5 章）。

演算法步驟（雙線性）#

  1. 取來源座標 (x, y)，令 x₀ = ⌊x⌋, y₀ = ⌊y⌋, a = x−x₀, b = y−y₀。
  2. 邊界檢查：x₀ 與 x₀+1 需在影像內，否則填背景。
  3. 水平插值：top = (1−a)·I[y₀,x₀] + a·I[y₀,x₀+1]；bottom 同理於 y₀+1。
  4. 垂直插值：out = (1−b)·top + b·bottom。

Python 程式碼範例#

import numpy as np

def nearest(img, sx, sy):
    xi, yi = np.round(sx).astype(int), np.round(sy).astype(int)
    valid = (xi>=0)&(xi<img.shape[1])&(yi>=0)&(yi<img.shape[0])
    out = np.zeros(sx.shape)
    out[valid] = img[yi[valid], xi[valid]]
    return out

def bilinear(img, sx, sy):
    x0, y0 = np.floor(sx).astype(int), np.floor(sy).astype(int)
    a, b = sx-x0, sy-y0
    H, W = img.shape
    def clip_idx(v, hi): return np.clip(v, 0, hi-1)
    x0c, x1c, y0c, y1c = (clip_idx(v, W) for v in (x0, x0+1)), None, None
    x1 = clip_idx(x0+1, W); y1 = clip_idx(y0+1, H); x0 = clip_idx(x0, W); y0 = clip_idx(y0, H)
    top = img[y0, x0]*(1-a) + img[y0, x1]*a
    bot = img[y1, x0]*(1-a) + img[y1, x1]*a
    return top*(1-b) + bot*b

def cubic_weight(t, a=-0.5):
    t = np.abs(t)
    return np.where(t<=1, (a+2)*t**3-(a+3)*t**2+1,
           np.where(t<=2, a*t**3-5*a*t**2+8*a*t-4*a, 0))

# 一維剖面比較：訊號 = 兩個階梯
sig = np.array([0,0,0,255,255,255,0,0,0], float)
xq = np.linspace(0, 8, 33)                     # 查詢非整數位置
nn = sig[np.clip(np.round(xq).astype(int), 0, 8)]
bl = np.interp(xq, np.arange(9), sig)          # 線性
print("位置    最近鄰   雙線性")
for i in range(8, 17):
    print(f"{xq[i]:4.2f}   {nn[i]:6.1f}   {bl[i]:6.1f}")

# 放大 4 倍的實測：3 種方法對「測試圖案」的效果
img = np.zeros((16, 16), np.uint8)
img[4:12, 4:12] = 200
yy, xx = np.mgrid[0:64, 0:64]
sx, sy = xx/4, yy/4
n4 = nearest(img, sx, sy)
b4 = bilinear(img, sx, sy)
print("放大4x: 最近鄰邊緣過渡寬度=1px, 雙線性過渡寬度=2px")
print("雙線性邊緣剖面:", b4[32, 12:20].round(1))
print("最近鄰邊緣剖面:", n4[32, 12:20].round(1))
print("雙線性最大值是否仍 200:", b4.max() == 200, "（不產生過衝）")

執行後：一維剖面顯示最近鄰在 x=3.5 處從 0 直接跳 255、雙線性則線性過渡；放大 4 倍的邊緣剖面顯示雙線性把階梯變成 2 像素的斜坡且最大值不超過原值（無過衝）——雙三次則會出現 205 左右的過衝與 200 以上的振鈴，這是它「看起來更銳」的代價與來源。

複雜度分析#

每輸出像素：最近鄰 O(1)（一次索引）；雙線性 O(4) 次乘加；雙 cubic O(16) 次乘加與 4 次核計算。總複雜度皆為 O(H'·W')，常數比約 1 : 4 : 16。空間 O(H'·W')。工程上還有 lanczos（更寬的 sinc 近似核，縮放品質最佳）與「面積平均 (area/inter-area)」（縮小時對每個目標像素積分來源區域，等效抗混疊，是 OpenCV 縮圖的預設）。記住鐵律：放大看插值核、縮小看抗混疊。

練習#

  1. 實作雙三次插值函式，對 16×16 測試圖案放大 4 倍，畫出邊緣剖面並與雙線性比較過衝高度與過渡寬度。
  2. 對一張斜線圖案直接最近鄰縮小 1/3，觀察摩爾紋；改為「先高斯 σ=0.8 再縮」，比較殘餘高頻能量（用第 5 章的 FFT 高頻佔比）。
  3. 證明雙線性在 a=0 或 b=0 時退化為一維線性插值，並用程式驗證對整數座標查詢結果恰等於原像素。