第 7 章 插值與逼近#

前三章處理的是「給了函數，算它的值」；這一章反過來——給了離散的資料點，重建函數。這是所有資料科學的地基：感測器只給你取樣點、實驗只給你測量值，但你想知道中間發生了什麼，甚至外推未來。

7.1 節拉格朗日插值：通過 n+1 個點的 n 次多項式有唯一解，拉格朗日給出顯式公式；但你也會遇到著名的 Runge 現象——等距節點的高次插值會在端點劇烈震盪，解藥是切比雪夫節點。7.2 節最小平方擬合：資料有雜訊時，「硬穿過每個點」是錯的，應改求「誤差平方和最小」的逼近曲線；我們會推導正規方程，並解釋為何實務上偏好 QR 分解。7.3 節泰勒展開與級數加速：電腦算 sin、exp、π 靠的正是無窮級數的有限截斷；你將學會用泰勒級數做函數求值、用 Richardson 外推與 Aitken Δ² 加速收斂慢的級數。

本章的統一主題是逼近誤差的刻畫：插值誤差有 (n+1) 階導數的界、最小平方的殘差有幾何投影解釋、級數截斷有餘項估計。能把「差多少」寫成公式並用程式驗證，你就從「會用函式庫」升級成「理解函式庫」。