1.1 電腦如何做數學#

概念說明#

人類做數學時，使用的是符號與推理：我們寫下 a² + b² = c²，並用邏輯證明它。電腦做數學的方式完全不同——它只會做「有限步驟的位元運算」。任何數學問題要交給電腦，都必須先被轉換成三個部分：

資料表示：把數學物件（整數、實數、多項式、矩陣）編碼成一串位元。
演算法：把求解過程拆解成明確、有限、可機械執行的步驟。
誤差/複雜度控制：明確知道計算有多快、答案有多準。

以「計算 √2」為例，人類知道它是一個無理數，等於 2 的算術平方根；但電腦無法「直接」輸出一個無限不循環小數，它只能輸出某個有限精度的近似值，例如 1.4142135623730951。這個近似值是怎麼來的？答案是靠一個收斂的迭代演算法，例如巴比倫法（即牛頓法在 f(x) = x² − 2 上的特例）：反覆令 x_{n+1} = (x_n + 2/x_n) / 2，每迭代一次有效位數大約翻倍。

演算法步驟#

一個典型的數學演算法設計流程如下：

形式化問題：給定什麼輸入、要求什麼輸出、答案的正確標準是什麼。
選擇表示法：用什麼資料結構存數學物件（陣列存多項式係數、二維陣列存矩陣）。
設計核心步驟：找到能逼近或直接計算答案的迭代或遞迴規則。
分析收斂性與誤差：證明步驟會收斂，並估計誤差上界。
實作與測試：用程式碼實作，並用已知答案的案例驗證。

Python 程式碼範例#

以下用巴比倫法計算平方根，展示「迭代 + 誤差控制」的完整流程：

def babylon_sqrt(x, tol=1e-12, max_iter=100):
    """用巴比倫法計算 x 的平方根（x >= 1 的情形）"""
    if x < 0:
        raise ValueError("無法對負數開平方")
    if x == 0:
        return 0.0
    g = max(x, 1.0)          # 初始猜測
    for i in range(max_iter):
        new_g = (g + x / g) / 2   # 平均目前猜測與 x/g
        print(f"第 {i+1} 次迭代: g = {new_g:.15f}")
        if abs(new_g - g) < tol:  # 收斂判定
            return new_g
        g = new_g
    return g

root = babylon_sqrt(2)
print(f"√2 ≈ {root}")
print(f"檢驗: {root**2:.15f}")   # 應接近 2

執行後你會看到猜測值迅速穩定在 1.4142135623730951——與內建 math.sqrt(2) 的結果完全一致。這說明：只要演算法設計得當，電腦可以在極少次迭代內得到幾乎「機器精度」的答案。

複雜度與誤差分析#

巴比倫法的收斂速度是二次收斂：若誤差為 ε，則一次迭代後誤差約為 ε²/C。換句話說，正確位數每次迭代大約翻倍。從 1 出發計算 √2，通常 5 次迭代內就達到雙精度浮點數的極限（約 16 位有效數字）。這也揭示了一個重要觀念：數值演算法的好壞，常用「達到目標精度需要幾次迭代」來衡量，而迭代次數又常是誤差容許值的對數函數，例如二次收斂時迭代次數約為 O(log log (1/ε))。

練習#

修改 babylon_sqrt，使其能正確處理 0 < x < 1 的情況（提示：√0.01 = 0.1，想想初始猜測該怎麼選）。
用同一個架構，把迭代式改成 x_{n+1} = (2*x_n + x/x_n²)/3，計算立方根 ∛x，並驗證 ∛27 ≈ 3。
比較迭代 3 次、5 次、10 次的結果與 math.sqrt 的差異（用 abs(a-b)），畫出誤差隨迭代次數下降的表格，驗證「正確位數翻倍」的說法。