第 6 章 數值微積分#

微積分的兩大問題——切線斜率與曲線下面積——在電腦上遇到了根本障礙：電腦只有離散的點與有限的算術。本章的主題就是用離散近似取代極限運算，並且嚴格回答「這個近似差多少」。

6.1 節數值微分：把導數定義 f′(x) = lim (f(x+h) − f(x))/h 中的極限拿掉，換成有限差分。你會遇到一個經典的兩難——h 太大截斷誤差大，h 太小捨入誤差大——並學會選擇最佳步長。6.2 節數值積分：梯形法與辛普森法，兩者都是等距節點上的多項式逼近，誤差階分別為 O(h²) 與 O(h⁴)，並介紹自動加密區間直到誤差估計滿意的實作技巧。6.3 節蒙地卡羅積分：當維度一高（d > 4~6），格點法的節點數會以指數爆炸（維度詛咒），此時隨機取樣反而勝出——誤差以 O(1/√N) 下降且與維度無關。

這一章也是「誤差分析」練得最扎實的一章：每一節都會給出誤差公式、推導思路與實驗驗證方法。這套「近似 + 誤差界」的論證方式，是接下來第 7 章插值與逼近的直接前備知識。