7.3 泰勒展開與級數加速#

概念說明#

電腦怎麼算出 sin(1)、e²、π？答案是無窮級數的有限截斷。任何標準函數庫的底層，都是把函數展開成收斂級數，取前有限項求值。泰勒定理是這件事的理論基礎：

f(x) = Σ_{k=0}^{N} f⁽ᵏ⁾(a)(x−a)ᵏ/k! + Rₙ(x)

例如 eˣ = 1 + x + x²/2! + x³/3! + …、sin x = x − x³/3! + x⁵/5! − …。截斷誤差（餘項）對 eˣ 在 |x| < 1 時 ≤ e·|x|^(N+1)/(N+1)!，階乘分母使收斂快得驚人——這就是為什麼 math.exp 只需十幾項就達到機器精度。

但並非所有級數都這麼乖。著名的 Leibniz 級數 π/4 = 1 − 1/3 + 1/5 − … 收斂慢得令人髮指：要 10¹⁰ 項才對 10 位數。級數加速（series acceleration）是一組技術，用「誤差自身的規律」去抵銷誤差：

Aitken Δ² 法：若誤差近似幾何衰減 eₙ ≈ C·qⁿ，則由三個相鄰近似值可外推 eₙ ≈ 0 的位置。
Richardson 外推：若誤差有已知形式 eₙ = C·hᵖ，用兩個不同步長的結果線性組合消掉主誤差項，階數躍升（6.2 節的 Romberg 積分就是它的應用）。
Euler 變換與收斂加速公式：對交錯級數特別有效，可把 Leibniz 級數變成快速收斂版本。

更務實的心法是：換一個收斂快的級數勝過苦練加速術——算 π 時用 Machin 公式或 Ramanujan 級數，比加速 Leibniz 級數快上百萬倍。

演算法步驟#

Aitken Δ² 加速：

取級數的三個連續部分和 Sₙ, Sₙ₊₁, Sₙ₊₂。
計算 Tₙ = Sₙ − (ΔSₙ)²/Δ²Sₙ，其中 ΔSₙ = Sₙ₊₁ − Sₙ、Δ²Sₙ = Sₙ₊₂ − 2Sₙ₊₁ + Sₙ。
Tₙ 的誤差通常遠小於 Sₙ（若誤差恰為幾何，Tₙ 一次到位）。

Richardson 外推（已知誤差階 p）：

以步長 h 與 h/2 各算一次：A(h), A(h/2)。
外推值 = A(h/2) + [A(h/2) − A(h)]/(2ᵖ − 1)。

Python 程式碼範例#

import math

# --- 泰勒級數求 e^x ---
def exp_taylor(x, tol=1e-16):
    term, s, k = 1.0, 1.0, 0
    while abs(term) > tol * abs(s) and k < 200:
        k += 1
        term *= x / k                 # 每項 = 前項 * x/k
        s += term
    return s, k

for x in [1.0, 5.0, 20.0]:
    val, k = exp_taylor(x)
    print(f"e^{x}: 泰勒 {val:.15f}（{k} 項）, math.exp 誤差 {abs(val - math.exp(x)):.1e}")

# --- Leibniz 級數與 Aitken 加速 ---
def leibniz_partial(N):
    return sum((-1)**k / (2*k + 1) for k in range(N))

pi4 = math.pi / 4
print("\nLeibniz 直接收斂（部分和誤差）:")
for N in [10, 100, 1000, 10000]:
    print(f"  N={N:>6}: 誤差 {abs(leibniz_partial(N) - pi4):.3e}")

S = [leibniz_partial(n) for n in range(1, 31)]
T = [S[i] - (S[i+1]-S[i])**2 / (S[i+2] - 2*S[i+1] + S[i])
     for i in range(len(S) - 2)]
print(f"Aitken 加速後（n≈28）誤差: {abs(T[-1] - pi4):.3e}")

# --- Richardson 外推：中點差分的導數 ---
def midpoint_diff(f, x, h):
    return (f(x + h) - f(x - h)) / (2 * h)

f = math.sin
x, exact = 1.0, math.cos(1.0)
A1 = midpoint_diff(f, x, 0.1)          # 誤差階 p = 2
A2 = midpoint_diff(f, x, 0.05)
rich = A2 + (A2 - A1) / (2**2 - 1)
print(f"\n中點差分 h=0.05 誤差: {abs(A2 - exact):.3e}")
print(f"Richardson 外推後誤差: {abs(rich - exact):.3e}")

誤差分析#

泰勒餘項有兩種有用形式：Lagrange 型 Rₙ = f⁽ⁿ⁺¹⁾(ξ)(x−a)^(n+1)/(n+1)!（可估界）與積分型（可推遞迴）。工程要點：截斷誤差 O(h^(N+1))，但要注意 (1) x 離展開中心太遠時收斂半徑問題（eˣ 全域收斂、arctan 只有 |x| ≤ 1），實作上用參數規約（range reduction）：先縮小自變數到收斂快的小區間再展開；(2) 項與項之間用遞迴（term × x/k）而非每項重算階乘，兼顧速度與捨入誤差；(3) 交錯級數的截斷誤差小於第一個丟棄項的絕對值，這給了免費的誤差證書。加速技術的理論：Aitken Δ² 把誤差階從 q 提到 q²（對幾何誤差），反覆套用構成 Shanks 變換；Richardson 外推每套用一次，誤差階 p → p + 下一段的 p 值，Romberg 積分疊出 O(h²ⁿ) 就是這麼來的。而誤差呈 O(1/n) 衰減的調和型級數（如 π/4 = Σ(−1)ᵏ/(2k+1)）對 Aitken 不敏感，正解是換公式——例如 Machin 公式 π = 16 arctan(1/5) − 4 arctan(1/239)，arctan 的冪級數在 x = 1/5 每項縮小 25 倍，只需約 15 項就達 20 位精度。

練習#

寫函數 sin_taylor(x, tol)（用遞迴項且先做 x ← x mod 2π 的參數規約），對 x = 1, 10, 100 比較項數需求，驗證規約的重要性。
用 Aitken Δ² 加速 Σ 1/k²（收斂到 π²/6），畫出加速前後誤差對 n 的曲線；解釋為什麼加速有效（誤差近似 C/n，非幾何但單調可外推）。
實作 Machin 公式求 π 到 50 位（搭配 1.3 節的 decimal 模組），與 Leibniz 級數比較達到同精度所需的項數。