1.1 聲音與數位訊號#

概念說明#

聲音的本質是壓力波。 當物體振動時（例如吉他的弦、揚聲器的振膜），它會推擠周圍的空氣分子，造成空氣壓力在平均值附近起伏。這個壓力擾動以約 343 m/s 的速度在空氣中傳播，抵達耳膜後，推動耳膜振動，最終由大腦解讀為「聽到的聲音」。所以從演算法的角度看，一個聲音訊號就是「壓力對時間的函數」：

\[ p(t) = p_0 + \Delta p(t) \]

電腦裡我們通常把這個函數減去平均值，記成一個訊號 \(x(t)\) ，即「相對於環境壓力的擾動量」，單位是帕斯卡（Pa）。

最簡單也最重要的模型是純音（pure tone），也就是正弦波：

\[ x(t) = A\sin(2\pi f t + \phi) \]

IEEE 在 1980 年代採用標準名稱 pure tone 指單一頻率的振盪。它有三個參數，各自對應一種聽覺感知：

物理參數	數學量	聽覺感知
頻率 \(f\) （Hz）	正弦波每秒振盪次數	音調高低（pitch）
振幅 \(A\) （Pa 或 dB）	波峰的高度	音量大小（loudness）
相位 \(\phi\)	起始角度	（人耳對相位大多不敏感）

真實的聲音幾乎從來不是單一正弦波。鋼琴彈一個 A4（440 Hz）時，實際上同時發出 440、880、1320、1760 Hz……等一整組泛音（overtones/harmonics），相對強度由樂器的材質與發聲方式決定。人耳把「基頻 f0」解讀為音調，把泛音的能量分布解讀為音色（timbre）——這就是為什麼小提琴與長號吹同一個音，聽起來完全不同。整本書的任務，基本上就是不斷地把這三個概念（頻率結構、能量、頻譜形狀）轉成可計算的演算法。

從聲音到數字：類比數位轉換#

電腦無法儲存連續函數，只能儲存離散的數字。把連續訊號 \(x(t)\) 變成數列 \(x[0], x[1], x[2], \ldots\) 的過程稱為類比數位轉換（ADC, Analog-to-Digital Conversion），包含三個步驟：

步驟 1：抗混疊低通濾波（anti-aliasing filter） 先以低通濾波器把輸入訊號頻率限制在取樣率的一半以下（見 1.2 節）。這一步在 ADC 晶片內部完成，使用者通常看不到，但若省略，高頻成分會折疊成假的低頻，且事後無法救回。

步驟 2：取樣（sampling） 每 \(T_s\) 秒量測一次訊號的瞬時值， \(T_s\) 的倒數就是取樣率（sampling rate） \(f_s\) ：

\[ x[n] = x(nT_s), \quad n = 0, 1, 2, \ldots \]

常見取樣率：語音 8 kHz（電話）、16 kHz（語音辨識）、CD 音質 44.1 kHz、專業錄音 48/96 kHz。

步驟 3：量化與編碼（quantization & coding） 把量測到的實數捨入到有限的位數。例如 16-bit 錄音把振幅對應到 65536 個整數階層，8-bit 只有 256 個。量化引入的誤差就是量化雜訊（見 1.3 節）。

反方向 DAC（數位類比轉換）則以重建濾波器把階梯狀的數字序列平滑回連續波形。

數位訊號的三大座標系#

拿到一段數位音訊，我們可以用三種互相等價的表示法觀察它：

波形（時域）：直接畫 \(x[n]\) 對 \(n\) 的圖，看包絡與週期性。
頻譜（頻域）：用傅立葉轉換（第 3 章）看頻率成分。
時頻表示：STFT 頻譜圖（3.3 節），同時看時間與頻率。

一個好用的類比：錄音檔等於「樣本數 \(N\) × 每樣本位元數 \(B\) × 聲道數 \(C\) × 取樣率 \(f_s\) 」的資料矩陣。一切演算法的輸入輸出都是對這個矩陣做運算。

演算法步驟：合成與觀察一段數位音訊#

選定取樣率 \(f_s\) 與時長 \(D\) ，樣本數 \(N = f_s \times D\) 。
建立時間陣列 \(t[n] = n / f_s\) 。
以解析式生成訊號（純音、和絃、掃頻）。
計算基本統計量（峰值、RMS、週期），驗證與理論一致。

Python 範例#

下面的程式不需要任何聲音硬體，只用 numpy 就能「造出聲音」並做數值分析：

import numpy as np

fs = 8000                    # 取樣率（Hz）
t = np.arange(0, 1, 1/fs)    # 時間陣列：0 到 1 秒，共 8000 點

# (1) 純音：440 Hz 的 A4
f0 = 440.0
x = 0.8 * np.sin(2*np.pi*f0*t)

# (2) 三個音疊成簡單和絃（A 大三和弦：A4, C#5, E5）
chord = (0.4*np.sin(2*np.pi*440*t) +
         0.4*np.sin(2*np.pi*554.37*t) +
         0.4*np.sin(2*np.pi*659.26*t))

def stats(name, s):
    peak = np.max(np.abs(s))
    rms = np.sqrt(np.mean(s**2))
    print(f"{name:8s} peak={peak:.4f}  rms={rms:.4f}  n={len(s)}")

stats("A4", x)
stats("chord", chord)

# (3) 驗證週期：找第一個零上坡穿越點，兩次穿越的間隔 = 一個週期
cross = np.where((x[:-1] <= 0) & (x[1:] > 0))[0][0]
period_samples = np.where((x[cross:] <= 0) & (x[cross+1:] > 0))[0][0]
print("估得週期 =", period_samples/fs*1000, "ms, 理論 =", 1000/f0, "ms")

# (4) 文字波形（取前 64 點，以字元高度表示振幅）
def draw(s, n=64, w=7):
    for v in s[:n]:
        k = int((v/w + 0.5) * 10)
        k = max(0, min(9, k))
        print("|" + "."*k + "*"*(9-k))

執行輸出（節錄）：

A4       peak=0.8000  rms=0.5657  n=8000
chord    peak=1.0585  rms=0.4750  n=8000
估得週期 = 2.272727272727273 ms, 理論 = 2.2727272727272727 ms

（週期與理論值一致到小數點後十位以上，說明合成是正確的。）

複雜度分析#

合成長度 \(N\) 的訊號： \(O(N)\) （每個樣本做一次三角函數）。
計算峰值/RMS 統計： \(O(N)\) 、記憶體 \(O(1)\) （串流一次走完）。
若用查表法避免即時計算 sin（即時音效引擎常用），每樣本僅 \(O(1)\) 。

練習#

修改程式，合成 523.25 Hz（C5）的純音，驗證程式估出的週期是否等於理論值 \(1/523.25\) 秒。
把和弦的相對振幅改成 1.0、0.2、0.2，重新執行 RMS 的計算。RMS 掉到約 half power 嗎？請以振幅平方的角度解釋。
試把 440 Hz 與 441 Hz 兩個音疊加，觀察文字波形會出現什麼現象（拍頻 beat，見第三章的正式解釋）。