5.2 行列式與反矩陣#

概念說明#

行列式 det(A) 與反矩陣 A⁻¹ 是線性代數課的主角，但在計算上它們的地位很微妙：兩者幾乎都不該用定義去算。

行列式的定義是 n! 項的展開和（Leibniz 公式），20 階矩陣就有 2.4×10¹⁸ 項，直接展開毫無希望。聰明的方法是借道 LU 分解：由 PA = LU 得 det(A) = ±det(U)，而上三角矩陣的行列式就是對角線元素乘積，排列的符號在軸選時順手記下即可。行列式是 LU 分解的免費副產品，成本同樣是 O(n³)，不需要任何額外的迴圈結構。

反矩陣的常見誤區則是觀念性的：想解 Ax = b 時，許多人先算 A⁻¹ 再算 A⁻¹b。這樣做慢（多一整次矩陣乘法）、又不準（多一輪捨入誤差傳播），因此數值分析界有句格言——"Don't invert that matrix"。需要解系統就直接用 LU solve；需要 A⁻¹ 本身（例如做統計的共變異矩陣推導）才真的去算，而即使要算，正確做法也是對單位矩陣的 n 個列各做一次 LU solve，而非伴隨矩陣法。

本節還要介紹一個重要的診斷量：條件數 κ(A)。它告訴你「這個線性系統的答案可信嗎」，比行列式實用得多——行列式大小與病態程度無關，條件數才是真警報。

演算法步驟#

行列式（經 LU）：

做 PA = LU 分解，過程中記錄列交換次數 s。
det(A) = (−1)ˢ × ∏ᵢ uᵢᵢ。

反矩陣（經多次求解）：

對 A 做 LU 分解（一次）。
對單位矩陣每一列 eⱼ（j = 1..n）解 Ax = eⱼ。
把 n 個解 xⱼ 排成矩陣，即 A⁻¹。

Python 程式碼範例#

import numpy as np
from fractions import Fraction

# ---- 行列式：LU 法 vs 遞迴餘因子展開 ----
def det_recursive(A):
    A = [[Fraction(str(v)) for v in row] for row in A]
    n = len(A)
    if n == 1:
        return A[0][0]
    total = Fraction(0)
    for j in range(n):
        minor = [row[:j] + row[j+1:] for row in A[1:]]
        total += (-1)**j * A[0][j] * det_recursive(minor)
    return total

def det_lu(A):
    A = A.astype(float).copy()
    n, sign = len(A), 1
    for k in range(n):
        p = k + np.argmax(np.abs(A[k:, k]))
        if p != k:
            A[[k, p]] = A[[p, k]]; sign = -sign
        if A[k, k] == 0:
            return 0.0
        A[k+1:, k:] -= np.outer(A[k+1:, k] / A[k, k], A[k, k:])
    return sign * np.prod(np.diag(A))

A = np.array([[2., 1., 1.], [4., -6., 0.], [-2., 7., 2.]])
print("det_lu      =", det_lu(A))
print("det 遞迴精確 =", det_recursive(A))       # 精確分數運算
print("np.linalg.det =", np.linalg.det(A))

# ---- 反矩陣的正確與錯誤用法 ----
b = np.array([5., -2., 9.])
x_good = np.linalg.solve(A, b)                 # 建議做法
x_bad  = np.linalg.inv(A) @ b                  # 不建議做法
print("誤差差異:", np.abs(x_good - x_bad))

# ---- 條件數診斷 ----
H = np.array([[1/(i+j+1) for j in range(8)] for i in range(8)])
print("κ(Hilbert 8x8) =", f"{np.linalg.cond(H):.3e}")

複雜度與誤差分析#

LU 法算行列式：O(n³) 時間、原地 O(n²) 空間；遞迴餘因子法是 O(n!)，n = 12 時已超過 4×10⁸ 次乘法，只能當教學工具（上例用 Fraction 展示它可以做精確計算，但只限小矩陣）。反矩陣需要 n 次 O(n²) 代換加一次 O(n³) 分解，總計約 2n³/3 次運算；而 inv(A) @ b 比 solve(A, b) 多花 O(n³) 的矩陣乘法且相對誤差多乘上一個 κ(A) 因子。條件數的解讀準則：κ ≈ 10ᵏ 表示答案大約可信到最後 n − k 位有效數字（雙精度下還要扣掉 ε ≈ 10⁻¹⁶ 的底噪）。實務守則：解系統用 solve、最小平方用 QR 或 SVD、真的需要 A⁻¹ 時先想想能否改寫成矩陣—向量乘積。

練習#

把 det_lu 改成回傳「符號 + 對數絕對值」（log-det），避免大矩陣時數值溢位；用 100 階隨機矩陣測試 det 直接算是否回傳 inf，而 log-det 正常。
實作「用一次 LU 分解 + n 次代換」計算 A⁻¹，與 np.linalg.inv 比較結果與耗時（n = 200, 400, 800）。
構造矩陣 A = diag(10⁻⁸, 1, 1)，計算 det(A) 與 κ(A)。說明為什麼「行列式接近 0」不能作為奇異的判斷標準，並提出一個更好的判斷方法。