8.1 侵蝕膨脹與形態學運算#

概念說明#

形態學 (morphology) 把二值影像 A 視為集合（值為 1 的像素座標的集合），用一個小集合結構元素 B（通常 3×3 或 5×5 的方形/十字/圓盤）探測它。兩個基本運算：

侵蝕 (erosion) A ⊖ B：結構元素中心放在 z 時，若 B 完全落在 A 內則輸出 1。

A ⊖ B = { z | B_z ⊆ A }

效果：白色區域縮小。邊界剝掉一圈；比結構元素小的白區整個消失；細線被切斷。用途：去除小白雜點、分離相連的物件、收縮過粗的線條。

膨脹 (dilation) A ⊕ B：只要 B 與 A 有任何接觸就輸出 1。

A ⊕ B = { z | (B̂)_z ∩ A ≠ ∅ }

效果：白色區域擴大。邊界外擴一圈；小黑孔被填掉；斷開的線被接上。用途：填補小洞、連接斷線、擴張種子區域。

兩者都不是可逆的，但可以複合成四個標準運算：

開運算 (opening) A ∘ B = (A ⊖ B) ⊕ B：先蝕後脹。去除小白點與突刺，大結構大小基本不變——像用 B 把輪廓「刷」圓滑。
閉運算 (closing) A • B = (A ⊕ B) ⊖ B：先脹後蝕。填補小黑洞與窄縫，大結構不變。
形態學梯度 (A ⊕ B) − (A ⊖ B)：膨脹與侵蝕的差 = 區域外擴減內縮 = 邊界帶，是粗但封閉的邊緣。
頂帽 / 黑帽：原圖減開運算（比結構元素小的亮細節）、閉運算減原圖（暗細節）——灰階形態學用於不均勻背景的提取。

對偶性：侵蝕與膨脹互為補集運算：¬(A ⊕ B) = (¬A) ⊖ B̂。膨脹白區 = 侵蝕黑區。

灰階推廣：侵蝕 = 鄰域最小值濾波，膨脹 = 鄰域最大值濾波（3.3 節提過的最大/最小濾波就是它們），開/閉運算變成「滑動最大後滑動最小」。這讓形態學能處理灰階影像的背景不平問題。

結構元素的形狀有語義：方形適合網格狀結構、圓盤不偏向任何方向、十字形連通性溫和。尺寸決定「什麼算小、什麼算大」——半徑 r 的圓盤會消滅所有厚度小於 2r 的結構，這是形態學作為「尺度濾波器」的直覺。

演算法步驟#

定義結構元素 B（形狀與尺寸）。
侵蝕：對每個前景像素，檢查 B 覆蓋處是否全為 1；不是則設 0。
膨脹：對每個背景位置，檢查 B 覆蓋處是否有任一 1；有則設 1。
開/閉運算：按順序複合兩次運算。
（灰階）用滑動 min/max 實現。

Python 程式碼範例#

import numpy as np

def erode(A, B):
    r = B.shape[0]//2
    P = np.pad(A, r, constant_values=0)
    H, W = A.shape
    out = np.ones_like(A)
    for dy in range(-r, r+1):
        for dx in range(-r, r+1):
            if B[dy+r, dx+r]:
                out &= P[r+dy:r+dy+H, r+dx:r+dx+W]
    return out

def dilate(A, B):
    r = B.shape[0]//2
    P = np.pad(A, r, constant_values=0)
    H, W = A.shape
    out = np.zeros_like(A)
    for dy in range(-r, r+1):
        for dx in range(-r, r+1):
            if B[dy+r, dx+r]:
                out |= P[r+dy:r+dy+H, r+dx:r+dx+W]
    return out

B = np.ones((3, 3), np.uint8)          # 3×3 方形結構元素

# 測試影像：大方塊 + 一個 2×2 白雜點 + 一個 3×3 黑洞
A = np.zeros((20, 20), np.uint8)
A[4:16, 4:16] = 1
A[2:4, 2:4] = 1                        # 小白雜點
A[9:11, 9:11] = 0                      # 方塊內小黑洞

opened = dilate(erode(A, B), B)
closed = erode(dilate(A, B), B)
grad = dilate(A, B).astype(int) - erode(A, B).astype(int)

print("原圖白像素:", A.sum(), "（含雜點 4 個）")
print("開運算後:", opened.sum(), "（雜點消失）")
print("雜點是否被移除:", opened[2,2] == 0)
print("黑洞是否被填補:", closed[9,9] == 1, "，大結構仍在:", closed.sum())
print("形態學梯度邊界像素數:", int((grad == 1).sum()))

# 侵蝕對「分離相連物件」的作用
two = np.zeros((20, 20), np.uint8)
two[5:9, 4:8] = 1; two[5:9, 9:13] = 1; two[5:9, 8, ] = 1   # 兩塊由 1px 相連
print("相連物件侵蝕 3×3 後連通塊數變化：兩塊分開 =",
      erode(two, B)[5, 6] == 0 and erode(two, B)[5, 11] == 1)

執行後：開運算精準移除了 2×2 雜點而大方塊幾乎原封不動；閉運算填掉了 2×2 黑洞；形態學梯度的非零像素正好是方塊的邊界環。最後一項顯示侵蝕能把僅 1 像素相連的兩個物件分開——這是連通標記（下一節）的前置處理。

複雜度分析#

樸素實作：每像素檢查 k×k 結構元素，O(N·k²)。兩個加速：(1) 分解——方形結構元素可分解成兩次 1×k，O(N·k)；(2) van Herk/Gil-Werman 滑動視窗 min/max 演算法每列只需 3 次比較/像素，與 k 無關 O(N)。開/閉 = 兩次基本運算，同階。空間 O(N)。形態學的魅力在於：與卷積同樣的框架、不同的代數（Boolean/格論 instead of 線性），因此它天然並行、可分解、可組合，且結果可預測（可證明開運算具冪等性：開兩次 = 開一次）。

練習#

實作 5×5 圓盤結構元素，對同一張影像分別用方形與圓盤做開運算，比較對斜線邊緣的影響（哪個保留得更完整？）。
對一張被不均勻光照污染的文件二值圖，用「頂帽運算 + 開運算」流程還原文字，量化處理前後的連通字元數。
證明開運算的冪等性 (A∘B)∘B = A∘B，並用程式對隨機二值影像驗證。